江苏省常州市溧阳市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省常州市溧阳市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上）
1. 若锐角，则的值是（ ）
A. B. C. D. 1
2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知一组数据：，则这组数据的众数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
4. 如图，圆内接四边形中，，连接，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. 衣柜中挂着套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，，如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 当，随的增大而增大B. 图象与轴只有一个交点
C. 图象的顶点坐标为D. 当时，随的增大而减小
8. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于x的方程无实数根．其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9. 已知为锐角，若，则______．
10. 若抛物线的图像与轴有且只有一个交点，______．
11. 已知一组数据：，这组数据的平均数与中位数相等，则______．
12. 若一组数据1，2，，3，4的平均数是3，则这组数据的方差是________．
13. 若将一个半径为，面积为的扇形卷成一个圆锥体，则此圆锥的高为______．
14. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”连接）
15. 小明要测量公园里一棵古树高，被一条小溪挡住去路，采用测量计算方法：在小溪这边的点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，已知小明的眼睛离地面距离为1.6米，点、点与古树在一条直线上，则古树的高度为______米（精确到0.1米，参考数据：，，，，，）．
16. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________．
17. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为______．
18. 已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是______．
三、解答题：（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19 解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
20 计算：
（1）；
（2）
21. 二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的对称轴；
（2）当点坐标为时，
①求出此时二次函数的表达式；
②求出此时函数图像与直线的交点坐标．
22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在网格中以为边画，点在小正方形的格点上，使，且；
（2）在（1）的条件下，在图中画以为边且面积为3的，点在小正方形的格点上，使，连接，直接写出线段的长．
23. 如图，在中，是的直径，，点是上异于的任一点，连接，过点作射线，点是射线上一点，连接，当点在上运动时，始终保持．
（1）当与相切时，求的长度；
（2）当时，求的值．
24. 某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
（1）当售价定为多少元时，每天利润为140元？
（2）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元件）之间的函数关系式，每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=（售价﹣进价）×售出件数）
25. 在学习锐角三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究．
（1）初步尝试：
我们知道：______，______；
发现结论：______（填“”或“”）；
（2）如图，在中，，，，求的值；
研究思路：小明想构造包含的直角三角形；于是延长至，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值，那么______；
（3）在中，为锐角，，，．求的值．
26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点．
（1）求出该二次函数的表达式和顶点的坐标；
（2）如图，若将（）中的二次函数顶点沿直线平移，移动后的抛物线的顶点为，与的交点为，当时，直接写出此时的函数表达式．
溧阳市2024～2025学年度第一学期期末质量调研测试
九年级数学试题
一、选择题：（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上）
1. 若锐角，则的值是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数的函数值，根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】∵锐角，
∴．
故选：B．
2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解．
【详解】解：
移项得，
两边同时加上，即
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
3. 已知一组数据：，则这组数据的众数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题出了众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数据，根据这个定义即可求解．
【详解】解：在中，6出现的次数最多，
则这组数据的众数为6，
故选：D
4. 如图，圆内接四边形中，，连接，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵圆内接四边形中，，
∴，
∴，
故选：B．
5. 衣柜中挂着套不同颜色服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】解：设件上衣分别为，对应的裤子分别为，画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能结果，其中取自同一套的有种可能，
∴它们取自同一套的概率为，
故选：．
6. 在中，，如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，利用勾股定理得到与之间的关系，然后根据正弦的定义即可求得答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
则，
故选：C．
7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 当，随的增大而增大B. 图象与轴只有一个交点
C. 图象的顶点坐标为D. 当时，随的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质．先利用配方法得到，则抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，则可对各选项进行判断．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
所以C选项不符合题意；
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
所以A选项不符合题意，D选项符合题意；
∵抛物线开口向下，顶点坐标为位于x轴上方，
∴抛物线与x轴有2个交点，
