黑龙江省哈尔滨市道里区2025~2026学年上册期末九年级数学试题【附解析】

这是一份黑龙江省哈尔滨市道里区2025~2026学年上册期末九年级数学试题【附解析】，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．2
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如果反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
4．抛物线的顶点坐标是（）
A．B．C．D．
5．篮球比赛中，要求每两队之间都进行一场比赛，总共比赛45场，问有多少个队参加比赛？设有x个队参加比赛，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在中，点E在边上，射线交延长线于点F，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）

A． B．
C． D．
8．如图，是圆O的直径，是圆O的弦，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．将一些相同的棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形有4个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有12个棋子，第4个图形有16个棋子，……，依此规律，第6个图形有（ ）个棋子．
A．18B．20C．24D．36
10．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．在函数中，自变量的取值范围是 ．
12．多项式因式分解的结果是 ．
13．已知m是方程的一个根，则代数式的值为 ．
14．如图，已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流的值是 ．
15．规定运算“★”是，则 ．
16．已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为 .
17．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是 ．
18．如图，是的直径，D是延长线上一点，且，与相切于点C，连接，且，则的长为 ．
19．在中，，，，则 ．
20．四边形中，，，，，E、F分别是和上的点，连接、、．有如下结论：①；②；③若，，则；④的周长最小值等于周长的．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
21．先化简，再求代数式的值：，其中a＝tan60°﹣2sin30°．
22．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B在格点上．
（1）直接写出线段的长为__________；
（2）只用无刻度的直尺，在网格中按照下列要求完成画图：将点A绕点B顺时针旋转得到点C，标出C点，连接，画出的中线．（保留画中线的画图痕迹）
23．某工厂生产A、B、C、D四种产品．下面是该工厂这四种产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．
各产品年产量条形统计图 各产品年产量扇形统计图
根据上面的信息，回答下列问题：
（1）求该工厂四种产品年产量一共多少万件？
（2）通过计算补全条形图；
（3）若A、B、C、D四种产品的成本分别是每件4元、3元、7元、6元，求这四种产品制作的平均成本是多少元？
24．筝形在几何学中定义为有两组邻边分别相等的凸四边形叫做筝形．如图1，在四边形中，若，，则四边形即为筝形．（注：画出四边形的任何一边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸多边形．）
（1）如图2，在菱形中，点E、F分别是边、上的两个点，，连接和．求证：四边形是筝形．
（2）如图3，的方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点O、P均在格点上，，以点O为原点，点O、P所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若点M、N在格点上，且四边形为筝形，例如，如图3中所给出的点M即为所求，请直接写出网格中其它所有符合条件的点M的坐标．
25．同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等．
（1）求种材料和种材料的单价；
（2）若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？
26．已知：是的直径，弦交于点E，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，过点E作直线，分别交于点M、点N．求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过N作于点F，连接并延长交于点G，连接，，．求线段的长．
27．一次函数的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，二次函数的图象经过A、B两点．
（1）求b的值；
（2）P是二次函数图象第三象限内一点，连接、，设P点横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式（不用写出自变量取值范围）
（3）在（2）的条件下，过P点作直线分别交直线于点D，交y轴于点E，过P作轴于K，延长交直线于F，H是延长线上一点，连接，，P为中点，取中点G，连接，，交线段于点M，，求H点坐标．
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可．
【详解】解：的相反数是，
故选A．
2．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可解答．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选C．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．根据点，利用待定系数法求解即可得．
【详解】解：设这个函数的解析式为，
∵这个反比例函数的图象经过点，
∴，
∴这个函数的解析式为，
故选C．
4．【正确答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据抛物线的顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为．
故选A．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解决本题的关键．
根据题意列出方程即可求解．
【详解】解：∵有x个队参加比赛，每两队之间都进行一场比赛，
∴总比赛场数为，
∵总共比赛45场，
∴．
故选B．
6．【正确答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键．根据平行四边形的性质，可知，，可得，，即可根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：对于A和B，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选项A和选项B都正确，不符合题意；
对于C和D，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，，
，
，
故选项C错误，符合题意，选项D正确，不符合题意．
故选C．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A、C，根据等边对等角和垂直的定义可判断选B．由已知条件无法判断选项D．
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分，
∴，，
故选项A、C正确，
∴，
∵，，
∴，
故选项B正确，
由已知条件无法得到，故选项D中说法不一定正确．
故选D．
8．【正确答案】B
【分析】本题考查了圆周角，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
连接，根据是直径，得到，结合，得到，根据同弧所对的圆周角相等，得到．
【详解】解：连接，
是圆O的直径，
，
，
，
．
故选B．
9．【正确答案】C
【分析】本题考查图形的变化规律，解题关键是明确题意，找出题目中棋子个数的变化规律．
根据题目中的图形，可以写出前几个图形中棋子的个数，通过归纳得出第n个图形的棋子的个数，最后把代入规律求解即可．
【详解】解：第1个图形有个棋子，
第2个图形有个棋子，
第3个图形有个棋子，
第4个图形有个棋子，
……，
由此发现，第n个图形有个棋子，
∴第6个图形有个棋子．
故选C
10．【正确答案】D
【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况即可得到答案，读懂题意，文字转化为数学图象语言是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，图象中与故事情节相吻合的是选项，
故选．
11．【正确答案】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解．
【详解】解：根据题意，得，
解得.
