河北省秦皇岛市昌黎县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河北省秦皇岛市昌黎县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 初二年级位同学参加学校举行的诗歌朗诵比赛，其成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛，小东已知自己的成绩，想判断能否进入决赛，还需知道这位同学成绩的（ ）
A 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
2. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A. 1B. C. D.
3. 经过两年时间，我市的污水利用率提高了.设这两年污水利用率的平均增长率是，则列出的关于的一元二次方程为（ ）
A. B.
C D.
4. 已知中，，，则的形状（ ）
A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形D. 无法确定
5. 若4米高的旗杆在某时刻太阳光下的影子长是6米，同时旗杆旁边的一棵大树的影子长是12米，则大树的高度是（ ）
A. 6米B. 8米C. 9米D. 10米
6. 已知点在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，，的面积等于，则四边形的面积等于（ ）

A. B. C. D.
8. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度图象为双曲线的一段，若这段公路行驶速度不得超过，则该汽车通过这段公路最少需要（ ）
A. 40分钟B. 45分钟C. 55分钟D. 60分钟
11. 如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，的顶点O在原点上，顶点A的坐标为，，点P为OB上一点，且，将向右平移，当点P的对应点落在反比例函数上时，则点P′的坐标为（ ）
A B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共12分）
13. 在函数（为常数）的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系为______．
14. 若正多边形的一个中心角为，则这个正多边形的一个内角等于______°．
15. 如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为______________．
16. 如图，已知点分别在反比例函数图象上，且，则______．
三、解答题（共72分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
18. 如图所示，小华在湖边看到湖中有一棵树AB，AB与水面AC垂直．此时，小华的眼睛所在位置D到湖面的距离DC为4米．她测得树梢B点的仰角为30°，测得树梢B点在水中的倒影B′点的俯角45°．求树高AB（结果保留根号）
19. 已知y与x成反比例，且其函数图象经过点．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当时，求x的值．
20. 如图，已知：是的两条弦，且，求证：．

21. 如图，已知内接于，点在的延长线上，．求证：是的切线．
22. 如图，，分别切、于点、．切于点，交于点（与不重合）．
（1）用直尺和圆规作出；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若半径为，，求的长．
23. 如图，在平面直角坐标系中，点 ，把线段绕点逆时针旋转到，交轴于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）连接，若点在反比例函数的图象上，求点的坐标．
24. 如图，在中，，，．若动点在线段上（不与点、重合），过点作交边于点．
（1）当点运动到线段中点时，计算的长；
（2）点关于点的对称点为点，以为半径作，当等于多少时，与直线相切．
2024—2025学年度第一学期期末质量监测
九年级数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 初二年级位同学参加学校举行的诗歌朗诵比赛，其成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛，小东已知自己的成绩，想判断能否进入决赛，还需知道这位同学成绩的（ ）
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数的定义判定即可．
【详解】参加歌唱比赛的位同学成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛，小东要知道自己是否进入决赛，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较，所以需知道位同学成绩的中位数是多少．
故选：C．
【点睛】此题主要考查数据集中趋势中的平均数、众数、中位数以及方差在实际问题中的正确应用，解题的关键是中位数在生活中的应用．
2. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系式得出，进而根据分式的减法进行化简即可求解．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴
∴
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3. 经过两年时间，我市的污水利用率提高了.设这两年污水利用率的平均增长率是，则列出的关于的一元二次方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设这两年污水利用率的平均增长率是，原有污水利用率为1，利用原有污水利用率（1+平均每年污水利用率的增长率=污水利用率，列方程即可.
【详解】解：设这两年污水利用率的平均增长率是，由题意得出：
故答案为：A.
【点睛】本题考查的知识点是用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题目找出等量关系式，再列方程.
