[数学][期末]北京市石景山区2023-2024学年高二下学期期末试卷(解析版)

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
所以，
故选：D.
2. 已知命题p：“”，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】特称命题的否定是全称命题．
命题p：“”，的否定为：．
故选：C．
3. 已知等差数列，则等于（ ）
A. B. 0C. 2D. 5
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，
因为，所以，解得：，.
故选：B.
4. 已知事件A，B相互独立，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为事件A，B相互独立，
所以，
所以，
故选：B.
5. 在数列中，，（），则的值为（ ）
A. -2B. C. D.
【答案】D
【解析】数列 中，由 ， ，得 ，
同理可得 ， ，...，
所以 ，则 .
故选：D.
6. 函数在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由知，故.
由于的斜率为，故在点处的切线斜率为.
所以，故，得.
故选：A.
7. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
当时，，
所以是单调递增函数，
因为，所以.
故选：D.
8. 已知数列是等比数列，其前n项和为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】，
而，所以，充分性成立；
反过来若，
若，
则一定有，
所以，，故，必要性成立；
也就是说，已知数列是等比数列，则“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
9. 若函数有且仅有两个零点，则实数的范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
则函数有且仅有两个零点等价于函数图象与直线有且仅有两个交点.
又，
则当时，，
得在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值.
又时，，据此可得大致图象如下：
则.
故选：C

10. 数列的通项公式为（），前n项和为，给出下列三个结论：
①存在正整数，使得；
②存正整数，使得；
③记，则数列有最大项和最小项.
其中正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，数列的通项公式为，
令，即，解得或（舍去），即，
所以，即存在正整数，使得，所以①正确；
由，存在正整数，使得，
所以②正确；
由数列的通项公式为，
可得，且当时，，
所以，
所以当时，数列有最小项，
当时，数列有最大项，所以③正确.
故选：A.
第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】要使函数有意义，则，解得，
故答案为： .
12. 已知函数定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】由导函数图象可知当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增，
因为，，当时，，
即不等式的解集为；
故答案：
13. 已知数列是等比数列，且，，则_____________.
【答案】
【解析】由是等比数列，知.
所以.
故答案为：.
14. 已知函数的导函数为，则__________，过点且与曲线相切的直线方程为_______________.
【答案】①4 ②
【解析】的导数为，
，解得，故，即；
设过点且与曲线相切，切点为，且，
故切线斜率为，即切线方程为，
切线方程过点，代入方程可得，解得或，
当时，直线方程为；
当时，直线方程为.
故答案为：4，.
15. 已知，函数有两个极值点，给出下列四个结论：
①可能是负数；
②；
③为定值；
④若存在，使得，则.
其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】②③④
【解析】对于①，，
因为函数有两个极值点，
所以有两个相异实根，这意味着，
否则时，，即单调递增，这与已知矛盾，
若，则当时，，
当时，，当时，，
即在的条件下，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
所以有两个极值点，故①错误；
对于②，是方程的两根，从而，故②正确；
对于③，，
故③正确；
对于④，若存在，使，
即关于的不等式有解，
而没有最大值，
故原命题等价于关于的不等式有解，
令,
而函数的最小值为1，
所以当且仅当，即满足题意，
即若存在，使得，则，故④正确.
故答案为：②③④.
三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若对都有恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）由，所以.
得或.
当变化时，在各区间上的正负，以及的单调性如下表所示.
所以当时取极大值；当时取极小值.
（2）由（1）可得函数在上单调递减，在上单调递增，
则在上的最小值.
对都有恒成立，所以.
17. 已知等差数列的前n项和为， 从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明数列的前n项和．
条件①，条件②，条件③.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
解：（1）由于是等差数列，设公差为，
当选①②时：，
解得，
所以的通项公式，．
选①③时，
解得，
所以的通项公式，．
选②③时，
解得，
所以的通项公式，．
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
因为，所以.
18. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

（1）求的值；
（2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为X，求X的分布列及数学期望；
（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的概率.
解：（1）依题意可得，解得；
（2）由（1）可得高度在和的频率分别为和，
所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，
所以可取0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列为：
所以；
（3）从所有花卉中随机抽取3株，
记至少有2株高度在为事件，
则.
19. 已知函数.
（1）求证：当时，；
（2）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围.
解：（1）令，
.
由得，于是，故函数是上的增函数.
所以当时，，即；
（2）当时，由（1）知，满足题意.
令，则.
当时，若，，
则在上是减函数.
所以时，，不合题意.
当时，，则在上是减函数，
所以，不合题意.
综上所述，实数a的取值范围.
20. 若数列对任意的，均满足，则称为“速增数列”.
（1）已知数列是首项为1公比为3 的等比数列，判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
（2）若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数k的最大值.
解：（1）数列是“速增数列”，理由如下：
由，则，
，
因为，故，
所以数列是“速增数列”；
（2）数列为“速增数列”，，，，
任意项，
时，
，
即，
当时，，当时，，
故正整数k的最大值为63.
＋
0
－
0
＋
↗
极大
↘
极小
↗
0
1
2