江西省部分学校2023_2024学年高一数学上学期1月期末教学质量检测试题含解析

这是一份江西省部分学校2023_2024学年高一数学上学期1月期末教学质量检测试题含解析，共16页。试卷主要包含了 已知集合，则， “且”是“”的， 已知命题，，则， 下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D. 以上都不正确
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合间的基本关系即可判断.
【详解】由集合间的包含关系可知.
故选：C
2. （）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的运算可求得答案.
【详解】原式
.
故选：C.
3. “且”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质结合充分条件、必要条件的定义即可判断作答.
【详解】若且，根据不等式的性质知不等式成立，
若，如，，，而且不成立，
所以“且”是“”的充分不必要条件
故选：A
4. 已知参加数学竞赛决赛的14人的成绩分别为：，则这14人成绩的第70百分位数是（）
A. 84B. 85C. 86D. 87.
【答案】C
【解析】
【分析】利用百分位数的定义求解即可.
【详解】把成绩按从小到大的顺序排列为：，
因为，所以这14人成绩的第70百分位数是86.
故选：C.
5. 下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知函数在上为减函数，然后逐项判断各选项中的函数在区间上的单调性，从而得解.
【详解】对任意，当时，都有，
则函数在上为减函数，
对于A，在上为增函数，故A错误；
对于B，在上为减函数，故B正确；
对于C，在上不单调，故C错误；
对于D，在上为增函数，故D错误.
故选：B.
6. 若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数及指数函数的单调性判断与0，1的大小关系，即得.
【详解】因为，
而，即，
，
所以.
故选：B.
7. 某班50名学生骑自行车，骑电动车到校所需时间统计如下：
则这50名学生到校时间的方差为（）
A. 48B. 46C. 28D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】根据分层随机抽样的总样本的平均数和方差公式进行求解.
【详解】由已知可得，骑自行车平均用时（分钟）：，方差；
骑电动车平均用时（分钟）：，方差；
骑自行车人数占总数的，骑电动车人数占总数的.
这50名学生到校时间的平均数为，
方差为.
故选：A.
8. 已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用的奇偶性与单调性，将问题转化为，从而得解.
【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上单调递减，
所以在上单调递增，
又，所以，
则，故，解得
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解决关键是利用偶函数的性质，从而转化得解.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知命题，，则（ ）.
A. 真命题B. ，
C. 是真命题D. ，
【答案】AD
【解析】
【分析】
由函数的性质及全称命题的否定定义逐一判断.
【详解】命题，，则，所以B错D正确
又因为当时，；当时，，
所以命题假，是真命题，故A正确C错
故选:AD
10. 下列说法错误的是（）
A. 函数与函数表示同一个函数
B. 若是一次函数，且，则
C. 函数的图象与轴最多有一个交点
D. 函数在上是单调递减函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据相等函数的概念判断A；利用待定系数法求出函数的解析式，即可判断B；根据函数的定义即可判断C；根据单调区间的定义即可判断D.
【详解】A：对于，有，解得，
则的定义域为，
对于，有，解得或，
则的定义域为，
即与的定义域不一致，
所以这两个函数不表示同一个函数，故A错误；
B：设，则，
又，所以，解得或，
所以或，故B错误；
C：由函数的定义知，的图象与轴最多有一个交点，故C正确；
D：函数在上是单调递减函数，故D错误.
故选：ABD
11. 下列说法正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】对于AD，利用完全平方公式，结合指数幂的运算法则即可判断；对于BC，举反例即可判断.
【详解】对于A，因为恒成立，
所以恒成立，故A正确；
对于B，取，满足，
但，故B错误；
对于C，取，满足，
但，显然无意义，故C错误；
对于D，因为，
所以恒成立，故D正确.
故选：AD.
12. 设为同一随机试验中的两个随机事件，的对立事件分别为，，，下列说法正确的是（）
A. 若，则事件与一定不互斥
B. 若，则事件与一定对立
C. 若，则的值为
D. 若事件与相互独立且，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据随机事件相互独立，互斥，对立的定义，以及公式，即可判断选项.
【详解】， ,因为，
则，所以，即事件与事件不互斥，故A正确；
，,，事件与事件不一定对立，故B错误；
，,，则事件与不一定独立，所以 故C错误；
因为事件与相互独立，所以与也相互独立，，解得，故D正确．
故选：AD．
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】且解不等式即可．
【详解】且，由此解得,故填
【点睛】求函数的定义域是基本考点，根式下面的值要大于等于0．
14. 已知幂函数的图象经过原点，则的值是______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据幂函数的定义结合图象经过原点求解参数即可.
【详解】由题意可得，即，解得或.
当时，幂函数的图象过原点；
当时，幂函数的定义域为，图象不过原点，不满足题意.
