黑龙江省哈尔滨市平房区2025~2026学年九年级上册期末考试数学试题【附解析】

这是一份黑龙江省哈尔滨市平房区2025~2026学年九年级上册期末考试数学试题【附解析】，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果．如由我国制造的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号III型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界纪录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作（ ）
A．9050B．C．10907D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．2025年的春节档影片《哪吒2》，以“我命由我不由天”的精神内核和全新的中国风审美，结合现代科技手段，诠释了中华文化的创新活力与独特魅力．截止到2025年4月5日，该片票房已超过15500000000元．其中15500000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
5．不等式组的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单独把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．那么第12个数对为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为（ ）
A．12B．13C．14D．15
8．如图，菱形，点E为延长线上一点，连接交于点F，下列式子正确的是（ ）．
A．B．C．D．
9．如图，点A、B在反比例函数的图象上，点A坐标为，点B坐标为，点P为直线上一动点，连接PA、PB，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
10．周末小海从家出发，步行前往距家900米的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小海从超市出来后的速度变为原来的1.2倍，到达集合地，小海与家的距离与所用时间的关系如图所示，那么小海在超市购物用了（ ）
A．5分钟B．6分钟C．7分钟D．8分钟
二、填空题
11．在函数中，自变量的取值范围是 ．
12．把多项式因式分解的结果是 ．
13．现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有．
例如：，则 ．
14．如图，点A、B、C在上，，的半径为4，则的长为 ．
15．分式方程的解为 ．
16．虹虹在物理课上学习了小孔成像的相关知识，回家后做小孔成像的实验，如图，物距是50cm，像距是150cm，蜡烛火焰的高度为3cm，那么光屏上的像的高度为 cm．
17．如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是 米．（结果保留）

18．九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，其中8名男生、4名女生，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，则抽出的同学是女生的概率是 ．
19．已知等边三角形，，点在上，过点作的垂线，交射线于点，交射线于点，若，则的长为 ．
20．已知如图，正方形的边长为2，，且交于点G，，，则①②③四边形为菱形④
以上结论正确的是 ．
三、解答题
21．先化简，再求代数式的值，其中．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将线段绕点A旋转，点B的对应点为点C．（点C在格点上）；
（2）在边上画出点E，连接，且；（保留作图痕迹）
（3）直接写出的长．
23．某校为了解学生对冰雪运动项目的喜欢情况，随机抽取部分学生进行“你最喜欢的冰雪项目”（必选且只选一项）的调查，根据调查结果，绘制了如下不完整条形统计图．已知最喜欢“冰球”项目的学生人数占调查总人数的．请根据图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？
（2）通过计算将条形统计图补充完整：
（3）若该校共有3000名学生，请你估计全校最喜欢“滑雪”项目的学生有多少名？
24．【模型建立】
（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．
①求证：；
②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若，，求的值．

