2023-2024学年黑龙江省哈尔滨平房区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨平房区九年级上学期数学期末试题及答案，共29页。

2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形．码”准确粘贴在条形码区域内．
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效．
4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚．
5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡）
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 中国是最早认识和使用负数的国家．若收入500元，记作元，则支出300元，记作（ ）
A. 300元B. 元C. 0元D. 200元
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正负数的应用，清楚相反意义的量是解题的关键．
【详解】根据题意，得支出300元，记作元，
故选B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，幂的乘方，合并同类项逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，幂的乘方，合并同类项，掌握以上知识是解题的关键．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知二者的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4. 反比例函数的图象一定经过点（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于k即可判断该点在函数图象上，据此求解．
【详解】解：∵，，，，
∴点在反比例函数的图象上，
故选：D．
5. 将抛物线先向右平移5个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握左加右减，上加下减原则是解题的关键．
【详解】根据左加右减，上加下减，得
，
故选B．
6. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关、、中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两个小灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，
能让两个小灯泡同时发光的概率为；
故选：C．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
7. 爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（ ）

A. 58JB. 159JC. 1025JD. 1732J
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值计算求解．
【详解】
故选：B．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
8. 如图，是的直径，，、、是的弦，且，点是直径上的一动点，则的最小值（ ）．
A. B. C. D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】作点C关于的对称点，连接，则与的交点即为所求的点P，连接，推出为的直径，进而即可求解．
【详解】如图，作点C关于的对称点，连接，则与的交点即为所求的点P，连接，
∵是的直径，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的直径，
∵是的直径，，
∴的最小值为10，
故选：D．
9. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转90°，得到（点的对应点为点），连接交于点，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，过点作垂线，利用等面积法表示出，再利用相似三角形找到与之间的关系．解答本题的关键在于做出合适的辅助线，找到相似三角形，利用相似三角形的性质求出边长即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
在，由勾股定理可得，
，
∵根据旋转不变性，得
，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴．
又∵，
，
∴
得，，
又∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
10. 如图①，动点从矩形的顶点出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积（单位：）随运动时间（单位：）变化的函数图象如图②所示，则的值是（ ）．
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由图可知，，，当点到达点时,的面积为6cm，可得出等式求出的值，即可求得答案．
本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题的关键.
【详解】解：由题图②可知,
，，
当点到达点时,的面积为6cm，
，
即，
解得，
即的长为3cm，
故选：B．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共30分）
11. 生物学家发现某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．
【详解】∵，
故答案为：．
12. 函数y＝中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≠1
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件即可解答.
【详解】函数y＝中，自变量x的取值范围是x﹣1≠0，即x≠1，
故答案为x≠1．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．
13. 计算：=________．
【答案】
【解析】
【详解】解：原式=．
故答案为．
14. 因式分解：_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．
【详解】解：
【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键．
