河北省秦皇岛市抚宁区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河北省秦皇岛市抚宁区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，四象限内，则的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意）
1. 下面的四幅简笔画是从长鼓舞、武术、举重、摔跤等文化活动中抽象出来的，其中可近似看作中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 一元二次方程的一般形式是（ ）
A. B.
C. D.
4. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限内，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（ ）
A B. C. D.
7. 如图，在Rt△ABC中，，，，作∠ABC的平分线BD交AC于点D，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点E，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
8. 如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板角的顶点落在鼓面圆上任意一点，三角板的两边分别交圆于点、，若测量得到弦的长为，则鼓面圆的直径为( )
A. B. C. D.
9. 反比例函数与二次函数在同一坐标轴中图象大致是（ ）
A. B. C. D.
10. 快毕业了，九（1）班同学决定互赠一张贺卡留念，全班送出的贺卡总共2256张，如果设这个班有x名学生，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
11. 二次函数的图像如图所示，下列结论：
①；
②方程的两个根是；
③不等式的解集是；
④若抛物线经过三点，则；
其中正确的有（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①③D. ①③④
12. 如图，已知A，B是反比例函数图象上的两点，轴，交x轴于点C．动点P从点A出发，沿A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作轴于点Q．设的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题有4小题，每小题各3分，共12分）
13. 的值为___________．
14. 如图，是斜边上的高．若，，则________．
15. 如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为______cm2
16. 如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标为，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．点与均在该波浪线上，分别过，两点向轴作垂线段，垂足分别为点和，连接，则四边形的面积是___________．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
18. 已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设该方程的两个实数根分别为，当时，求的值．
19. 有三张正面分别标有数字：-1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字．
(1)请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；
(2)将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，y）落在双曲线上的概率．
20. 如图，直线过x轴上点，与y轴交于D点，与抛物线交于B，C两点，点B坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结，求出的面积．
（3）当时，请观察图象直接写出x的取值范围．
21. 已知：如图，中，，，点是边上的一个动点（不与，点重合），．
（1）求证：；
（2）设，，求关于的函数关系式；并求出当为何值时，取最小值，最小值是多少？
22. 如图，在中，，平分线交边于点．以上一点为圆心作，使经过点和点．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由．
（2）若，．
①求的半径；
②设与边另一个交点为，求线段，与劣弧所围成的阴影部分的面积．（结果保留根号和）
23. 如图1是工人用升降机维修路灯的实物图，图2是升降机工作示意图．学习兴趣小组计划通过此示意图计算路灯的高度．他们通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：路灯垂直于地面，机械臂米，米，路灯顶部到工作台的距离米，车厢上部到地面距离为米，，．根据上述信息，请你求出路灯的高度．（结果精确到米．参考数值：，，，）
24. 如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与轴交于点．其顶点为．
（1）求抛物线及直线的函数解析式；
（2）若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值；
（3）若抛物线的对称轴与直线相交于点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以点B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
河北省秦皇岛市抚宁区2025−2026学年九年级上学期1月期末数学试题
（满分120分 时间120分钟）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意）
1. 下面的四幅简笔画是从长鼓舞、武术、举重、摔跤等文化活动中抽象出来的，其中可近似看作中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，识别中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合即可．根据中心对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】解：选项A、B、C不能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D ．
2. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判断．
【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．
故选：D．
【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
3. 一元二次方程的一般形式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式的定义是解题的关键，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），其中叫做二次项，为二次项系数，叫做一次项，为一次项系数，是常数项．根据一元二次方程的一般形式的定义直接解答即可．
【详解】解：一元二次方程一般形式为．
故选：C．
4. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握顶点式的特征．该抛物线解析式已给出顶点形式，直接读取顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线为，其顶点形式为，其中顶点坐标为，
这里，，
故顶点坐标为．
故选：B．
5. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限内，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象位置取决于系数符号，当系数小于时，图象在第二、四象限．根据反比例函数的图象性质得到，解不等式即可．
【详解】解：反比例函数图象位于第二、四象限，
，
．
故选：B．
6. 在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案．
【详解】解：∵三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，
∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，
∴原三角形与缩印出的三角形的周长比为3：1，
∴缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