所以B选项不符合题意．
故选：D．
8. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于x的方程无实数根．其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
根据二次函数图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果．
【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与y轴的正半轴相交，
∴，，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴2，
∴，
∴，
∴，
故结论①错误，不符合题意；
∵二次函数图象经过点，
∴，
∴，
故结论②正确，符合题意；
∵二次函数图象经过点，对称轴为直线，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点为，
∴可因式分解为，
故结论③错误，不符合题意；
∵可因式分解为，
∴方程可化为，
∴，
即，
∴
，
∵，，
，
即方程有实数根，
故结论④错误，不符合题意，
∴正确的结论为②，
故选：A．
二、填空题：（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9. 已知为锐角，若，则______．
【答案】45
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊角度的三角函数值．
根据为锐角，且，即可求出的度数．
【详解】∵为锐角，且，
∴．
故答案为：45．
10. 若抛物线的图像与轴有且只有一个交点，______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，把求二次函数（是常数，）与轴的交点问题转化为解关于的一元二次方程，决定抛物线与轴的交点个数．
根据抛物线与轴有且只有一个交点，可得方程有两个相等的实数根，再利用根的判别式得到，进而求出的值．
【详解】解：抛物线的图像与轴有且只有一个交点，
方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
11. 已知一组数据：，这组数据的平均数与中位数相等，则______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了平均数和中位数，由数据可得平均数为，再分中位数为，和解答即可求解，掌握中位数的定义是解题的关键．
【详解】解：数据的平均数为，
若中位数为，则，解得；
若中位数为，则，解得；
若中位数为，则，解得；
综上，或或，
故答案为：或或．
12. 若一组数据1，2，，3，4的平均数是3，则这组数据的方差是________．
【答案】
【解析】
【分析】先由数据的平均数公式求得x，再根据方差的公式计算即可．
【详解】解：∵数据1，2，x，3，4的平均数是3，
∴ (1+2+x+3+4)÷5=3 ，
解得： x=5 ，
∴方差 S2=[(1−3)2+(2−3)2+(5−3)2+(3−3)2+(4−3)2]÷5=2
故答案为： 2 ．
【点睛】本题考查了平均数与方差，解题的关键在于明确平均数是所有数据的和除以数据的个数；方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的和的平均数．
13. 若将一个半径为，面积为的扇形卷成一个圆锥体，则此圆锥的高为______．
【答案】
【解析】
【详解】本题考查了扇形的面积和弧长，圆锥的高，先利用扇形的面积求出圆心角度数，再求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面圆半径，最后根据勾股定理即可求出圆锥的高，掌握扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长是解题的关键．
解：设扇形的圆心角度数为，则，
∴，
∴扇形的弧长为，
设圆锥的底面圆半径为，则，
∴，
∴此圆锥的高，
故答案为：．
14. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”连接）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性求得即可．
【详解】解：∵，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵点关于对称轴的对称点为，，
∴，
故答案为：．
15. 小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用测量计算方法：在小溪这边的点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，已知小明的眼睛离地面距离为1.6米，点、点与古树在一条直线上，则古树的高度为______米（精确到0.1米，参考数据：，，，，，）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设米，用含x的代数式表示出和的长，再根据可得x的值，再代入三角函数值计算即可．
【详解】解：如图，
设米，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，，
∴（米），
∵小明的眼睛离地面距离为1.6米，
∴古树的高度为米，
故答案为：．
16. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________．
【答案】2029
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解和根与系数关系是关键．
先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再将变形为，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵a和b是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：2029．
17. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，勾股定理，平行线的性质，先作交格点于点，连接，然后根据平行线的性质可以得到，再根据勾股定理可以得到、和的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，即可求得的值，从而可以得到的值．
【详解】解：作交格点于点，连接，如图所示，
，
，
设每个小正方形的边长为，
由图可知：，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
故答案为：．
18. 已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，先利用交点式写出抛物线解析式为，再利用配方法得到，则当时，y有最小值为，再解方程得，，即自变量为或7时，函数值为12，然后利用该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，从而确定的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴抛物线解析式为，
即，
∵，
∴当时，y有最小值，
当时，，
解得，，
∵该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，
∴．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（1）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
（2）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
（3）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴或，
∴；
【小问2详解】
解：，
∴，
∴或，
∴；
【小问3详解】
解：方程化为一般式为，
∴，
∴或，
∴．
20. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．