15. 不等式组的解集是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，注意计算的准确性即可．
【详解】解：
由①得：；
由②得：，
故不等式组的解集为：，
故答案为：
16. 如图，半径为4的扇形中，，是弧上一点，，，垂足分别为、，若，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先连接，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形的面积，然后代入数据计算即可．
【详解】解：连接，如图所示，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，和全等，
，
故答案为：
17. 如图，在等腰三角形中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是___________．
【答案】##30度
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．利用基本作图得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，则计算出，然后计算即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
，
，
，
，
．
故答案为：．
18. 《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有______户人家？
【答案】75
【解析】
【分析】设城中有x户人家，根据“今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设城中有x户人家，
依题意，得：x+x=100，
解得：x=75．
故答案为：75．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
19. 已知正方形的边长为6，点是直线上一点，且，连接，作线段的垂直平分线交直线于点，则线段的长为__________．
【答案】4或16
【解析】
【分析】分为两种情况：P在DA的延长线上时，P在AD的延长线上时，连接BE，根据线段垂直平分线求出PE=BE，根据勾股定理求出BE，根据全等求出BQ=PE，即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC=AB=6，
∵3AP=AD，
∴AP=2，
分为两种情况：
①如图1所示：P在DA的延长线上时，QE交直线AD于E，与BP交于O，
连接BE，
∵QE是BP的垂直平分线，
∴PE=BE，，
设PE=BE=x，则AE=x-2，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+AB2=BE2，
(x-2)2+62=x2，
解得：x=10，
即PE=BE=10，
∵AD∥BC，
∴∠P=∠QBO，
在△PEO和△BQO中，
，
∴△PEO≌△BQO（ASA），
∴BQ=PE=10，
∵CD=6，
∴CQ=6+10=16；
②如图2所示：P在AD的延长线上时，
同理：BQ=10，
此时CQ=10-6=4；
故答案为：4或16．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
20. 如图，在四边形中，，对角线、相交于点，，，，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形、锐角三角函数、勾股定理等是一道综合型比较强的题目，要充分利用题干已知信息挖掘题目所隐含的信息，解答本题的关键在于做辅助线构造直角三角形，利用相似求解出边长．
【详解】解：过点作于，延长交的平行线于点，
∴，
在中，
∴设，，
又，
又勾股定理得，
，
∴，
．
又∵为等腰三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
，，
∴，
∴
∴，
又∵，
．
∴在中，
．
故答案为：．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共60分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟记是代值计算的关键．
【详解】解：原式
，
∵
，
∴原式．
22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将线段绕点旋转90°，点的对应点为点．（点在格点上）；
（2）在方格纸中作出的平分线，（点在格点上）连接，请直接写出的长．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
【解析】
【分析】本题考查了基本作图，旋转作图，角的平分线作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．
（1）根据旋转的性质，构造，即可．
（2）构造等腰直角三角形，使得即可．
【小问1详解】
根据题意，构造，
则点C即为所求．
【小问2详解】
如图，构造，
根据(1)得到，
，
故，
故
故的平分线，
故即为所求．
23. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数，为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
八年级10名学生活动成绩统计表

已知八年级10名学生活动成绩中位数为8.5.请根据以上信息，完成下列问题：
（1）_________，_________；
（2）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是__________，七年级活动成绩的众数为___________；
（3）若该校七、八年级共640人，八年级的人数是七年级人数的还多10人，请你估计该校七、八年级一共约有多少人的成绩为10分．
【答案】（1）；
（2）1；8 （3）128
【解析】
【分析】（1）根据八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，可知成绩由低到高排列第5位的成绩为8分，第6位的成绩为9分，由此可确定的值;
（2）将七年级活动成绩为7分的比例乘以10即可得到成绩为7分的学生数;根据众数的定义可知七年级活动成绩的众数；
（3）根据题意列式分别求出七、八年级人数，再结合统计表和扇形统计图分别求出七、八年级10分的人数，再相加即可；
本题考查扇形统计图，统计表，中位数，众数，总数，明确相关概念的定义，能从统计图中获取信息是解题的关键．
【小问1详解】
解：八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
成绩由低到高排列第5位的成绩为8分，第6位的成绩为9分，
即，
故答案为：2，3