12．【正确答案】
【分析】本题考查了因式分解，，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键．
【详解】解：原式，
.
13．【正确答案】2026
【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入，得到，整体代入法求出代数式的值即可．
【详解】解：∵ m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴.
14．【正确答案】
【分析】本题考查反比例函数的图象与应用，根据图象求出解析式是解题关键．
设反比例函数的解析式为，根据图象可知，双曲线过点，代入解析式求出k．再令，求出此时电流的值．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
将，代入解析式得，，
∴，
∴，
令，则（A），
∴此时电流的值为．
15．【正确答案】/
【分析】本题考查了实数的新定义，分母有理化，二次根式的减法运算．根据新运算的定义，将 a 和 b 的值代入公式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴当，时，．
16．【正确答案】
【分析】根据弧长公式求出半径，利用扇形公式求出面积即可.
【详解】设半径为R ，
∴2= ，解得：R=3，
∴扇形面积为： =3，
故答案为3
17．【正确答案】
【分析】本题考查了列举法求概率，通过列举法求出所有可能的结果数及两次取出的小球标号的和等于5的结果数，由概率公式即可求得结果．
【详解】解：∵随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，
∴所有可能的结果有，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
一共16种，
其中两次取出的小球标号的和为5的情况有：，，，共4种，
则两次取出的小球标号的和等于5的概率为．
18．【正确答案】4
【分析】本题考查切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和圆周角定理．连接，由切线的性质可得，．根据，可得，结合圆周角定理可知，，所以．根据含角的直角三角形的性质可得，，结合，从而算出与的值，进一步求出 的长．
【详解】解：如图，连接，
∵与相切于点C，
∴，
∴，
由圆周角定理可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
在直角中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为圆O的直径，
∴，
∴．
19．【正确答案】或
【分析】本题考查解直角三角形，涉及正切函数定义、勾股定理等知识，根据题意，分情况求解是解决问题的关键
由，分三种情况：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，然后过点作出对边的高，构造直角三角形分别进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意，分三种情况：
当为锐角三角形时，过点作于点，如图所示：
在中，，
设，则，
，
由勾股定理可得，则，
，
解得或（负值，舍去），
则，，
在中，，，则由勾股定理可得，
；
当为直角三角形时，如图所示：
在中，，则，
，
，故此种情况不存在；
当为钝角三角形时，过点作于点，如图所示：
在中，，
设，则，
，
由勾股定理可得，则，
，
解得或（负值，舍去），
则，，
在中，，，则由勾股定理可得，
．
20．【正确答案】①②/②①
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形周长的计算，对所有知识点灵活运用是解题的关键．
结论①：利用等腰三角形的性质，进行角度计算即可；结论②：构造，再证明出得出多种数量关系，即可证出；结论③：假设，则，过点作交于点，由勾股定理，求出的长，通过特殊角的直角三角形求出的长，最终求出的长度；结论④：利用轴对称的性质，判断出的周长最小值的情况，求出最小值，并与周长进行比较计算即可．
【详解】解：对于结论①：
∵，，
∴，
同理，由于，，
∴，
∴，
∴，
故结论①正确．
对于结论②：
在的延长线上截取，连接，如下图所示：
在与中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，又∵，
∴，
即，
在与中，
∵，，，
∴，
∴，结合，
故，
即结论②正确．
对于结论③：
过点作交于点，过点作交于点，如图：
由结论①的结果，，，且为等边三角形，即，
∴，结合勾股定理，结合，
解得，，
假设，则，
∵，
∴，
∵，结合结论②，可得，
∴，
∵和，
∴，
即，
解得，即，结合，
由勾股定理，
故结论③错误．
对于结论④：作关于的对称点，作关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，如下图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，同理可得，
计算得出，符合题意，
此时的最小周长为线段的长度，
∵、为、的中点，
∴，
在中，，
∴，,
则的周长为，
∵
∴的最小周长等于周长的，
故结论④错误．
21．【正确答案】，.
