天津市武清区城关中学2025_2026学年高二上学期12月月考数学试题 [含答案]

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一、单选题
1．抛物线x2=－4y的准线方程为（ ）
A．x＝1B．x＝2C．y＝1D．y＝2
2．已知等差数列，，则公差d等于（ ）
A．B．C．3D．-3
3．在等差数列中，，则（ ）．
A．3B．4C．6D．8
4．已知双曲线的实轴长为，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．设双曲线的焦距为，若成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为
A．B．C．D．
9．高阶等差数列是数列逐项差之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第10层小球的个数为（ ）.
A．45B．55C．65D．75
10．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知曲线是双曲线，则实数的取值范围为 ．
12．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为1，则等于 .
13．已知数列满足，则等于 ．
14．双曲线的右焦点为，为坐标原点，点在双曲线上，且轴.若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 .
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 ．
三、解答题
16．若数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明是等差数列.
17．已知椭圆：过点，且短轴长为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）倾斜角为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于、两点，求
18．已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求直线EF与平面
夹角的正弦值；
（3）求点F到面PAC的距离
19．已知圆的圆心为原点，且与直线相切，直线过点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
20．设椭圆：的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若（为原点），求直线的方程；
（Ⅲ）若是椭圆经过原点的弦，，求证：为定值.
答案
1．【正确答案】C
【详解】，
，
抛物线的准线方程为.
故选C.
2．【正确答案】B
【详解】由题意，等差数列，，
可得等差数列的公差.
故选B.
3．【正确答案】C
【详解】由等差数列的性质知.
故选C.
4．【正确答案】B
【详解】的焦点坐标为，故，
由题意得：，所以，
故双曲线方程为.
故选B
5．【正确答案】A
【详解】成等差数列，，又，
，即，，
双曲线的渐近线方程为.
故选A.
6．【正确答案】B
【详解】依题意，点在椭圆内，设这条弦的两个端点，
由得：，又，
于是得弦AB所在直线斜率，方程为：，即，
所以这条弦所在的直线方程是.
故选B
7．【正确答案】A
【详解】依题意，轴，，
所以.
故选A
8．【正确答案】C
【详解】∵等差数列中，，∴，即.又，∴的前项和的最小值为.
故答案选C
9．【正确答案】B
【详解】记第层有个球，则，
结合高阶等差数列的概念知，，，
则第10层的小球个数.
故选B
10．【正确答案】D
【详解】抛物线的焦点为，准线为，
设点在准线上的射影为，如图，

则根据抛物线的定义可知，
求的最小值，即求的最小值，
显然当，，三点共线时取得最小值，
此时点的横坐标为，则，解得，即.
故选D.
11．【正确答案】
【详解】由曲线是双曲线，得，解得或，
所以实数的取值范围为.
12．【正确答案】3
【详解】抛物线 的焦点为，准线方程为，如图所示：
过点作直线交抛物线于两点，的中点为，则点的横坐标为1，
分别过作准线的垂线，垂足为，则有，由梯形的中位线有，
由抛物线定义可知．
13．【正确答案】7
【详解】因为，
所以，
所以数列为等差数列，
由
所以，
即，
由等差数列的性质有：，
所以.
14．【正确答案】
【详解】由题意，点为双曲线的右焦点，所以，
将代入双曲线的方程，得，
又，所以，
又是等腰直角三角形，所以，所以，即，
又，即，所以，化简得，
解得或（舍），即双曲线C的离心率为.
15．【正确答案】/
【详解】因为双曲线的实轴长，解得，
所以双曲线方程为，则，
根据双曲线的定义可知，，
所以，
解得，，
所以的周长为.
16．【正确答案】（1）
（2）见详解
【详解】（1），
当时，；
当时，，
又符合上式，所以.
（2）由（1）知，则，
所以，又，
所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列.
17．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题可知，，
所以椭圆方程为.
（2）右焦点为，所以倾斜角为的直线的方程为，
设，
联立，可得，，
所以，
所以.
18．【正确答案】（1）见详解；
（2）；
（3）.
【详解】（1）根据平面，平面，
所以,
又底面是正方形，则,
可以建立如图所示以A为原点，所在直线对应轴的空间直角坐标系，
则，
所以，
易知是平面的一个法向量，
而，平面，
所以平面；
（2）由（1）知，
设平面的一个法向量为，则有，
所以，令，即，
设直线EF与平面夹角为，所以；
（3）由（1）知，显然是平面的一个法向量，
则点F到面PAC的距离为.
19．【正确答案】（1）或
（2）或
【详解】（1）圆心到直线的距离，
圆的半径为2，所以圆的方程为；
当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切.
直线斜率存在，设直线，
由，得或
所以切线方程为，或.
（2）设圆心到直线的距离为，则，由，解得.
当直线斜率不存在时，直线方程为，
圆心到直线的距离，即直线被圆所截得的弦长为，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线，
则，解得：，
故的方程是，即，
综上所述，直线的方程为或.
20．【正确答案】（1）（2）或（3）详见详解
【详解】试题分析：（1）由题意，椭圆的标准方程为＋＝1；（2）设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，·＝x1x2＋y1y2＝－2，利用韦达定理，解得答案；（3）|MN|＝|x1－x2|，|AB|＝|x3－x4|，代入韦达定理计算，得到答案．
试题解析：
（1）椭圆的顶点为(0，)，即b＝，e＝＝，∴a＝2，∴椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）由题可知，直线l与椭圆必相交．
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．
②当斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
且M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，
·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]
＝＋k2
＝＝－2，解得k＝±，
故直线l的方程为y＝ (x－1)或y＝－ (x－1)．
（3）证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，
由（2）可得|MN|＝|x1－x2|
＝
＝
＝，
由消去y并整理得x2＝，
|AB|＝|x3－x4|＝4，
∴＝＝4，为定值．