25．2025年亚冬会在哈尔滨举办，吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受广大游客的喜爱，某专营店计划购进A、B两款纪念品，若购进A款纪念品3件和B款纪念品2件共需150元，若购进A款纪念品1件和B款纪念品4件共需160元．
（1）求A、B两款纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若A款纪念品售价为38元，B款纪念品售价为45元，该专营店计划购进A、B两款纪念品共50件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于540元，那么该专营店最多可以购进A款纪念品多少件？
26．四边形内接于，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点是劣弧上一点，点为劣弧上一点，连接、、，
DE与BG相交于点F，连接AF，若，且，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，的半径为26，且，，求线段BF的长．
27．在平面直角坐标系中，抛物线，分别交轴于A、两点，交轴于点，且．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P在第三象限抛物线上一点，连接BC、PB、PC，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作轴，连接交于点，连接，若，且的面积等于288，求点P的坐标．
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题考查正负数的实际应用，理解相反意义的量是解题的关键．根据正负数表示相反意义的量，海平面以上记为正，则海平面以下记为负．
【详解】解：∵海平面以上9050米记作“米”，
∴海平面以下10907米记作负，即米．
故选D．
2．【正确答案】A
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形；
B、是轴对称图形而不是中心对称图形；
C、是轴对称图形而不是中心对称图形；
D、是中心对称图形而不是轴对称图形．
故选A．
3．【正确答案】A
【分析】根据几何体的主视图是从正面看到的图形判断即可．
【详解】解：从正面观察几何体可知，其主视图有3层，第一层有3个小正方形，第二层有2个小正方形，第三层有1个小正方形，因此，选项A符合．
故选A．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可．
【详解】解：，
故选C．
5．【正确答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
故选．
6．【正确答案】A
【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐角处数字的差的规律解决问题．
根据题意单独把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个数：，即可求解．
【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…
即：，，，，，…
则第个数对的第一个数为：，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…
即：；；；；…，
则第个数对的第二个数：，
∴第n个数对为：，
即第12个数对为：．
故选A．
7．【正确答案】C
【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质等知识．由作图过程可知：，再根据求解即可．
【详解】解：由作图过程可知：，
∴，
∵，，
∴的周长为．
故选C．
8．【正确答案】D
【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，菱形的性质是解题的关键．
根据菱形的性质，可得，，，再由相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，逐项判断，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
∴，，，故A、B、C选项错误，不符合题意；
∴，
∴，故D选项正确，符合题意；
故选D
9．【正确答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变换等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于直线的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得．
【详解】解：将点代入反比例函数得：，
∴反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
∴，
如图，作点关于的对称点，连接，
则，，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
即的最小值为，
故选A．
10．【正确答案】D
【分析】本题主要考查从函数图象中获取有用信息的能力，求出小海变速前的速度为，可得小海变速后的速度为，加速后所用时间为，再列式计算即可．
【详解】解：小海变速前的速度为，
∵小海从超市出来后的速度变为原来的1.2倍，
∴小海变速后的速度为，
∵，
∴小海在超市购物用了；
故选D．
11．【正确答案】
【分析】本题考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义的条件，分母不能为零列式求解即可．
【详解】解：在函数中，分母，
解得．
12．【正确答案】/
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】解：
．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质和加减运算法则是解题的关键．根据新运算规则列出算式计算即可求解，
【详解】解：由题意得，.
14．【正确答案】4
【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，连接，根据圆周角定理求出的度数，即可得出是等边三角形，从而求出的长．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵的半径为4，
∴.
15．【正确答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．通过寻找最简公分母去分母，将分式方程转化为整式方程求解，并对方程的解进行检验即可．
【详解】解：，
方程两边同乘最简公分母，得，
整理得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
16．【正确答案】9
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解题的关键是利用物高与像高的比等于物距与像距的比来建立等式求解．
根据小孔成像原理，利用物高、像高、物距、像距之间的比例关系求解像高．
【详解】解：设光屏上像的高度为．
在小孔成像中，物高与像高的比等于物距与像距的比，
已知物距，像距，蜡烛火焰高度（物高），
根据比例关系，即，解得.
17．【正确答案】
【分析】把半径和圆心角代入弧长公式即可；
【详解】故填：．
18．【正确答案】
【分析】本题主要考查了概率公式应用，总共有12种等可能情况，其中抽到女生的有4种情况，根据概率公式计算即可．
【详解】解：九年一班有12名同学，随机抽出一名同学代表班级参加比赛，所有可能的结果有12种，且每种结果出现的可能性相等；其中抽出的同学是女生的结果有4种，因此概率为：．
19．【正确答案】10或6
【分析】根据题意分情况作图，根据等边三角形的性质、全等三角形及相似三角形的性质即可求解．
【详解】如图，当E点在AB上，F点在CA延长线上时，作DGAC，交AB于G点
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°
∵∠GDB=∠C=60°，∠BGD=∠BAC=60°
∴△BDG为等边三角形，
设CD=x，则BD=DG=15-x
∵
∴DE=FE，
又∠DEG=∠FEA，∠EGD=∠EAF=120°
∴△DEG≌△FEA
∴AF=DG=15-x
在Rt△FCD中，∠DFC=90°-∠C=30°
∴FC=2CD=2x
∴AF=2x-15
∴15-x=2x-15
解得x=10
如图，当E点在AB延长线上，F点在AC上时，作DGAB，交AC于G点
同理可得△DGC是等边三角形
设CD=x，
∴DG=x
∴AE=BE-AB=2BD-AB=2(15-x)-15=15-2x
∵DGBE
∴△FDG∽△FEA
∵
∴DG=2EA
∴x=2（15-2x）
解得x=6
∴的长为10或6．
20．【正确答案】②③④
【分析】根据正方形的性质，求出的长，证明四边形为平行四边形，得到判断①；平行面积转化得到，得到判断②；证明，得到，推出，求出的度数，推出，进而得到，推出四边形为菱形，判断③；作交的延长线于点，得到为等腰直角三角形，设，则，勾股定理求出的值，进而求出的长，判断④即可．
【详解】解：∵正方形的边长为2，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴；故①错误；
∵，
∴，
∵，
∴；故②正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形；故③正确；
作交的延长线于点，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
设，则，
∵四边形为菱形，
∴，
在中，由勾股定理，得，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴；故④正确.
21．【正确答案】；．
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值的混合计算，分母有理化，先把原代数式中第一个分式的分子分母同时分解因式后约分化简，再计算分式减法，接着根据特殊角三角函数值求出x的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵
∴原式．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）
【分析】（1）根据旋转的性质，取格点C，使，，即可．
（2）取与格线的交点E，使，即可．
（3）取格点G，H，根据，得，根据,，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：取格点C，使，，点C即为所求作，如图：
（2）解：取与格线的交点E，使，点E即为所求作，如图：
理由：取格点G，H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转知，，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．【正确答案】（1）共调查了200名学生；
（2）见详解；
（3）估计该校最喜欢“滑雪”运动的学生有660人．
【分析】本题主要考查条形统计图以及用样本估计总体数量，根据统计图准确找出相关数据，是解题的关键．
（1）用喜欢冰球的学生人数对应的百分比，即可求解；
（2）先求出喜欢冰壶的学生人数，再补全统计图即可；
（3）用最喜欢高山滑雪的比例乘以3000，即可求解．
【详解】（1）解：（人）
答：共调查了200名学生．
（2）解：（人）
如图：
（3）解：（人）
答：估计该校最喜欢“滑雪”运动的学生有660人．
24．【正确答案】（1）①见详解；②，理由见详解；（2），理由见详解；（3）
【分析】（1）①证明：，再证明即可；②由和关于对称，可得．证明，从而可得结论；
（2）如图，过点作于点，得，证明，．可得，证明，，可得，则，可得，从而可得结论；
（3）由，可得，结合，求解，，如图，过点作于点．可得，，可得，再利用余弦的定义可得答案．
【详解】（1）①证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
∴．