【小问2详解】
解：，
,
七年级活动成绩为7分的学生数是1；
七年级活动成绩中8分出现的次数最多，
七年级活动成绩的众数为8分，
故答案为：1，8
【小问3详解】
解：设七年级学生人
解得：
七年级人数为：350人，八年级人数为：290人
七年级成绩为10分人数：
八年级成绩为10分人数：
解得：
七、八年级成绩为10分总人数：人
故答案为：128
24. 如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于、两点，且点的坐标为．
（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；
（2）若轴正半轴上有一点，且的面积为8，在平面内有一点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出此时点的坐标．
【答案】（1） ；
（2）或或
【解析】
【分析】（1）分别将点代入到反比例函数和正比例函数解析式即可得出答案；
（2）联立反比例函数和正比例函数求出各点坐标，再根据求出点的坐标，再分情况讨论，分别以、、为对角线时求出坐标即可．
【小问1详解】
解：将点代入，
得：,
反比例函数的解析式为：，
将点代入，
得：,
正比例函数的解析式为：
【小问2详解】
解得：
，
设
,
点的坐标为
以为对角线时，点在轴上且与关于原点对称
以为对角线时，
设
解得：
以为对角线时，
设
解得：
综上：点坐标为或或．
【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数，涉及知识有：待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，并采用数形结合和分类讨论的数学思想．
25. 2023年5月30日上午9点31分，神州十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班同学观看现场直播，学校准备为同学们购进、两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫多10元，用500元购进款文化衫和用400元购进款文化衫的数量相同．
（1）求款文化衫和款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元购进两种文化衫，应至少购进款文化衫多少件．
【答案】（1）每件B款文化衫为40元，每件A款文化衫为50元
（2）20件
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，分式方程的实际应用．
（1）设每件B款文化衫的售价为x元，则每件A款文化衫的售价为元，然后根据用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同列出方程求解即可；
（2）设购进B款文化衫m件，然后根据：学校计划用不多于14800元购买文化衫列出不等式求解即可
【小问1详解】
设每件B款文化衫的售价为x元，则每件A款文化衫的售价为元
根据题意得： 解得：，
经检验：是原方程的解
，
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
【小问2详解】
设购进B款文化衫m件，根据题意得：
解得：
答：至少购进B款文化衫20件.
26. 已知内接于，，连接．
（1）如图1，求证：
（2）如图2，当时，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，过作交于点，交于点，连接、，若，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，，可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
（2）连接，，由，可得，是直径，可得出，即是等边三角形，再证即可求解．
（3）连接、，交于点K可得通过及勾股定理求得半径，，再由可求解，最后通过得即可求解的面积．
【小问1详解】
解：连接，，如图：
，，
，
，
，
．
【小问2详解】
连接，如图：
，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
是等边三角形，
是切线，
，
又，
，
【小问3详解】
连接、，交于点K，如图：

由（2）可知：，，是等边三角形，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆内接三角形综合问题，圆周角定理，切线定理，三角形全等的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质等知识，解题的关键构造全等三角形求解．本题为中考常考题．
27. 如图，为平面直角坐标系坐标原点，抛物线经过点，，与轴交于另一点A．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点为第一象限抛物线上一点，连接、和，设点的横坐标为，的面积为S，求S关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，为第四象限抛物线上一点，连接交轴于点，点在线段上，点在直线上，若，四边形为菱形，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接将点A、C的坐标代入二次函数解析式求出b和c的值即可解答；
（2）先根据抛物线的解析式可得点A的坐标，过点D作x轴的垂线，垂足为点E，点D的横坐标为t，表示出,然后再根据列出解析式化简即可；
（3）如图，设直线交y轴于点K，连接、，先求出点D的坐标，然后再求得，求出直线的解析式为,设点P的横坐标为m，则，如图：过P作轴于点Q，则；根据可得OE的长，说明可得，则可得，然后代入求得m的值，进而完成解答．
，进而解决问题.
【小问1详解】
解：将点、代入可得：
，解得：，
所以抛物线的解析式．
【小问2详解】
解：∵，
∴,即,
如图：过D作轴，垂足为H，
设的坐标为且，即,
∴，
∴
，
∴．
【小问3详解】
解：如图，设直线交y轴于点K，连接、，
∵，
∴，解得：（舍去），，
∴D点坐标为，
∴,
∴，
∴，即，
∴,
设直线解析式为，
由题意可得：，解得：，
∴直线AD的解析式为,
∵点，点，
∴,
∴,
设点P的横坐标为m，则
如图：过P作轴于点Q，则，
∴，
∴
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴,
∴
∴，
∴轴，
∴,
∵点G在上，
∴,解得：，
∴当时，，
∴．
【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积、二次函数与几何的综合、正切的定义等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．成绩/分
6
7
8
9
10
人数
1
2
2