数学九年级上册河北省秦皇岛市抚宁学区九年级上期中数学试卷

这是一份数学九年级上册河北省秦皇岛市抚宁学区九年级上期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了精心选一选，慧眼识金！，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河北省秦皇岛市抚宁学区九年级（上）期中数学试卷
　
一、精心选一选，慧眼识金！（本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c=0B． =2C．x2+2x=x2﹣1D．3（x+1）2=2（x+1）
2．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（　　）
A．（x+1）2=0B．（x﹣1）2=0C．（x+1）2=2D．（x﹣1）2=2
3．一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）=0的一般形式是（　　）
A．x2﹣5x+5=0B．x2+5x﹣5=0C．x2+5x+5=0D．x2+5=0
4．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　）
A．438（1+x）2=389B．389（1+x）2=438C．389（1+2x）2=438D．438（1+2x）2=389
5．观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
6．下列四个多边形：①等边三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形、其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．①②B．②③C．②④D．①④
7．下列说法不正确的是（　　）
A．平移或旋转后的图形的形状大小不变
B．平移过程中对应线段平行（或在同一条直线上）且相等
C．旋转过程中，图形中的每一点都旋转了相同的路程
D．旋转过程中，对应点到旋转中心的距离相等
8．如图，P是等边△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P′AC，则∠PAP′的度数为（

A．120°B．90°C．60°D．30°．
9．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（　　）
A．x（5+x）=6B．x（5﹣x）=6C．x（10﹣x）=6D．x（10﹣2x）=6
10．二次函数y=（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）
11．抛物线y=﹣3x2+2x﹣1与坐标轴的交点个数为（　　）
A．0个B．1个C．2个D．3个
12．把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y=﹣（x﹣1）2﹣3B．y=﹣（x+1）2﹣3C．y=﹣（x﹣1）2+3D．y=﹣（x+1）2+3
13．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（　　）
A．B．C．D．
14．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（　　）

A．0B．﹣1C．1D．2
　
二、填空题（简洁的结果，表达的是你敏锐的思维，需要的是细心！每小题3分，共18分）
15．点P（5，﹣3）关于原点的对称点的坐标为　　．
16．若y=（a﹣1）是关于x的二次函数，则a=　　．
17．如图，可以看作是一个基础图形绕着中心旋转7次而生成的，则每次旋转的度数是　　．

18．若两数和为﹣7，积为12，则这两个数是　　和　　．
19．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是　　．

20．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确的是　　（填编号）

　
三、解答题（耐心计算，表露你萌动的智慧！共60分）
21．用适当的方法解一元二次方程
（1）x2+3x+1=0
（2）（x﹣1）（x+2）=2（x+2）
22．己知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．
23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
24．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标，与y轴交点坐标；
（3）画出这条抛物线；
（4）根据图象回答：①当x取什么值时，y＞0，y＜0？②当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？

25．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90度．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．

26．小明家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的一边AD（垂直围墙的边）究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？

　

河北省秦皇岛市抚宁学区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、精心选一选，慧眼识金！（本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c=0B． =2C．x2+2x=x2﹣1D．3（x+1）2=2（x+1）
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、ax2+bx+c=0当a=0时，不是一元二次方程，故A错误；
B、+=2不是整式方程，故B错误；
C、x2+2x=x2﹣1是一元一次方程，故C错误；
D、3（x+1）2=2（x+1）是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
　
2．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（　　）
A．（x+1）2=0B．（x﹣1）2=0C．（x+1）2=2D．（x﹣1）2=2
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1
配方得（x﹣1）2=2．
故选D．
　
3．一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）=0的一般形式是（　　）
A．x2﹣5x+5=0B．x2+5x﹣5=0C．x2+5x+5=0D．x2+5=0
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）=0的一般形式是x2﹣5x+5=0．故选A．
　
4．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　）
A．438（1+x）2=389B．389（1+x）2=438C．389（1+2x）2=438D．438（1+2x）2=389
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】先用含x的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数，再表示出今年上半年发放的钱数，令其等于438即可列出方程．
【解答】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元，今年上半年发放给每个经济困难学生389（1+x）2元，
由题意，得：389（1+x）2=438．
故选B．
　
5．观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误．
故选C．
　
6．下列四个多边形：①等边三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形、其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．①②B．②③C．②④D．①④
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据正多边形的性质和轴对称与中心对称的性质解答．
【解答】解：由正多边形的对称性知，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
奇数边的正多边形只是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选C．
　
7．下列说法不正确的是（　　）
A．平移或旋转后的图形的形状大小不变
B．平移过程中对应线段平行（或在同一条直线上）且相等
C．旋转过程中，图形中的每一点都旋转了相同的路程
D．旋转过程中，对应点到旋转中心的距离相等
【考点】旋转的性质；平移的性质．
【分析】根据旋转的性质和平移的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、平移或旋转后的图形的形状大小不变，所以A选项的说法正确；
B、平移过程中对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，所以B选项的说法正确；
C、旋转过程中，图形中的每一点所旋转的路程等于以旋转中心为圆心、每个点到旋转中心的距离为半径、圆心角为旋转角的弧长，所以C选项的说法不正确；
D、旋转过程中，对应点到旋转中心的距离相等，所以D选项的说法正确．
故选C．
　
8．如图，P是等边△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P′AC，则∠PAP′的度数为（

