江西省部分学校2023-2024学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（解析版）

这是一份江西省部分学校2023-2024学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了 已知集合，则， “且”是“”的， 已知命题，，则， 下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D. 以上都不正确
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合间的基本关系即可判断.
【详解】由集合间的包含关系可知.
故选：C
2. （ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的运算可求得答案.
【详解】原式
.
故选：C.
3. “且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质结合充分条件、必要条件的定义即可判断作答.
【详解】若且，根据不等式的性质知不等式成立，
若，如，，，而且不成立，
所以“且”是“”的充分不必要条件
故选：A
4. 已知参加数学竞赛决赛的14人的成绩分别为：，则这14人成绩的第70百分位数是（ ）
A. 84B. 85C. 86D. 87.
【答案】C
【解析】
【分析】利用百分位数的定义求解即可.
【详解】把成绩按从小到大的顺序排列为：，
因为，所以这14人成绩的第70百分位数是86.
故选：C.
5. 下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知函数在上为减函数，然后逐项判断各选项中的函数在区间上的单调性，从而得解.
【详解】对任意，当时，都有，
则函数在上为减函数，
对于A，在上为增函数，故A错误；
对于B，在上为减函数，故B正确；
对于C，在上不单调，故C错误；
对于D，在上为增函数，故D错误.
故选：B.
6. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数及指数函数的单调性判断与0，1的大小关系，即得.
【详解】因为，
而，即，
，
所以.
故选：B.
7. 某班50名学生骑自行车，骑电动车到校所需时间统计如下：
则这50名学生到校时间的方差为（ ）
A. 48B. 46C. 28D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】根据分层随机抽样的总样本的平均数和方差公式进行求解.
【详解】由已知可得，骑自行车平均用时（分钟）：，方差；
骑电动车平均用时（分钟）：，方差；
骑自行车人数占总数的，骑电动车人数占总数的.
这50名学生到校时间的平均数为，
方差为.
故选：A.
8. 已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用的奇偶性与单调性，将问题转化为，从而得解.
【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上单调递减，
所以在上单调递增，
又，所以，
则，故，解得
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解决关键是利用偶函数的性质，从而转化得解.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知命题，，则（ ）.
A. 真命题B. ，
C. 是真命题D. ，
【答案】AD
【解析】
【分析】
由函数的性质及全称命题的否定定义逐一判断.
【详解】命题，，则，所以B错D正确
又因为当时，；当时，，
所以命题假，是真命题，故A正确C错
故选:AD
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 函数与函数表示同一个函数
B. 若是一次函数，且，则
C. 函数的图象与轴最多有一个交点
D. 函数在上是单调递减函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据相等函数的概念判断A；利用待定系数法求出函数的解析式，即可判断B；根据函数的定义即可判断C；根据单调区间的定义即可判断D.
【详解】A：对于，有，解得，
则的定义域为，
对于，有，解得或，
则的定义域为，
即与的定义域不一致，
所以这两个函数不表示同一个函数，故A错误；
B：设，则，
又，所以，解得或，
所以或，故B错误；
C：由函数的定义知，的图象与轴最多有一个交点，故C正确；
D：函数在上是单调递减函数，故D错误.
故选：ABD
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】对于AD，利用完全平方公式，结合指数幂的运算法则即可判断；对于BC，举反例即可判断.
【详解】对于A，因为恒成立，
所以恒成立，故A正确；
对于B，取，满足，
但，故B错误；
对于C，取，满足，
但，显然无意义，故C错误；
对于D，因为，
所以恒成立，故D正确.
故选：AD.
12. 设为同一随机试验中的两个随机事件，的对立事件分别为，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则事件与一定不互斥
B. 若，则事件与一定对立
C. 若，则的值为
D. 若事件与相互独立且，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据随机事件相互独立，互斥，对立的定义，以及公式，即可判断选项.
【详解】， ,因为，
则，所以，即事件与事件不互斥，故A正确；
，,，事件与事件不一定对立，故B错误；
，,，则事件与不一定独立，所以 故C错误；
因为事件与相互独立，所以与也相互独立，，解得，故D正确．
故选：AD．
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】且解不等式即可．
【详解】且，由此解得,故填
【点睛】求函数的定义域是基本考点，根式下面的值要大于等于0．
14. 已知幂函数的图象经过原点，则的值是______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据幂函数的定义结合图象经过原点求解参数即可.
【详解】由题意可得，即，解得或.
当时，幂函数的图象过原点；
当时，幂函数的定义域为，图象不过原点，不满足题意.
故的值是3.
故答案为：3
15. 若存在正实数满足，且使不等式有解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，再利用能成立问题得到关于的不等式，解之即可得解.
