江西省吉安市2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

这是一份江西省吉安市2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，得或，则，所以.
故选：C.
2. 已知命题：，，那么命题的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】命题：，的否定为，.
故选：C.
3. 在一次数学考试中，某小组11名同学成绩分别为123，92，95，92，110，97，101，97，97，107，121，则该小组数据的第80百分位数为（ ）
A. 101B. 107C. 110D. 121
【答案】C
【解析】数据从小到大排序为：92，92，95，97，97，97，101，107，110，121，123，
因为，所以数据的第80百分位数为第9项数据110.
故选：C.
4. 设，则“”是“，不等式恒成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由“，不等式恒成立”可得以下两种情况：
①当时，不等式即为：恒成立，满足条件；
②当时，则需满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是，
所以“”是“，不等式恒成立”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 函数的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，故C错误；
又因为，故D错误；
当时，，故B错误.
故选：A.
6. 已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由函数的解析式可得函数的定义域为，且函数单调递增，
因为，
，
，，
结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为.
故选：B.
7. 设函数，其中表示中的最大者，若在区间上的最大值为7，最小值为4，则区间长度的最大值和最小值分别为（ ）
A. 3，1B. 4，1C. 5，2D. 7，2
【答案】B
【解析】由题意得其图象如下图所示：
令得；
令得或1.
当，时，取得最大值4；
当，时，取得最小值1.
所以的最大值和最小值分别为4，1.
故选：B.
8. 设，，若，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】令，
则，，，所以，
即，解得或（负值舍去），
所以.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于实数a，b，c，下列说法正确是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，取，，满足，而，A错误；
对于B，因为，所以，即，所以，B正确；
对于C，由，，得，C正确；
对于D，，所以，D正确.
故选：BCD.
10. 井冈密柚以其皮薄核少、柚香浓郁、口感清甜的特点深受人们喜爱.为了解某蜜柚种植园的产量情况，随机抽取了其中80株蜜柚树，测量每株产量（单位：kg），所得数据整理并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A. 图中的值为0.025
B. 样本中单株蜜柚树的产量少于120kg的树木有56株
C. 估计该种植园中单株蜜柚树的产量众数为110kg
D. 估计该种植园中单株蜜柚树的产量的平均数超过118kg（每组数据用该组所在区间的中点值作代表）
【答案】AD
【解析】对于A，由直方图的性质，可得：，解得，所以A正确；
对于B：因为前三个矩形的面积为，，所以产量少于120kg的蜜柚树数量小于56，故B错误；
对于C：因为115~125所占的频率最高，可用估计众数，故C错误；
对于D，由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
，故D正确.
故选：AD.
11. 若是关于的方程的两根，且，，则下列说法正确的是（ ）
A. 的取值范围是B. 的最大值为
C. 的最大值为25D. 的最小值为8
【答案】ABD
【解析】对于A，因为关于的方程有两个正根，
所以解得，故A正确；
对于B，，故，
当且仅当时取等号，即的最大值为，故B正确；
对于C，，
当且仅当时等号成立，又因为，解得，时，等号成立，
但，所以等号不能成立，故C不正确；
对于D，，
当且仅当时等号成立，又因为，解得，时，等号成立，故正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则的定义域为______.
【答案】且
【解析】由题得，解得，
所以函数的定义域是.
13. 吉安，有“吉泰民安”之美誉，拥有丰富的历史文化底蕴和秀丽的自然风光.小明准备在寒假期间前往吉安旅游，他计划用三天时间游览“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”这三个景点，一天只能游览一个景点，如果按照任意次序排出游览顺序表，则第一天游览“武功山”或“钓源古村”的概率为______.
【答案】
【解析】“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”分别记为，
随机安排三个景点的游览顺序，安排方法有，，，，，，共有6种，
其中第一天游览“武功山”或“钓源古村”共有4种方法，其概率.
14. 若函数在区间有且仅有一个零点，则实数的取值范围是_______.
【答案】或
【解析】因为函数在区间有且仅有一个零点，
即在区间有且仅有一个零点，
所以在区间没有解或恰有一解，
①时，在区间无解，合题意；
②且时，需满足，即；
③时，在区间恰有一解，满足题意.
综上可知，实数的取值范围是或.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算下列各式：
（1）；
（2）.
解：（1）原式.
（2）原式.
16. 已知集合，.
（1）若，求.
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）若，则，
.
（2）①当时，，
此时，符合题意；
②当时，，要使，则有或，
得.
③当时，，要使，则有或，
解得.
综上，的取值范围是.
17. 已知函数.
（1）证明：函数的图象关于点中心对称.
（2）解不等式：.
解：（1）由得函数的定义域为，
由，
得函数的图象关于点中心对称.
（2），
因和在区间上都单调递增，
故函数在定义域上单调递增，
由（1）知，函数的图象关于点中心对称，则有，
不等式等价于，
即，则有：，解得：，
故不等式的解集为.
18. 地球表面的水储量大约有140亿亿立方米，但淡水资源只有3.5亿亿立方米，在有限的淡水资源中，仅有0.34%是人类可以利用的，水是人类赖以生存的宝贵资源，节约用水，利在当代，功在千秋.为了提高居民节约用水的意识，某城市对居民采用“阶梯水价”的计费方式，其计价规则如下：
（1）写出用户居民每月所需要缴纳的水费y（单位：元）与用水量x（单位：m3）之间的函数关系.
（2）某小区的物业公司为提高居民节约用水的积极性，将每月给缴纳水费不超过35元的用户评定为“节水榜样用户”，被评为“节水榜样用户”的居民可参加物业举办的抽奖活动，抽奖规则如下：一个不透明的箱子中装有两个编号为1，两个编号为2，一个编号为3的小球，这5个小球除编号外其余均相同，用户从箱子中依次取出两个小球，若小球的编号之和为3的倍数，则代表中奖，问：
①“节水榜样用户”的月用水量不能超过多少m3?
②参加抽奖活动的“节水榜样用户”中奖的概率是多少?
解：（1）依题，当时，；
当时，；
当时，.
综上：
（2）①由，得，
因此，月用水量不超过13.75m3的用户可被评为“节水榜样用户”.
②记两个编号为1的小球为，，两个编号为2的小球为，，
编号为3的小球为c，则该次抽奖活动的样本空间
，
共20个样本点.
其中中奖的情况有，，，，，，，，共8个，
因此，参加抽奖活动的“节水榜样用户”中奖的概率为.
19. 函数，.
（1）记，求的取值范围.
（2）记函数的最小值为，求.
（3）求方程的解集.
解：（1），其中，则，
因为，所以，
所以，.
（2）由得，
所以，
令，，则有：
①当时，，，
②当时，在上单调递增，则，
③当时，是一个开口向下二次函数，且对称轴，此时，
④当时，是一个开口向下的二次函数，且对称轴，此时，
综上：.
（3）由（2）可知①当时，，此时解得；
②当时，，
若，即，则，
此时方程无解；
若，即时，
，
此时方程的解为；
综上，方程的解集为.