A．120°B．90°C．60°D．30°．
【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质，找出∠PAP′=∠BAC，根据等边三角形的性质，即可解答．
【解答】解：如图，根据旋转的性质得，
∠PAP′=∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠PAP′=60°；
故选C．

　
9．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（　　）
A．x（5+x）=6B．x（5﹣x）=6C．x（10﹣x）=6D．x（10﹣2x）=6
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．
【解答】解：一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，
由题意得：x（5﹣x）=6，
故选：B．
　
10．二次函数y=（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【解答】解：因为y=（x﹣1）2﹣2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，﹣2）．
故选C．
　
11．抛物线y=﹣3x2+2x﹣1与坐标轴的交点个数为（　　）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】先根据判别式的值得到△=﹣8＜0，根据△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到抛物线与x轴没有交点，由于抛物线与y轴总有一个交点，所以抛物线y=﹣3x2+2x﹣1与坐标轴的交点个数为1．
【解答】解：∵△=22﹣4×（﹣3）×（﹣1）=﹣8＜0，
∴抛物线与x轴没有交点，
而抛物线y=﹣3x2+2x﹣1与y轴的交点为（0，﹣1），
∴抛物线y=﹣3x2+2x﹣1与坐标轴的交点个数为1．
故选B．
　
12．把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y=﹣（x﹣1）2﹣3B．y=﹣（x+1）2﹣3C．y=﹣（x﹣1）2+3D．y=﹣（x+1）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】利用二次函数平移的性质．
【解答】解：当y=﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），
当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），
则平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+3．
故选：D．
　
13．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（　　）
A．B．C．D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；
故选：D．
　
14．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（　　）

A．0B．﹣1C．1D．2
【考点】二次函数的图象．
【分析】由“对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0）”可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0），代入抛物线方程即可解得．
【解答】解：因为对称轴x=1且经过点P（3，0）
所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）
代入抛物线解析式y=ax2+bx+c中，得a﹣b+c=0．
故选A．
　
二、填空题（简洁的结果，表达的是你敏锐的思维，需要的是细心！每小题3分，共18分）
15．点P（5，﹣3）关于原点的对称点的坐标为　（﹣5，3）　．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
【解答】解：∵5的相反数是﹣5，﹣3的相反数是3，
∴点P（5，﹣3）关于原点的对称点的坐标为 （﹣5，3），
故答案为：（﹣5，3）．
　
16．若y=（a﹣1）是关于x的二次函数，则a=　﹣1　．
【考点】二次函数的定义．
【分析】由二次函数的定义可知自变量的最高指数为2，且系数不等于0，列出方程与不等式解答即可．
【解答】解：根据题意得：3a2﹣1=2；
解得a=±1；
又因a﹣1≠0；
即a≠1；
∴a=﹣1．
　
17．如图，可以看作是一个基础图形绕着中心旋转7次而生成的，则每次旋转的度数是　45°　．

【考点】利用旋转设计图案．
【分析】根据旋转的性质并结合一个周角是360°求解．
【解答】解：∵一个周角是360度，等腰直角三角形的一个锐角是45度，
∴如图，是一个基础图形绕着中心旋转7次而生成的，
∴每次旋转的度数是： =45°．
故答案为：45°．
　
18．若两数和为﹣7，积为12，则这两个数是　﹣3　和　﹣4　．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设其中的一个数为x，则另一个是﹣7﹣x，根据“积为12”可得x（﹣7﹣x）=12，解方程即可求解．
【解答】解：设其中的一个数为x，则另一个是﹣7﹣x，
根据题意得x（﹣7﹣x）=12，
解得x=﹣3或x=﹣4，
那么这两个数就应该是﹣3和﹣4．
　
19．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是　（3，﹣1）　．

