江西省景德镇市2024-2025学年高一上学期1月期末质量检测数学试题（解析版）

这是一份江西省景德镇市2024-2025学年高一上学期1月期末质量检测数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则下列错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题，，，
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：B.
2. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
函数的定义域需满足不等式，得.
所以函数定义域是.
故选：A.
3. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】幂函数在上单调递增，
，且，求得，
故，
令，求得，可得的图象过定点.
故选：B.
4. 已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ）
A. 11，4B. 8，8C. 11，8D. 4，2
【答案】C
【解析】根据题意，数，，，的平均数是，方差，
则，，，的平均数为，
方差为.
故选：C.
5. 在，，三个数中，按从小到大排序，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于，
所以.
故选：A.
6. 历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
所以.
故选：D.
7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数为增函数，的对称轴为，开口向上，
若函数在区间上单调递增，则且，解得.
故选：C.
8. 已知函数，若，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，定义域为，关于原点对称，
且，故为奇函数；
则，，
故；
因为为增函数，故，即，
，故与同号，显然它们都是正数，
；
当且仅当，即时等号成立.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 高一上学期某高一班进行了6次数学测验，甲乙两同学6次测验成绩情况如下表：
则下列说法正确的是（ ）
A. 甲成绩极差小于乙成绩的极差
B. 甲、乙成绩中位数分别为107.5和94
C. 甲成绩的平均值大于乙成绩的平均值
D. 甲的成绩比乙的成绩稳定
【答案】BC
【解析】A.甲成绩的极差是，乙成绩的极差是，故A错误；
B.甲成绩按照由小到大排列为80，90，106，109，115，120，中位数是，
乙成绩按照由小到大排列为88，90，93，95，98，101，中位数是，故B正确；
C.甲成绩的平均数是，
乙成绩的平均数是，故C正确；
D.分别对比数据可知，甲的成绩极差比较大，并且比较分散，而乙的成绩极差小，而且比较集中，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，故D错误.
故选：BC.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 函数既是奇函数也是偶函数
B. 函数为偶函数
C. 函数是定义在上的奇函数且有最大值4
D. 函数偶函数且值域为
【答案】AD
【解析】A.函数的定义域需满足，得，此时，
既满足，也满足，所以函数既是奇函数也是偶函数，故A错误；
B.函数的定义域是，得，函数的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误；
C. ，设，，，
设，，，所以函数是奇函数，
当时，，
当时，，
所以函数的值域为，无最大值，故C错误；
D. 函数的定义域是，，
当时，，当时，，
所以，所以函数的值域是，
，所以函数是偶函数，故D正确.
故选：AD.
11. 已知函数，有4个零点，，，，则（ ）
A. 实数的取值范围是
B. 函数的图象关于轴对称
C.
D. 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】因为，所以当时，，
所以，即，
当时，，，
所以是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，所以选项B正确；
函数有4个零点，所以时有两个零点，有两个的正根，
则，解得，所以选项A正确；
由题意，作出函数的图象，根据函数的图象关于轴对称，可得，
又因为的两根，所以，
所以，所以选项C错误；
因为，
根据图象，可得，所以，所以选项D正确误.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，它的反函数经过点，则______.
【答案】2
【解析】因为函数的反函数经过点，
所以函数经过点，
所以，又且，所以.
13. 已知某组数据分别为3，5，6，7，8，9，9，11，则这组数据的分位数为______.
【答案】
【解析】将8个数据由小到大排序依次为：3，5，6，7，8，9，9，11，
因为，因此，这组数据的分位数是由小到大第5个数.
14. 已知实数，满足，，则______.
【答案】2
【解析】由题意，而
易知函数为单调增函数，
因为，所以，从而，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）化简：，（）；
（2）计算：.
解：（1）原式.
（2）原式
.
16. 现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100°C的水泡制，待茶水温度降至60°C时，饮用口感最佳.某中学学生利用课余时间探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
设茶水温度从100°C经过后温度变为°C，现给出以下三种函数模型：
①；
②；
③.
（1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；
（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）.（参考数据：，）
解：（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，
选模型②，则，可得，
所以且.
（2）令，则，
所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为.
17. 课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力.某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人.
（1）求和的值；
（2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（3）求所得数据的中位数.
解：（1）根据题意，时间在内的有80人，频率为，
所以，
再由频率分布直方图可知：，
解得.
（2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为：
.
（3）显然中位数位于内，设中位数为，
则，解得.
18. 已知奇函数与偶函数满足.
（1）求，的解析式；
（2）若，，求的值；
（3）若函数，求在上的最小值.
解：（1）由①，得②，
①②得，即.
①②得，即.
（2）由（1）得，即，
因为又因为，
所以，
则.
（3）由题，，
令，则在上单调递增，.
则，
当，即时，在上单调递减，
.
当，即时，在上单调递增，.
当，即时，
，
综上：时，；
时，；
时，.
19. 已知.
（1）当时，方程恰有一个解，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）当时，已知函数在上至少有3个零点，请求出的取值范围.
解：（1）时，，
画出函数图象，如下：
数形结合可得：或.
（2），由于，故，
，即，
变形为，
即，故
解得，故，
又，故，所以原不等式的解集为.
（3）令，即，故，
当时，在上至少有3个零点，
故在上至少有3个根，
因为，所以在上单调递增，
故当时，，
又开口向上，对称轴为，
且时，，时，，
所以在上单调递增，则，
因为，
当时，，故无解，
令，由，得，
解得或，而，
由于在R上至少有3个零点，只需，
又，解得，此时，
故至少对应一个根，满足要求，
当时，解得，负值舍去，
此时对应一个根，，对应两个根，
从而有3个根，符合题意，
因此.
所以的取值范围是.