7. 如图，在Rt△ABC中，，，，作∠ABC的平分线BD交AC于点D，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点E，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和图形，利用勾股定理可以得到AC、CD、AD的长，由图可以得到阴影部分的面积．
【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=，
∴AC=BC=3，∠CBA=60°，
∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠EBD=30°，
∴CD=BC=1，
∴AD=3-1=2，
∴S阴影部分=，
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
8. 如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板角的顶点落在鼓面圆上任意一点，三角板的两边分别交圆于点、，若测量得到弦的长为，则鼓面圆的直径为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识；设鼓面圆的圆心为，连接、，则，因为，所以是等边三角形，则，所以的直径为，于是得到问题的答案．
【详解】解：设鼓面圆的圆心为，连接、，则，
，，
，
是等边三角形，
，
的半径为，
的直径为，
故选：C．
9. 反比例函数与二次函数在同一坐标轴中的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，以及二次函数的图象，熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间关系是解题的关键．
根据二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间关系解答即可．
【详解】解：A、抛物线开口方向向下，则，对称轴，
反比例函数的图象位于第二、四象限，故本选项正确，符合题意；
B、抛物线开口方向向上，则，对称轴，故本选项错误，不符合题意；
C、抛物线开口方向向上，则，对称轴，与反比例函数的图象位于第二、四象限矛盾，故本选项错误，不符合题意；
D、抛物线应该经过原点，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
10. 快毕业了，九（1）班同学决定互赠一张贺卡留念，全班送出的贺卡总共2256张，如果设这个班有x名学生，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．一名学生要送张贺卡，x名学生要送张贺卡，根据贺卡总共2256张列方程即可．
【详解】解：根据题意，，
故选：B．
11. 二次函数的图像如图所示，下列结论：
①；
②方程的两个根是；
③不等式的解集是；
④若抛物线经过三点，则；
其中正确的有（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①③D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与不等式之间的关系，根据开口方向，对称轴和与y轴的交点的位置可判断①；根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点的坐标可判断②；根据函数图象可判断③；离对称轴越远，函数值越小，据此可判断④．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数与x轴的一个交点的坐标为，
∴由对称性可得二次函数与x轴的另一个交点的坐标为，
∴方程的两个根是，故②正确；
由函数图象可知，不等式的解集是，故③正确；
∵二次函数的图象开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵
∴，故④错误；
故选：B．
12. 如图，已知A，B是反比例函数图象上的两点，轴，交x轴于点C．动点P从点A出发，沿A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作轴于点Q．设的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的种类，从而确定其图象．
分别判断当点P在上运动时，点P在上运动时的图像变化趋势，即可作出选择．
【详解】解：当点P在上运动时，此时的面积（），保持不变；
当点P在上运动时，设路线的总路程为l，点P的速度为b，
∴，
∵l，，b均是常数，所以S与t成一次函数关系．
综上所述，S关于t的函数图象大致为A选项，
故选：A．
二、填空题（本大题有4小题，每小题各3分，共12分）
13. 的值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，锐角三角函数值的计算，绝对值的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先计算特殊锐角三角函数值，绝对值，再算加减法即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
14. 如图，是斜边上的高．若，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
15. 如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为______cm2
【答案】
【解析】
【分析】先根据三视图得到该几何体为圆锥，且圆锥的底面圆直径为2，母线长为2，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，根据扇形面积公式计算圆锥的侧面积，即可.
【详解】解：根据三视图易得此几何体为圆锥，由题意得底面直径为2，母线长为2，
∴圆锥的侧面积=．
故答案为：
【点睛】本题考查了根据三视图判断物体形状以及求圆锥的侧面积，掌握扇形的面积公式是关键.
16. 如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标为，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．点与均在该波浪线上，分别过，两点向轴作垂线段，垂足分别为点和，连接，则四边形的面积是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点坐标规律探索，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点，的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点、的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点，点的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案．
【详解】解：当时，，
，
当时，即，
，
，
又点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
当时，，
，
设点在双曲线上，点的横坐标为，当时，，
，
依题意由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线，如图所示：
由图象的平移可得，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，
，
，，
，
依题意，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴或，
解得．
18. 已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设该方程的两个实数根分别为，当时，求的值．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）根据方程有实数根，得到，进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系，结合完全平方公式变形计算即可．
【小问1详解】
解：∵关于一元二次方程有实数根，
；
【小问2详解】
解：∵当时，方程为
19. 有三张正面分别标有数字：-1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字．
(1)请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；
(2)将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，y）落在双曲线上的概率．
【答案】（1）所有结果：（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（1，-1）（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2）；（2）.