【详解】因为正实数满足，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
若不等式有解，则，解得或，
则实数m的取值范围是.
故答案为：.
16. 今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要________年（最终结果四舍五入，参考数据： ，）
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解.
【详解】由题意得：，解得，所以，
当时，得，即，
两边取对数得（其中应用换底公式：）.
所以，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度时，大约需要年.
故答案是：.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17 已知集合
（1）若，求；
（2）若是的必要条件，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用具体函数定义域的求法化简集合，再利用集合的交并补运算即可得解；
（2）将问题转化为，再利用集合的包含关系得到关于的不等式组，从而得解.
【小问1详解】
对于，有，解得，
所以，
当时，，
又，
所以.
【小问2详解】
因为是的必要条件，所以，
因为，，
所以，解得，
则的取值范围为.
18. 为了促进五一假期期间全区餐饮服务质量的提升，某市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度.为此该部门随机调查了500名游客，把这500名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中的值和评分的中位数；
（2）若游客的“认可系数”（认可系数）不低于0.85，餐饮服务工作按原方案继续实施，否则需进一步整改，根据所学的统计知识，结合“认可系数”，判断餐饮服务工作是否需要进一步整改，并说明理由.
【答案】（1）；
（2）需要进一步整改，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1求得，再利用频率分布直方图中位数的求法即可得解；
（2）利用频率分布直方图平均数的求法求得游客的“认可系数”，从而得以判断.
【小问1详解】
由图可知：，解得，
因为内的频率为，
的频率为，
所以中位数位于区间内，设中位数为，
则，解得，
所以评分的中位数为.
【小问2详解】
由图可知，认可程度平均分为：
，
则游客的“认可系数”为，
所以餐饮服务工作需要进一步整改.
19. 已知定义在上的偶函数，当时，，且.
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）解不等式：.
【答案】19.
20
21.
【解析】
【分析】（1）偶函数，有，代入函数解析式求的值；
（2）由函数是偶函数，求函数的解析式；
（3）由函数奇偶性和解析式解不等式.
【小问1详解】
因为是定义在上的偶函数，且，
所以，即，
解得.
【小问2详解】
当时，，
设，则，则，
故
【小问3详解】
由是偶函数，等价于，即，
得，得，解得或，
故的解集是.
20. 有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．
（1）恰有两名同学拿对了书包；
（2）至少有两名同学拿对了书包；
（3）书包都拿错了．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】先列出全部事件的24个样本点，根据古典概型可知：
（1）恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，概率为，
（2）至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，概率为，
（3）书包都拿错了包含9个样本点，概率为
【小问1详解】
设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
共有24种情况．
恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为
，，，，，，
故其概率为．
【小问2详解】
至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为
，，，，，，，
故其概率为．
【小问3详解】
书包都拿错了包含9个样本点，分别为
，，，，，，
，，，
故其概率为．
21. 设二次函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）若，
①，求的最小值，并指出取最小值时的值；
②求函数在区间上的最小值.
【答案】（1）
（2）①当时，取最小值 ；②答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可知是方程的唯一实根，从而得到关于的方程组，解之即可得解；
（2）根据题意得，①利用基本不等式“1”的妙用即可得解；②利用二次函数的性质，分类讨论即可得解．
【小问1详解】
因为的解集为，
又，
所以是方程的唯一实根，且，
所以，即，解得，
经检验，满足题意要求，
所以.
【小问2详解】
因为，，
所以，则，故，
①因为，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
②因为，则，
显然函数的图象的对称轴为，
当时，在区间上单调递增，
则的最小值为；
当时，在区间上单调递减，
则的最小值为；
综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为.
22. 已知函数，且.
（1）解不等式；
（2）设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求解出的定义域，然后根据求解出的值，结合对数函数的单调性求解出不等式的解集；
（2）通过换元法令将变形为函数，然后将问题转化为“为时的值域的子集”，最后通过分类讨论求解出的取值范围.
【小问1详解】
由条件可知，，
解得，故函数的定义域为，
由，可知，得到，即，
解不等式，即，解得，
所以不等式的解集为；
【小问2详解】
由（1）可知，
设，则当时，，
因为对勾函数时为增函数，
故，
则，
设，由题意知为时的值域的子集，
当，即时，在上单调递增，
故，解得；
当，即时，在上的最大值为中的较大者，
令，与矛盾，
令，与矛盾，
故此时；
当，即时，在上单调递减，则，解得，
综上，实数的取值范围为.
【点睛】结论点睛： 一般地，已知函数，，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
到校方式
人数
平均用时（分钟）
方差
骑自行车
20
30
36
骑电动车
30
20
16