故的值是3.
故答案为：3
15. 若存在正实数满足，且使不等式有解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，再利用能成立问题得到关于的不等式，解之即可得解.
【详解】因为正实数满足，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
若不等式有解，则，解得或，
则实数m的取值范围是.
故答案为：.
16. 今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要________年（最终结果四舍五入，参考数据：，）
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解.
【详解】由题意得：，解得，所以，
当时，得，即，
两边取对数得（其中应用换底公式：）.
所以，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度时，大约需要年.
故答案是：.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17已知集合
（1）若，求；
（2）若是的必要条件，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用具体函数定义域的求法化简集合，再利用集合的交并补运算即可得解；
（2）将问题转化为，再利用集合的包含关系得到关于的不等式组，从而得解.
【小问1详解】
对于，有，解得，
所以，
当时，，
又，
所以.
【小问2详解】
因为是的必要条件，所以，
因为，，
所以，解得，
则的取值范围为.
18. 为了促进五一假期期间全区餐饮服务质量的提升，某市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度.为此该部门随机调查了500名游客，把这500名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中的值和评分的中位数；
（2）若游客的“认可系数”（认可系数）不低于0.85，餐饮服务工作按原方案继续实施，否则需进一步整改，根据所学的统计知识，结合“认可系数”，判断餐饮服务工作是否需要进一步整改，并说明理由.
【答案】（1）；
（2）需要进一步整改，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1求得，再利用频率分布直方图中位数的求法即可得解；
（2）利用频率分布直方图平均数的求法求得游客的“认可系数”，从而得以判断.
【小问1详解】
由图可知：，解得，
因为内的频率为，
的频率为，
所以中位数位于区间内，设中位数为，
则，解得，
所以评分的中位数为.
【小问2详解】
由图可知，认可程度平均分为：
，
则游客的“认可系数”为，
所以餐饮服务工作需要进一步整改.
19. 已知定义在上的偶函数，当时，，且.
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）解不等式：.
【答案】19.
20
21.
【解析】
【分析】（1）偶函数，有，代入函数解析式求的值；
（2）由函数是偶函数，求函数的解析式；
（3）由函数奇偶性和解析式解不等式.
【小问1详解】
因为是定义在上的偶函数，且，
所以，即，
解得.
【小问2详解】
当时，，
设，则，则，
故
【小问3详解】
由是偶函数，等价于，即，
得，得，解得或，
故的解集是.
20. 有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．
（1）恰有两名同学拿对了书包；
（2）至少有两名同学拿对了书包；
（3）书包都拿错了．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】先列出全部事件的24个样本点，根据古典概型可知：
（1）恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，概率为，
（2）至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，概率为，
（3）书包都拿错了包含9个样本点，概率为
【小问1详解】
设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
共有24种情况．
恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为
，，，，，，
故其概率为．
【小问2详解】
至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为
，，，，，，，
故其概率为．
【小问3详解】
书包都拿错了包含9个样本点，分别为
，，，，，，
，，，
故其概率为．
21. 设二次函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）若，
①，求的最小值，并指出取最小值时的值；
②求函数在区间上的最小值.
【答案】（1）
（2）①当时，取最小值；②答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可知是方程的唯一实根，从而得到关于的方程组，解之即可得解；
（2）根据题意得，①利用基本不等式“1”的妙用即可得解；②利用二次函数的性质，分类讨论即可得解．
【小问1详解】
因为的解集为，
又，
所以是方程的唯一实根，且，
所以，即，解得，
经检验，满足题意要求，
所以.
【小问2详解】
因为，，
所以，则，故，
①因为，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
②因为，则，
显然函数的图象的对称轴为，
当时，在区间上单调递增，
则的最小值为；
当时，在区间上单调递减，
则的最小值为；
综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为.
22. 已知函数，且.
（1）解不等式；
（2）设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求解出的定义域，然后根据求解出的值，结合对数函数的单调性求解出不等式的解集；
（2）通过换元法令将变形为函数，然后将问题转化为“为时的值域的子集”，最后通过分类讨论求解出的取值范围.
【小问1详解】
由条件可知，，
解得，故函数的定义域为，
由，可知，得到，即，
解不等式，即，解得，
所以不等式的解集为；
【小问2详解】
由（1）可知，
设，则当时，，
因为对勾函数时为增函数，
故，
则，
设，由题意知为时的值域的子集，
当，即时，在上单调递增，
故，解得；
当，即时，在上的最大值为中的较大者，
令，与矛盾，
令，与矛盾，
故此时；
当，即时，在上单调递减，则，解得，
综上，实数的取值范围为.
【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．
到校方式
人数
平均用时（分钟）
方差
骑自行车
20
30
36
骑电动车
30
20
16