（1）先把特殊角的三角函数值代入，然后计算乘方，再计算乘除法，最后再计算加减法．
（2）先把特殊角的三角函数值代入，然后再计算即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
21. 二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的对称轴；
（2）当点坐标为时，
①求出此时二次函数的表达式；
②求出此时函数图像与直线的交点坐标．
【答案】（1）直线
（2）①②和
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数与二次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）根据二次函数的性质进行解答即可；
（2）①用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出二次函数的顶点坐标即可．
②联立一次函数与二次函数解析式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：二次函数的对称轴为：
直线．
【小问2详解】
解：将点代入二次函数得：，
解得：，
二次函数的表达式为：．
②联立方程组，
解得：或，
则二次函数图像与直线的交点坐标为和，
22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在网格中以为边画，点在小正方形的格点上，使，且；
（2）在（1）的条件下，在图中画以为边且面积为3的，点在小正方形的格点上，使，连接，直接写出线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
【解析】
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，解直角三角形．
（1）构造一个直角边分别为，的直角三角形即可；
（2）构造一个直角边分别为，直角三角形，且满足即可．
【小问1详解】
解：如图，
由勾股定理得：，
，，
∴，
，
∴，
∴是直角三角形，且，
，
∴即为所求；
【小问2详解】
解：如图，
∵，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
23. 如图，在中，是的直径，，点是上异于的任一点，连接，过点作射线，点是射线上一点，连接，当点在上运动时，始终保持．
（1）当与相切时，求的长度；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）的长度是
（2）的值为
【解析】
【分析】（1）由是的直径，，得，由，，得，连接，由切线的性质得，则，所以是等边三角形，则，由，求得，再根据勾股定理即可求解；
（2）连接，则，由，则，所以是等边三角形，则，再证明四边形是平行四边形，则，所以，由，得．
【小问1详解】
解：∵是的直径，，
，
，
，
如图1，连接，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
∴，
，
∴的长度是 ．
【小问2详解】
解：如图2，连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的值为．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
24. 某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
（1）当售价定为多少元时，每天的利润为140元？
（2）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元件）之间的函数关系式，每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=（售价﹣进价）×售出件数）
【答案】（1）12元或10元；（2）y=﹣4（x﹣11）2+144，售价为11元时，利润最大，最大利润为144元．
【解析】
【分析】（1）设售价定为x元时，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论；
（2）根据题中等量关系为：利润=（售价﹣进价）×售出件数，根据等量关系列出函数关系式，将函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值．
【详解】解：（1）设售价定为x元时，每天的利润为140元，
根据题意，得：（x﹣5）[32﹣4（x﹣9）]=140，
解得：x1=12、x2=10，
答：售价定为12元或10元时，每天的利润为140元．
（2）根据题意，得：y=（x﹣5）[32﹣4（x﹣9）]=﹣4x2+88x﹣340=﹣4（x﹣11）2+144，
故当x=11时，y最大=144，
答：售价为11元时，利润最大，最大利润为144元．
【点睛】考查的是二次函数的应用，熟知利润=（售价﹣进价）×售出件数是解答此题的关键．
25. 在学习锐角的三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究．
（1）初步尝试：
我们知道：______，______；
发现结论：______（填“”或“”）；
（2）如图，在中，，，，求的值；
研究思路：小明想构造包含的直角三角形；于是延长至，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值，那么______；
（3）在中，为锐角，，，．求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，掌握三角函数的定义和解直角三角形是解题的关键．
（1）根据特殊角的锐角三角函数值直接填空即可；
（2）根据正切的定义，在中求的正切值即可；
（3）过点作于点，在上截取，连接，根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，得出，根据角的正切值，设，则，得到，，再利用勾股定理列方程，求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：；
（2）解：在中，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：如图，过点作于点，在上截取，连接，
垂直平分，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
设，则，
，，，
，
，
，，
在中，，
，
整理得：，
解得：（舍），，
，
．
26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点．
（1）求出该二次函数的表达式和顶点的坐标；
（2）如图，若将（）中的二次函数顶点沿直线平移，移动后的抛物线的顶点为，与的交点为，当时，直接写出此时的函数表达式．
【答案】（1）二次函数的表达式为，顶点的坐标为
（2）或
【解析】
【分析】（）利用待定系数法求出二次函数的表达式，进而把表达式转化为顶点式即可求出点的坐标；
（）分两种情况：①当点在第一象限时；②当点在第三象限时，分别画出图形，根据二次函数图象平移的性质及三角函数解答即可求解．
【小问1详解】
解：将，代入得，
，
解得，
∴该二次函数的表达式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
小问2详解】
解：①当点在第一象限时，设点，过点作轴于点，交轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴函数表达式为，
当时，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴或(不合，舍去)，
∴；
②当点在第三象限时，设，过点作轴于点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当时，或．
【点睛】本题考查了二次函数与几何图形，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，三角函数，掌握二次函数平移的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键．