4. 已知中，，，则的形状（ ）
A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由三角函数值求锐角、三角形的内角和，根据特殊角的三角函数值得、，再利用三角形的内角和即可求解，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：由，得，
，得，
，
故是钝角三角形，
故选：C．
5. 若4米高的旗杆在某时刻太阳光下的影子长是6米，同时旗杆旁边的一棵大树的影子长是12米，则大树的高度是（ ）
A. 6米B. 8米C. 9米D. 10米
【答案】B
【解析】
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：设树高为米，
根据题意得，，
解得：，
所以大树的高度是8米．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
6. 已知点在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出k=-3，再依次判断各点的横纵坐标乘积，等于-3即是在该双曲线上，否则不在.
【详解】∵点在双曲线上，
∴，
∵，
∴点(3，-1)在该双曲线上，
∵，
∴点、、均不在该双曲线上，
故选：A.
【点睛】此题考查反比例函数解析式，正确计算k值是解题的关键.
7. 如图，在中，，，的面积等于，则四边形的面积等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由证明，再根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”得 ，而，可求得的值，再求出四边形的面积值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形面积，
故选：C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出，最后根据邻补角性质求解即可．
【详解】解：，
，
∵四边形内接于，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9. 一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出的长．由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，过点O做于点N，交于点M，
∵，
∴，
连接，，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴纸杯的直径为．
故选：C．
10. 如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度的图象为双曲线的一段，若这段公路行驶速度不得超过，则该汽车通过这段公路最少需要（ ）
A. 40分钟B. 45分钟C. 55分钟D. 60分钟
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，熟知反比例函数图象与性质，正确求出反比例函数解析式是解题关键．先求出反比例函数解析式为，再求出当时，，根据反比例图象与性质即可求解．
【详解】解：如图，设抛物线解析式为，
∵反比例函数图象经过点，
∴，
，
∴反比例函数解析式为，
∴时，，
∴当时，，
，
故选：B．
11. 如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求得，然后根据阴影部分的面积计算即可求解．
【详解】解：连接、，
∵，是的半径，
∴是的切线，
∵是的切线，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
中，，
∴，
∴阴影部分的面积
．
故选：C．
【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键．
12. 如图，的顶点O在原点上，顶点A的坐标为，，点P为OB上一点，且，将向右平移，当点P的对应点落在反比例函数上时，则点P′的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作轴交于点，过点作交于点，过点作交于点，证明，求出，再由与关于点是位似图形，求出，，根据平移的性质可知，的纵坐标为3，再求横坐标即可．
【详解】解：过点作轴交于点，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，，
的坐标为，
，，
，
，
与关于点是位似图形，
，
，，
在的图象上，
，
，，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，位似的性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13. 在函数（为常数）的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象与性质，根据题意得：，可得反比例函数的图象经过第二，四象限，在每一象限内随的增大而增大，进行解答即可．
【详解】解：，
反比例函数的图象经过第二，四象限，在每一象限内随的增大而增大，
点，在第二象限，
，
，
点在第四象限，
，
，
．
故答案为：．
14. 若正多边形的一个中心角为，则这个正多边形的一个内角等于______°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正多边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，根据题意，题中正多边形的中心与一条边的两个端点相连，构成等边三角形，从而一个内角由两个角构成，即可得到答案，熟练掌握正多边形的性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：由正多边形的性质可知，题中正多边形的中心与一条边的两个端点相连，构成等边三角形，
这个正多边形的一个内角等于，
故答案为：．
15. 如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及扇形的弧长，根据已知得出点运动的路线是解题关键．
根据弧长公式计算即可．
【详解】解：第一次是以为旋转中心，长为半径旋转，
此次点走过的路径是．
第二次是以为旋转中心，为半径旋转，
此次走过的路径是，
故点两次共走过的路径是．
故答案为：．
