山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2026届高三上学期12月月考数学试卷（含解析）

这是一份山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2026届高三上学期12月月考数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，考试范围， 已知，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试范围：高中数学全部内容（人教A版）.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，则中元素个数为（ ）
A. 0B. 3C. 5D. 8
【正确答案】C
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为，所以， 中的元素个数为，
故选：C．
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】A
【分析】由复数除法即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：A.
3. 设数列是等差数列，，，则这个数列的前9项和等于（ ）
A. 12B. 24C. 36D. 48
【正确答案】C
【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程组求出，再结合等差数列的前项和公式求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，所以，，
解得，
则数列的前9项和为.
故选：C
4. 已知向量，若与同向共线，则为（ ）
A. B. C. D. 0
【正确答案】A
【分析】根据向量共线定理的坐标表示即可求解．
【详解】∵与共线，
∴，即，解得．
当时，，与同向共线，符合题意．
当时，，，与反向共线，不符合题意，舍去．
综上，，
故选：A．
5. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据对数函数的单调性，结合正弦函数的正负性进行判断即可.
【详解】因为函数是正数集上的减函数，
所以，
因为是第一象限角，
所以，
因此，
故选：D
6. 已知一个圆柱上、下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为4，圆柱底面直径为2，则圆柱的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由题意结合勾股定理可得，求出圆柱的高，再由圆柱侧面积公式求解即可
【详解】设圆柱的高为，球的半径为，圆柱的底面半径为，
根据题意，，
由勾股定理可得，故，
侧，
故选：B
7. 已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，
取，则，充分性成立；
取，，则对任意，一定存在，使得，
取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；
所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
8. 已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先确定直线经过的定点和垂直关系，然后确定点的轨迹是圆，进而根据直线与圆的位置关系求出最小距离即可.
【详解】因直线与相交于点，
直线变形为，过定点；
直线变形为，过定点；
因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆.
的中点坐标为，半径为，所以圆的方程为.
由于圆心直线的距离为，所以点到直线距离的最小值为.
故选：C.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A. B.
C D.
【正确答案】AD
【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可.
【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确；
对B，则，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，，
则，故D正确；
故选：AD.
10. 某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在元的学生有45人，则下列说法正确的是（ ）
A. 样本中支出在元的频率为
B. 的值为150
C. 采用分层抽样从这45人中抽出10人，则在中共需抽出5人
D. 该校学生一周生活方面支出的第75百分位数大约是52元（精确到个位数）
【正确答案】BD
【分析】对于A，利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可判断；对于B，利用频率、频数以及样本总容量的关系可判断；对C，计算出样本中支出在的频率，结合分层抽样可判断；对D，根据百分位数的定义计算.
【详解】对于A，样本中支出在元的频率为，故A错误；
对于B，由A知，故B正确；
对于C，样本支出在的频率为，则在中共需抽出人，故C错误；
对于D因为样本中支出在的频率为，所以第75百分位数位于区间内，记为，
则，解得，所以第75百分位数大约是52元，故D正确.
故选：BD.
11. 已知函数（且），则下列正确的是（ ）．
A. 的定义域为
B. 当时，在上的值域为
C. 的图象关于点对称
D. 若有两个零点，则的取值范围为
【正确答案】ACD
【分析】对A，根据解析式求出函数的定义域判断；对B，判断在上的单调性，求解值域判断；对C，利用函数对称性的定义判断；对D，函数和的图象有两个交点，数形结合判断.
【详解】对于A，由，即，所以，即的定义域为，故A正确；
对于B，当时，，因为和在上单调递减，
所以在上单调递减，又，，所以的值域为，故B错误；
对于C，因为，
所以关于点对称，故C正确；
对于D，令，即，作出函数和的图象，如下图，
若有两个零点，即函数和的图象有两个交点，由图可得，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．）
12. 已知，则________；________．
【正确答案】 ①. ②.
【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值.
【详解】令，则，
又，
故，
令，则，
令，则，故
故答案为.
13. 已知数列满足，若，则的所有可能值的和为______；
【正确答案】36
【分析】根据条件得到的递推关系，从而判断出的类型求解出可能的通项公式，即可计算出的所有可能值，并完成求和.