【分析】根据分式加减乘除的运算法则对原式进行化简，再算出a的值，代入即可.
【详解】原式＝ .
当a＝tan60°﹣2sin30°＝时，
原式＝ ．
22．【正确答案】（1）
（2）见详解
【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）直接根据勾股定理求解即可；
（2）根据旋转的性质和网格的特点可得点C，然后取格点E、F，连接交于点D，根据网格的特点可知，连接，即为所求．
【详解】（1）解：由图可知，.
（2）解：如图所示，即为所求，
．
23．【正确答案】（1）200万件
（2）见详解
（3）元
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数，从统计图表中获取信息是解题的关键．
（1）根据D产品的年产量为40万件，占比，列式计算即可得到四种产品的年产量；
（2）根据（1）中求得的总年产量和C产品的占比，先求得C产品的年产量，再求得A产品的年产量，据此补全条形统计图即可；
（3）先根据四中产品的每件成本价，求得这四种产品的总成本，然后除以总量即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，（万件），
答：该工厂四种产品年产量一共200万件．
（2）解：C产品的年产量：（万件），
A产品的年产量：（万件），
补全条形统计图如下：
（3）解：（元），
答：这四种产品制作的平均成本是元．
24．【正确答案】（1）见详解
（2），，
【分析】（1）根据菱形的性质，得到，，即可证明，得到，即可根据筝形的定义证明结论；
（2）分和两种情况讨论，分别求出满足条件的点M的坐标即可．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
四边形是筝形；
（2）解：当时，以点P为圆心，5为半径画弧，该弧恰经过，，，等4个格点，
且，； ，；，，
四边形、四边形、四边形都是筝形；
当时，也能得到，，，共4个格点，但都找不到对应的点M，使四边形为筝形；
所以网格中其它所有符合条件的点M的坐标是，，．
25．【正确答案】（1）A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；
（2）最多能购买种材料20件．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用．
（1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，
依题意，
解得，
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；
（2）解：设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件，
依题意得：．
解得．
∴m的最大值为20．
答：最多能购买种材料20件．
26．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）
【分析】（1）连接，由圆周角定理和平角的定义可证明，则由三线合一定理可证明，据此可证明结论；
（2）导角可证明；则可证明，得到；再证明，得到，则可证明；
（3）过点B作于H，连接，由三线合一定理可得，证明是的中位线，得到；设的半径为，则，由勾股定理得，解得，则，可求出，，解直角三角形可得；可证明，，则．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴；
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点B作于H，连接，
由（2）可得，，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴；
设的半径为，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
在中，，
∴，
∴，
∴．
27．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用一次函数先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可解答；
（2）不妨设点，设直线交轴于点，然后用待定系数法求得直线的表达式为：，那么，最后通过得出答案；
（3）过点作轴交直线于点，过点作于点，延长交于点，先表示出，然后结合，得到，，设，证明四边形为矩形，以及，得到，那么为的垂直平分线，，设，则，接着证明，延长交延长线于点，延长交轴于点，连接，证明，得到，推出，作于，证明，，得到，结合，轴，列出，解方程即可．
【详解】（1）解：对于一次函数，
令，则；令，则，
∴，，
把，代入二次函数，
得，
解得；
（2）解：由（1）可知，二次函数的解析式为：
不妨设点，设直线交轴于点，如图所示：
设直线的表达式为：，代入，，
，解得，
∴直线的表达式为：，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：过点作轴交直线于点，过点作于点，延长交于点，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
设，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∴为的垂直平分线，
∴，
设，则，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
延长交延长线于点，延长交轴于点，连接，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
∴（舍去），，
∴，
∴．