②．理由如下：
∵和关于对称，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）．理由如下：
如图，过点作于点，得．

∵和关于对称，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴．
∵是直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，即．
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
如图，过点作于点．

∵，
∴，
．
∴．
∴．
25．【正确答案】（1）A、B两种工艺品每件的进价分别为28元和33元
（2）该专营店最多购进A种工艺品30件
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
（1）设A、B两款纪念品每件的进价分别为x元和y元，再由“若购进A款纪念品3件和B款纪念品2件共需150元，若购进A款纪念品1件和B款纪念品4件共需160元”列方程，再解方程即可；
（2）设该专营店购进A种工艺品a件，由总获利不低于540元，再列不等式，再解不等式即可．
【详解】（1）解：设A、B两款纪念品每件的进价分别为x元和y元，
则，
解得：，
答：A、B两种工艺品每件的进价分别为28元和33元．
（2）解：设该专营店购进A种工艺品a件，
则，
解得：．
答：该专营店最多购进A种工艺品30件．
26．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）
【分析】（1）连接， 根据弦弧关系有，得，即得 ；
（2）设由圆周角定理推论和三角形外角性质得，得到，得到，即得；
（3）延长至点M，使，连接，延长至点N，使，连接，，过点E作交 延长线于点R，过点B作于点L，证明，，得，得四边形为平行四边形，，得，得，得，由，可得，即得．
【详解】（1）解：连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵
∴
即
∴，
设
则
∴
∵
∴
∴.
∴．
（3）解：延长至点M，使，连接，延长至点N，使，连接.
∵
∴
又∵
∴，
过点B作于点L，
则，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴四边形为平行四边形，
∴
∴
∵
∴
连接
则
∵,
∴是等边三角形，
∴，
过点E作交 延长线于点R，
∵，
∴，
∴，
在中，
∴．

27．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）过点B作于点D，交y轴于点E，求出 ，，得，得，，由，得，得，由，得，解得，，得 ，得，，即可求出抛物线的解析式为；
（2）过点P作轴于点Q，由，得,即，得，得的面积为；
（3）延长交y轴于点H，过点C作的垂线，过点E作y轴的垂线，两垂线交于点D，连接，证出，得，，由得，证出四边形 为平行四边形得，由面积得，，即点P的纵坐标得，代入解析式求出．
【详解】（1）解：过点B作于点D，交y轴于点E，
则，
∵，
∴，
对，
令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
化简，得，
解得（不合）或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
把，代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式的解析式为；
（2）解：过点P作轴于点Q，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为
；
（3）解：延长交y轴于点H，过点C作的垂线，过点E作y轴的垂线，两垂线交于点D，连接，
则，
∴，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形 为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或（不合），
∴，