江西省上饶市2024-2025学年高一上学期期末教学质量测试数学试题（解析版）

这是一份江西省上饶市2024-2025学年高一上学期期末教学质量测试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则的非空真子集的个数为（ ）
A. 4B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】因为，，所以，
所以的非空真子集的个数为．
故选：C.
2. 命题“”的否定形式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】原命题的否定为：，所以C正确.
故选：C.
3. 已知幂函数的图象关于轴对称，则的值为（ ）
A. -2B. 5C. -2或5D. 2
【答案】A
【解析】由幂函数的概念可知，，所以，解之得或．
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意．
故选：A.
4. 某学校的高一、高二及高三年级分别有学生人、人、人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】平均数为.
因此，估计该校学生的平均身高是.
故选：C.
5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于，，，
所以.
故选：C.
6. 函数在区间上的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数的定义域为，
因为，即函数为偶函数，排除AB选项，
因为，，则，则函数在上不单调递增，排除D选项.
故选：C.
7. 某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，发车顺序随机，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，他先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他没有乘坐下等车的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，所有可能的客车通过顺序的情况为
（上，中，下），（上，下，中），（中，上，下），（中，下，上），（下，中，上），（下，上，中），
共6种，其中该人可以不坐下等车情况有除第一种情况外的其余5种情况，则其概率为．
故选：D.
8. 设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数在上单调递减，函数在上单调递增，
若区间为函数的“稳定区间”，
令，
则函数与函数在区间上同增或者同减，
①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，
于是，解得；
②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立，
于是，不等式组无解，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知正数，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】因为正数，满足，
对于A：因为，则，当且仅当，
即，时取等号，故A正确；
对于B：，
当且仅当，即，时取等号，故B正确；
对于C：由A可知，所以，
当且仅当，即，时取等号，故C正确；
对于D：因为，当且仅当，
即，时取等号，这与，均为正数矛盾，故，故D错误．
故选：ABC.
10. 已知函数，则下列说法正确有（ ）
A. 若函数的值域为，则实数
B. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
C. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是
D. 若函数的值域为，则实数的取值范围是
【答案】AC
【解析】对于A，因为的值域为，所以的最小值为，
显然，否则没有最小值，由二次函数图象性质可知，
所以，解得，故A正确；
对于B，因为函数在区间上为增函数，
当时，，定义域为，不符合题意；
当时，由复合函数单调性可知在单调递增，
则，且，
又在上恒成立，
联立，解得，故B错误；
对于C，因为的定义域为，所以恒成立，
当时，由有意义，可得，显然不满足题意；
当时，则，解得，故C正确；
对于D，因为的值域为R，当时显然满足题意；
当时，则，解得，∴，故D错误.
故选：AC.
11. 对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为倒函数．以下选项正确的有（ ）
A. 函数是倒函数
B. 函数是倒函数
C. 若是R上的倒函数，当时，，方程没有正整数解
D. 若是R上的倒函数，其函数值恒大于0，且在R上是增函数．记，则是的充要条件
【答案】ACD
【解析】对于A，对于定义域为R，显然定义域中任意实数，都有成立，
又，所以是倒函数．故A正确．
对于B，定义域为，当时，，
不符合倒函数定义，所以不是倒函数，故B错误．
对于C，令，则，由倒函数的定义，可得，
所以，所以，要使有正整数解，
则，当时，；
当时，；所以没有正整数解，故C错误．
对于D，充分性：当时，且，因为是增函数，
所以，，即，，
所以．
必要性：当时，
有，
因为恒大于0，所以，即，
所以，因为是增函数，所以，即；
综上可得是的充要条件，故D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一组数据、、、、、、、，这组数据的分位数是______．
【答案】
【解析】将这组数据由小到大排序为：、、、、、、、，共个数，
因为，因此，这组数据的分位数是.
13. _____________.
【答案】
【解析】原式
.
14. 已知函数，则满足不等式的的取值范围为______．
【答案】或
【解析】由，得的定义域为，
又，故为偶函数，
而当时，易知单调递增，
在上也单调递增，
故在上单调递增，
则由，得，解得或．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，，全集．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
解：（1）当时，集合，
则或，
所以或.
（2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集，
则，或，解得.
16. 设函数.
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若，，求不等式的解集．
解：（1）由题意，不等式的解集为，
则-1和3是方程的两个根，得解得，
所以.
（2）若，则，即，
因为，所以，是方程的两个实数根，
①当时，，不等式的解集为，
②当时，解集为，
③当时，，不等式的解集为，
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
17. 近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止2024年10月底的数据）
（1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数：
①，②且，③且；
（2）为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值．
解：（1）由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适，
由表格中的数据可得，解得
所以，函数模型的解析式为，
令，预测2024年年末的会员人数为100千人．
（2）由题意可得，
令，则，
令，，则函数的定义域上单调递增，
又关于在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性，，
即．所以最小值为4．
18. 多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分．
（1）考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率；
（2）现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率．
解：（1）甲同学所有可能的选择答案有14种：，，，，，，，，，，，，，，
设事件表示“猜对本题至少得2分”，
则，有7个样本点，
所以.
（2）由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，
乙丙总分刚好得18分的情况包含：
事件E：乙得12分有一种情况，丙得6分有，，三种情况，
则，
事件F：乙得9分有，两种情况，丙得9分有，两种情况，
则，
事件G：乙得6分有，，三种情况，丙得12分有一种情况，
则，
故乙丙总分刚好得18分的概率.
19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”．
（1）（ⅰ）判断是否为，的“2重覆盖函数”？请说明理由；
（ⅱ）设是，的“重覆盖函数”，求的值；
（2）若为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围．
解：（1）（ⅰ）不是，的“2重覆盖函数”，
理由如下：不妨取，则，
令，解得，仅1解，不符合定义，
所以不是，的“2重覆盖函数”.
（ⅱ），则，令，
所以，
令，则，，且，，
所以总有两个不相等的正根，
又因为，所以，四个根互不相等且非零，
所以是的“4重覆盖函数”，故．
（2）当，由指数函数性质可知单调递增，
所以，
因为为，的“2重覆数函数”，
即，总有两个不同的实根；
当时，在上单调递增，所以，如图，
此时，的图象恒有一个交点，所以恒有一个实根，
故当时，也需恒有一个实根；
当时，，如图，
此时，的图象恒有一个交点，所以恒有一个实根，符合要求；
当时，是开口向下的二次函数且有最大值，
所以对，恒有一个实根不成立，故不满足要求；
当时，对称轴为.
若，即，在上单调递减，
在上单调递增，，要满足条件，
则，且，
由，化简得，解得或，
又，所以；由得，所以.
若，即，在上单调递减，，要满足条件，则，解得，所以.
综上所述，的取值范围是.