北京市石景山区2023-2024学年高一下学期期末数学试卷 含解析

这是一份北京市石景山区2023-2024学年高一下学期期末数学试卷 含解析，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟，请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 与角终边相同的角是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用终边相同的角的集合，即可求出结果.
【详解】因为，所以与角终边相同的角是，
故选：D
2. 若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由扇形面积及弧长公式可得答案.
【详解】设扇形面积为S，半径为r，对应弧度为，弧长为.
由题可得：.
故选：A
3. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的运算法则、几何意义直接求解．
【详解】，
复数在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：A.
4. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】首先计算出，，再根据向量模的坐标公式即可得到答案.
【详解】因为，，
两式相加得，即，
所以，
故选：B.
5. 在中，已知，那么一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 正三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由正弦的和差角公式化简，即可得到结果.
【详解】因为，
所以，
即，所以，
又为三角形的内角，所以，即是等腰三角形.
故选：A
6. 古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知，，，然后结合新定义简单计算可判断各个选项.
【详解】根据题意，易得，
对于A，因为，即，故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段.
7. 若，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析： ，
且，故选D.
【考点】三角恒等变换
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：
（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
8. 函数的部分图象如图所示，则其解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知中函数的部分图象，求出满足条件的值，可得答案．
【详解】由图可得：函数的最大值为2，最小值为，故，
，故，解得，
故.
将代入可得：，
则，解得.
∵，∴，
​​​​​​​∴.
​故选:B.
9. 已知为复数，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则或
【答案】C
【解析】
【分析】设出复数的代数形式，结合共轭复数的意义计算判断ABD；举例说明判断C.
【详解】设复数，
对于A，，A正确；
对于B，，，
，，B正确；
对于C，取，满足，而，C错误；
对于D，由，得，即，
则，即，
因此或，即或，D正确.
故选：C
10. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题：
①；
②；
③在上的投影向量为；
④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4．
其中正确的命题个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，然后再由数量积的运算判断①②,由投影向量和投影数量判断③④得答案．
【详解】由题意可知，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，
对于①，，故①错误；
对于②，，则以，为邻边的对角线长是的倍，
可得，故②正确；
对于③，在上的投影向量为，故③正确；
对于④，设的夹角为，则，其中表示在上的投影数量，
易知,延长DC交AB延长线于Q,当P在线段DC上运动，投影数量最大，
易知为等腰直角三角形，且,
则在中，,
在等腰三角形中，
则
.故④正确.
则正确的个数共有3个.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题问题④的关键是利用数量积的几何意义确定在上的投影的最大值.
第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 化简______
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式即可得到答案.
【详解】.
故答案为：.
12. 若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式得出，然后在代数式上除以化为有关角的弦的二次分式齐次式，并在分式的分子和分母中同时除以，可转化为关于的代数式进行计算.
【详解】由题意可得，故答案为.
【点睛】本题考查二倍角的余弦公式以及弦化切思想的应用，弦化切思想主要应用于以下两个方面：
（1）当分式为关于角的次分式齐次式时，可在分子分母中同时除以，实现弦化切；
（2）当代数式是关于角的二次整式时，可先除以化为关于角的二次分式齐次式，然后分子分母中同时除以，可实现弦化切.
13. 在中，，，，则的外接圆半径为______.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理求解．
【详解】由已知，设三角形外接圆半径为，则，所以．
故答案为：1.
14. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则______．
【答案】
【解析】
【分析】建立如图所示坐标系，由图可得及的坐标表示，后由数量积的坐标形式下的计算公式可得答案.
【详解】由图及网格纸上小正方形的边长为1，
可得.
则.
则.
故答案为：.
15. 已知三角形是边长为2的等边三角形．如图，将三角形的顶点A与原点重合．在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点A再次回落到轴上时，将相邻两个A之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：

①一个周期是6；
②完成一个周期，顶点A的轨迹是一个半圆；
③完成一个周期，顶点A的轨迹长度是；
④完成一个周期，顶点A的轨迹与轴围成的面积是．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】①，画出顶点A的轨迹，得到相邻两个A之间的距离为6，故①正确；②根据顶点A的轨迹得到②错误；③利用弧长公式进行求解；④利用扇形面积公式和等边三角形面积，得到答案.
【详解】①，如图，将等边三角形顺时针滚动两次，A再次回落到轴上，故相邻两个A之间的距离为6，
故一个周期为6，①正确；
②，完成一个周期，顶点A的轨迹如下：

可以看出顶点A的轨迹不是一个半圆，是两段圆心角为的弧长，②错误；
③，完成一个周期，顶点A的轨迹长度是，③正确；
④，完成一个周期，顶点A的轨迹与轴围成的面积是两个圆心角为，半径为2的扇形面积，
加上一个半径为2的等边三角形，
故面积为，④正确.
故答案为：①③④
三、解答题：本大题共5小题，共40分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于两点，已知点的坐标为，点的坐标为．

（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由任意角三角函数定义结合题意可得答案.
（2）由题结合二倍角正切公式可得答案.
【小问1详解】
由题结合任意角三角函数定义可得：
；
【小问2详解】
由题可得：，
则.
17. 已知分别为的三个内角的对边，且．
（1）求的值；
（2）若，且的面积为，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解；
（2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得：，
∴可等价转化为，
其中，故．
∴，
即，
因为，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
由余弦定理可得
即，所以，
所以.
18. 向量，设函数．
（1）求的最小正周期并在右边直角坐标中画出函数在区间内的草图；
（2）若方程在上有两个根，求的取值范围及的值．
【答案】（1）；草图见解析；
（2）；答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由题可得表达式，化简后结合周期计算公式可得周期，后由五点作图法可得周期；
（2）由（1）结合图象可得答案.
【小问1详解】
由题，.
则周期为；
又，可得相应表格如下：
得函数图象如下：
【小问2详解】
方程在上根的个数，
即在区间内图象与直线的交点个数.
由（1）可得，.
又由（1）图可得两交点关于在区间内图象对称轴对称，
又由（1）可得在区间内图象对称轴为与.
则时，；时，.
19. 如图，在中，，，平分交于点，．
（1）求的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解；
（2）由（1）可求出，再根据平分可得为等腰三角形，再根据三角形的面积公式即可得解.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，
所以，
因，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，
由题设，，即为等腰三角形，
所以，
，
所以的面积．
20. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上动点，过作的平行线交于．记．

（1）求的长（用表示）；
（2）求面积的最大值，并求此时角的大小．
【答案】（1）
（2）时，面积最大值为．
【解析】
【分析】（1）过，作的垂线，垂足分别为，，由求解；
（2）由求解．
【小问1详解】
解：过，作的垂线，垂足分别为，，

则，，，
．
【小问2详解】
，
．
，，
，即时，，
因此，当时，面积的最大值为．