【考点】坐标与图形变化-旋转；中心对称图形．
【分析】连接对应点AA1、CC1，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心E点，在坐标系内确定出其坐标．
【解答】解：连接AA1、CC1，则交点就是对称中心E点．
观察图形知，E（3，﹣1）．

　
20．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确的是　②③　（填编号）

【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：根据图象知道
当x=1时，y=a+b+c＞0，故①错误；
当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，故②正确；
∵抛物线开口朝下，
∴a＜0，
∵对称轴x=﹣（0＜x＜1），
∴2a＜﹣b，
∴b+2a＜0，故③正确；
∵对称轴x=﹣（0＜x＜1），
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故④错误．
故答案为：②③．
　
三、解答题（耐心计算，表露你萌动的智慧！共60分）
21．用适当的方法解一元二次方程
（1）x2+3x+1=0
（2）（x﹣1）（x+2）=2（x+2）
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
【分析】（1）公式法求解可得；
（2）因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵a=1，b=3，c=1，
∴b2﹣4ac=9﹣4×1×1=5＞0，
∴x=，
∴x1=，x2=；

（2）分解因式得：（x+2）（x﹣1﹣2）=0，
可得x+2=0或x﹣3=0，
解得：x1=﹣2，x2=3．
　
22．己知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．
【考点】根的判别式．
【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，即△＞0，即可求得关于m的不等式，从而得m的范围；
（2）方程有两个相等的实数根，当△=0时，即可得到一个关于m的方程求得m的值．
【解答】解：△=（﹣3）2﹣4（m﹣1），
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，解得m＜．
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即9﹣4（m﹣1）=0
解得m=
∴方程的根是：x1=x2=．
　
23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数；每件的盈利=原来每件的盈利﹣降价数．设每件衬衫应降价x元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果．
【解答】解：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元．
根据题意得（45﹣x）（20+4x）=2100，
解得x1=10，x2=30．
因尽快减少库存，故x=30．
答：每件衬衫应降价30元．
　
24．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标，与y轴交点坐标；
（3）画出这条抛物线；
（4）根据图象回答：①当x取什么值时，y＞0，y＜0？②当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）将（0，3）代入y=﹣x2+（m﹣1）x+m求得m，即可得出抛物线的解析式；
（2）令y=0，求得与x轴的交点坐标；令x=0，求得与y轴的交点坐标；
（3）得出对称轴，顶点坐标，画出图象即可；
（4）当y＞0时，即图象在一、二象限内的部分；当y＜0时，即图象在一、二象限内的部分；在对称轴的右侧，y的值随x的增大而减小．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点，
∴m=3，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，
解得x=﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点坐标（﹣1，0），（3，0）；
令x=0，得y=3，
∴抛物线与y轴的交点坐标（0，3）；

（3）对称轴为x=1，顶点坐标（1，4），图象如图，

（4）如图，①当﹣1＜x＜3时，y＞0；
当x＜﹣1或x＞3时，y＜0；
②当x＞1时，y的值随x的增大而减小．

　
25．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90度．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．

【考点】作图-旋转变换．
【分析】（1）关于y轴的轴对称问题，对称点的坐标特点是：横坐标互为相反数，纵坐标相等．
（2）坐标系里旋转90°，充分运用两条坐标轴互相垂直的关系画图．
（3）分别以AB，BC，AC为平行四边形的对角线，考虑第四个顶点D的坐标，有三种可能结果．
【解答】解：（1）点A关于y轴对称的点的坐标是（2，3）；
（2）图形如右，点B的对应点的坐标是（0，﹣6）；
（3）以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）或（3，3）．
　
26．小明家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的一边AD（垂直围墙的边）究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？

【考点】二次函数的应用．
【分析】根据题意可以列出相应的关系式，化为二次函数的顶点式，从而可以解答本题．
【解答】解：设AB的长为x米，矩形的面积为y平方米，
y=x=，
∵0＜x≤10，
∴x=10时，y取得最大值，此时AD=米，
即花圃的一边AD（垂直围墙的边）11米时，能使花圃的面积最大．