天津市武清区河西务中学2025_2026学年高二上学期12月月考数学试题 [含答案]

这是一份天津市武清区河西务中学2025_2026学年高二上学期12月月考数学试题 [含答案]，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．双曲线的实轴长是( )
A．2B．C．4D．4
3．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．过点作圆的切线，则切线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
5．若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
6．以下命题正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则l与m垂直
B．直线l的方向向量，平面的法向量，则
C．两个不同平面的法向量分别为，，则
D．平面经过三点，向量是平面的法向量，则
7．数列满足，且，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．
8．若点在椭圆上，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（ ）
A．B．3C．4D．1
9．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆：的蒙日圆为：，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是，则它的标准方程为 .
11．若经过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，则 .
12．若直线与圆交于两点，则的最小值为 ．
13．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 ．
14．已知数列的前项和为，则数列的通项公式 ．
15．已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为 .
三、解答题
16．已知圆心在直线上，且过点、．
（1）求的标准方程；
（2）已知过点的直线被所截得的弦长为4，求直线的方程．
17．如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
18．已知椭圆的离心率为，右焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于A，B两点，求的面积.
19．如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由.
20．已知椭圆E：的离心率为，且左、右顶点以及下顶点所构成的三角形的面积为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l：与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于点P（与A、B不重合），线段AB的垂直平分线与AB交于点D，与y轴交于点Q，O为坐标原点．若，求直线l的斜率．
答案
1．【正确答案】C
【详解】由直线，可得斜率为，
设直线的倾斜角为，可得，所以.
故选C.
2．【正确答案】C
【详解】试题分析：双曲线方程变形为，所以，实轴长为
考点：双曲线方程及性质
3．【正确答案】D
【详解】由得，故抛物线的准线方程为.
故选D.
4．【正确答案】C
【详解】圆的圆心为原点，半径为1，
当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切，
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即
所以，解得或
所以切线的方程为或
故选C
5．【正确答案】A
【详解】椭圆的焦点坐标为
所以双曲线的焦点在轴上，，
因为，所以，
所以双曲线的标准方程为
故选A
6．【正确答案】C
【详解】对于A项，因为，
所以不垂直，所以l与m不垂直，故A错误；
对于B项，因为，
所以，所以或不垂直，故B错误；
对于C项，因为，
所以，所以，故C正确；
对于D项，因为，，向量是平面的法向量，
所以，，即，解得，故D错误.
故选C.
7．【正确答案】C
【详解】因为数列满足，且，
可得，
可得数列是以三项为周期的周期数列，
所以.
故选C.
8．【正确答案】A
【详解】由椭圆的标准方程，可得，所以，
又因为，即，
因为，
在，根据余弦定理可得，
即，
又因为，所以，
所以，
故选A
9．【正确答案】D
【详解】
如图，分别与椭圆相切，显然.
所以点在蒙日圆上，
，即，
所以椭圆的离心率.
故选D
10．【正确答案】
【详解】因为抛物线的顶点是坐标原点，焦点是，
所以，解得，
所以抛物线方程为.
11．【正确答案】
【详解】设，则直线的方程为
由 ，得
所以
所以
12．【正确答案】
【详解】直线变形为，
令，解得，则，所以直线l恒过定点，
圆的圆心为，半径，
则圆心C到P点的距离，
分析可得，当直线l与PC垂直时，圆心C到直线l的距离d最大，且为，
此时有最小值，且.
13．【正确答案】/
【详解】依题意，，
设直线与平面所成角为，则，
所以，即直线与平面所成角的余弦值为.
14．【正确答案】
【详解】令，，
当时，
验证，满足题意，
故 .
15．【正确答案】2
【详解】据题设分析知，，所以，得，
所以双曲线的离心率.
16．【正确答案】（1）；（2）或.
【详解】由点、可得中点坐标为，，
所以直线的垂直平分线的斜率为，
可得直线的垂直平分线的方程为：即，
由可得：，所以圆心为，
，
所以的标准方程为，
（2）设直线的方程为即，
圆心到直线的距离，
则可得，
即，解得：或，
所以直线的方程为或，
即或
17．【正确答案】(1)证明见解析；(2)；(3).
【详解】（1）连接BD，交AC于点O，由P，O分别为DF和DB的中点，得，
而平面APC，平面APC，所以平面APC.

（2）由直线平面ABCD，平面ABCD，得，
由矩形ABCD，得，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，
，
设平面BCF的法向量，则令，得，
设平面APC的法向量为，则，令，得，
所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为.
（3）由（2）知，平面APC的法向量，而，
所以点F到平面ACP的距离.
18．【正确答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由题设可得，，进而写出椭圆方程；
（2）联立椭圆与直线，应用韦达定理、弦长公式及点线距离公式求，进而求面积.
【详解】（1）由题设且，则，故，
所以.
（2）联立直线与椭圆，可得，显然，
所以，，故，
而到的距离，
所以的面积为.
19．【正确答案】（1）见详解；
（2）
（3）
【详解】（1）依题意，以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得,,,,,
.
依题意，,,
从而,
所以，即
（2）依题意，,,
设为平面ACF的法向量，
则，
不妨设可得，
因为,
设直线EC与平面ACF所成角为，则
，
所以直线EC与平面ACF所成角的正弦值为.
（3）假设线段DE上存在一点，使得直线BG与AD所成角的余弦值为，则.
依题意则，
，解得.
所有存在点满足条件，
所以可得,
由（2）可知平面ACF的一个法向量为，
所以点G到平面ACF的距离为
20．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题设知：， 解得，，.
∴椭圆E的标准方程为.
（2）设Bx2,y2， 由l：得l与轴的交点，
联立，消y得：
则，即
且，
∴AB的中点，即
∴AB的垂直平分线方程为：，
令，得，∴
∵ ∴
∴，解得
所以直线l的斜率为．