16. 如图，已知点分别在反比例函数的图象上，且，则______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，余角性质，相似三角形的判定和性质，过作轴，过作轴，可证，又由反比例函数的性质可得，，得到，进而得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过作轴，过作轴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点分别在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共72分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．
（1）先移项，再用因式分解法求解；
（2）利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：
或
解得：，；
【小问2详解】
解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
18. 如图所示，小华在湖边看到湖中有一棵树AB，AB与水面AC垂直．此时，小华的眼睛所在位置D到湖面的距离DC为4米．她测得树梢B点的仰角为30°，测得树梢B点在水中的倒影B′点的俯角45°．求树高AB（结果保留根号）
【答案】AB=（8+4）m．
【解析】
【分析】设BE=x，则BA=x+4，B′E=x+8，根据∠ADB′=45°，可知DE=B′E=x+8，再由tan30°=即可得出x的值，进而得到答案，
【详解】如图：过点D作DE⊥AB于点E，
设BE=x，则BA=x+4，B′E=x+8，
∵∠ADB′=45°，
∴DE=B′E=x+8，
∵∠BDE=30°，
∴tan30°= ，解得x=4+4 ，
∴AB=BE+4=（8+4 ）m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答此题的关键
19. 已知y与x成反比例，且其函数图象经过点．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当时，求x的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质：
（1）设y与x的函数关系式为，将代入即可；
（2）将代入（1）中所求解析式，即可求出x的值．
【小问1详解】
解：设y与x的函数关系式为，
将代入，得：，
解得，
y与x的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由（1）得，
将代入，得：，
解得．
20. 如图，已知：是的两条弦，且，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴，
∴．
21. 如图，已知内接于，点在的延长线上，．求证：是的切线．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键.
连接，得到，得出是等边三角形，得到，可得，即可得到结论.
【详解】证明：如图，连接，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
22. 如图，，分别切、于点、．切于点，交于点（与不重合）．
（1）用直尺和圆规作出；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若半径为，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查作图复杂作图，切线的性质，正方形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）以为圆心，为半径画弧交于，作直线交于点，直线即为所求．
（2）连接，,根据切线的性质可证明四边形是正方形，得到，设，结合，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求．
【小问2详解】
连接，，
是的内切圆，，，是切点，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
设，
在中，
，
，
，
．
23. 如图，在平面直角坐标系中，点 ，把线段绕点逆时针旋转到，交轴于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）连接，若点在反比例函数的图象上，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形判定得到，可得，，由点，的坐标可得，，从而得到点的坐标，因为反比例函数的图象经过点，可求得的值；
（2）设的解析式为，根据点，的坐标可求出的解析式，继而得到点的坐标，根据点，的坐标可得的长，从而得到的面积，设点坐标为，根据，可求出的值，从而得到点的坐标．
【小问1详解】
解：作轴，垂足为点，
把线段绕点逆时针旋转到，
，，
，
即，
在和中，
，
（），
，，
点，
，，
点的坐标为，，
反比例函数的图象经过点，
；
【小问2详解】
设的解析式为，
点，
，
解得，
的解析式为，
令，则，
点的坐标为，
，
，
，
设点坐标为，
，
，
解得，
点坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，求一次函数解析式，勾股定理等知识．证得是解（1）题的关键．求得点的坐标是解（2）题的关键．
24. 如图，在中，，，．若动点在线段上（不与点、重合），过点作交边于点．
（1）当点运动到线段中点时，计算的长；
（2）点关于点的对称点为点，以为半径作，当等于多少时，与直线相切．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了圆切线性质，含角的直角三角形性质，相似三角形的性质与判定，掌握相关知识是解题的关键．
（1）求出，的值，根据题意可得，证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）过作于，根据等面积法求出，即可得出的半径，证得出比例式，代入求出即可．
【小问1详解】
解：，，，
，，
点为中点，
，
，，
，
，
，
；
【小问2详解】
过作于，
，，，，
由三角形面积公式得：，即，
，
分为两种情况：①如图1，
，
，
点和点关于点对称，
，
，
，
，
，
；
②如图2，
，
，
点和点关于点对称，
，
，
，
，
，
，
综上所述，为或时，与直线相切．