【解析】
【分析】（1）画出树状图即可得解；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征判断出在双曲线上y=上的情况数，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【详解】（1）根据题意画出树状图如下：
结果为：（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（1，-1）（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2）；
（2）当x=-1时，y==-2，
当x=1时，y==2，
当x=2时，y==1，
一共有9种等可能的情况，点（x，y）落在双曲线上y=上的有2种情况，
所以，P=．
考点：1.列表法与树状图法；2.反比例函数图象上点的坐标特征．
20. 如图，直线过x轴上的点，与y轴交于D点，与抛物线交于B，C两点，点B坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结，求出的面积．
（3）当时，请观察图象直接写出x的取值范围．
【答案】（1）
（2）3 （3）
【解析】
【分析】（1）把点代入抛物线解析式，即可求解；
（2）联立两函数解析式可得点C的坐标为，再求出D点坐标． 然后根据，即可求解；
（3）直接观察图象可得当时，直线在抛物线的上方，即可求解．
【小问1详解】
解：∵点抛物线上，
∴，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：由题可知，直线的解析式为．
联立得：，，
解得：或，
∴点C的坐标为．
对于，
当时，，
∴D点坐标．
∴；
【小问3详解】
解：由图象得：当时，直线在抛物线的上方，
∴当时，x的取值范围．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，数形结合是解题的关键．
21. 已知：如图，中，，，点是边上的一个动点（不与，点重合），．
（1）求证：；
（2）设，，求关于的函数关系式；并求出当为何值时，取最小值，最小值是多少？
【答案】（1）见解析 （2）函数关系式：，当时，取最小值，最小值是
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．熟悉相似三角形的判定定理：两个角分别相等的两个三角形相似，相似三角形对应线段成比例，是解题的关键．
（1）根据，，根据角的相等关系得到，继而得到．
（2）根据，得到对应线段成比例，继而得到关于的函数关系式为，根据函数的图象和性质，得到的最小值．
【小问1详解】
解：，，
，
，，
又，，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
，
，
，
∴抛物线开口向上，
当时，取最小值，即.
当为时，取最小值，最小值是.
22. 如图，在中，，的平分线交边于点．以上一点为圆心作，使经过点和点．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由．
（2）若，．
①求的半径；
②设与边的另一个交点为，求线段，与劣弧所围成的阴影部分的面积．（结果保留根号和）
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）①2；②
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，证明OD⊥BC，根据切线的判定即可证明；
（2）①根据含有30°角直角三角形的性质得出OB=2OD=2r，从而求得半径r的值；
②根据S阴影=S△BOD-S扇形ODE求出即可.
【详解】解：（1）相切，理由如下：
如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
∵，
，
与相切；
（2）①在和中，
，，
，，
∵，
，
，
解得，即的半径是；
②在Rt△ACB中，∠B=30°，
∴∠BOD=60°，
∴S扇形ODE=，
∵∠B=30°，OD⊥BC，
∴OB=2OD，
∴AB=3OD，
∵AB=2AC=6，
∴，，
S△BOD=，
S阴影=S△BOD-S扇形ODE.
【点睛】本题是对圆知识的考查，熟练掌握圆的切线，扇形的面积公式是解决本题的关键.
23. 如图1是工人用升降机维修路灯的实物图，图2是升降机工作示意图．学习兴趣小组计划通过此示意图计算路灯的高度．他们通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：路灯垂直于地面，机械臂米，米，路灯顶部到工作台的距离米，车厢上部到地面距离为米，，．根据上述信息，请你求出路灯的高度．（结果精确到米．参考数值：，，，）
【答案】6米
【解析】
【分析】过点作于点H，过点作于点，解求得的长，根据题意，求出的度数，再解，求出的长，进而求出路灯的高度．
【详解】解：过点作于点H，过点作于点．
在中，
∵，，米
∴米，
由作图可得，
∴，
∵
∴，
在中，
∵，米
∴米，
∴米．
答：路灯的高度为6米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解题意，构造合适的直角三角形是解本题的关键．
24. 如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与轴交于点．其顶点为．
（1）求抛物线及直线的函数解析式；
（2）若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值；
（3）若抛物线的对称轴与直线相交于点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以点B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）拋物线解析式为，直线的解析式为
（2）
（3）能，点E的坐标为或或．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点，设，则，求出，根据得到，据此可得答案；
（3）先求出点B和点D的坐标，根据，得到以点B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边，则；设，则，则，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：将点代入得，，
解得，
∴拋物线解析式为；
设直线的解析式为
将点代入，得，
∴
∴直线解析式为；
【小问2详解】
解：如图所示，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点．
设，则，
，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
【小问3详解】
解：∵抛物线解析式为
当时，，
，
∵，
∴以点B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边，
∴；
设，则，
∴，
∴或，
解方程得或（舍去），
解方程得或，
当时，，
当时，
当时，
综上，满足条件的点的坐标为或或．