【详解】因为，所以或，
当时，是等差数列，，所以；
当时，是等比数列，，所以，
所以的所有可能值之和为.
故答案为.
本题考查等差和等比数列的判断以及求数列中项的值，难度一般.已知数列满足(为常数)，则是公差为的等差数列；已知数列满足，则是公比为的等比数列.
14. 已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线：有公共的焦点，分别为左、右焦点，是与在第一象限的公共点.若点满足，则的最小值为____________.
【正确答案】
【分析】由题意可得，利用椭圆和双曲线的性质有，再由基本不等式即可求解.
【详解】因为点满足，是的中点
所以三角形是直角三角形，且.
设，则.
所以.
所以.
所以，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；
（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到；
（3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.
【小问1详解】
设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；
则
【小问2详解】
法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因为，则
【小问3详解】
法一：因为，且，所以，
由（2）法一知，
因为，则，所以，
则，
.
法二：，
则，
因为为三角形内角，所以，
所以
16. 某市为了研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，在某个区随机调查了1000名学生，得到如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，分析课外体育锻炼时间与身体素质是否有关；
（2）如果用该区学生达标成绩的情况来估计全市学生的达标情况，现从全市学生中随机抽取3名，求恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率.
附
【正确答案】（1）有关 （2）
【分析】（1）根据列联表的数据，计算，比较临界值可得结论．
（2）利用频率估计概率可知该区任抽一名学生，这名学生课外体育锻炼时间达标的概率为，利用二项分布概率公式计算可求结论.
【小问1详解】
课外体育锻炼时间与身体素质无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为课外体育锻炼时间与身体素质有关；
【小问2详解】
由题意在某个区随机调查了1000名学生，有900人达标，达标率为，
利用频率估计概率可知该区任抽一名学生，这名学生课外体育锻炼时间达标的概率为.
记“恰有1人课外体育锻炼时间达标”为事件，
则，
所以恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率.
17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角余弦值；
（3）求点到平面的距离．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；
（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.
【小问1详解】
取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
故平面；
【小问2详解】
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
分别取，则有、、，，
即、，
则，
故平面与平面的夹角余弦值为；
【小问3详解】
由，平面的法向量为，
则有，
即点到平面的距离为.
18. 设椭圆过点，且离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的上顶点，MN为上异于的两点，若直线AM，AN的斜率为，且.求证：以线段MN为直径的圆经过一个定点，并求出该定点的坐标.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析，
【分析】（1）由和以及椭圆过点求出参数即可得解；
（2）法一：由题意设直线MN的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和求出参数m，设该圆过一个定点，利用结合韦达定理分析计算求解即可得证；
法二：同法一得到参数m以及，进而得到圆过定点为，利用同理法一计算即可求证.
【小问1详解】
由椭圆的离心率及，知.
又椭圆过点，所以，解得.
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
法一：证明：由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为.
联立方程得.
设，则.
所以
化简得，解得或（舍去）.
所以.
所以.
设该圆过一个定点，则，
所以，即.
将代入化简有对任意实数成立，
所以解得.
故以线段MN为直径的圆过定点.
法二：同法一求出直线在y轴上的截距m得直线MN过定点，
以及，.
题目情境关于轴对称，故若以线段MN为直径的动圆过定点，则该定点在轴上.
设定点为，则.
所以，即
将代入，得.
化简有对任意实数都成立，
即解得.
故以线段MN为直径的圆过定点.
19. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意都有，求实数a的取值范围.
【正确答案】（1）单调递增区间单调递减区间
（2）
【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；
（2）用分离参数法转化为求函数的最大值．引入新函数，求出导函数，对的一部分探究其零点，得函数的最大值点，从而得最大值．
【小问1详解】
函数定义域，
由已知，
时，，时，，
所以单调递增区间，单调递减区间；
【小问2详解】
因为对任意都有，即恒成立.
令，则.
令，则在上单调递增，因为，
所以存在使得，
当时单调递增，
当时单调递减.
所以 ，
由于，可得.则，
所以，
又恒成立，所以.
综上所述实数a的取值范围为.
课外体育锻炼时间
组别
达标
不达标
合计
身体素质强
860
40
900
身体素质弱
40
60
100
合计
900
100
1000
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828