山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2024-2025学年高二下学期5月月考 数学试卷（含解析）

这是一份山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2024-2025学年高二下学期5月月考 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了已知函数有最大值，则a的值为等内容，欢迎下载使用。
单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．，，，，五人并排站成一排，如果，两人必须相邻，那么不同的排法种数有（ ）
A．24种B．48种C．72种D．96种
3．某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为，现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品，教工代表中有的人投票给2号菜品，那么，从1号菜品的投票人中任选1人，他是学生代表的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数有最大值，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
6．甲､乙､丙､丁四名农业专家被派驻到A，B，C三个村进行农业技术指导，若要求每个村至少派驻一名专家，且每名专家只能被派驻到一个村，则在甲被派驻到A村的条件下，甲､乙被派驻到同一个村的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．以下的值，能使的展开式恰有2项二项式系数最大的是（ ）
A．9B．10C．11D．12
10．一批产品有的次品，现从中随机抽样（不放回），直到抽出1件次品为止，令表示直到抽出一件次品时已经抽出的产品个数，且的概率分布由下列公式给出：，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．表示前四次抽到正品，第五次抽到次品的概率
C．表示第三次抽到次品的概率 D．
11．关于函数，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．函数在上单调递减B．函数在上单调递增
C．函数没有最小值D．函数的最小值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．）
12．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数为 .
13．已知曲线，则曲线过原点的切线方程为 .
14．一个不透明的袋子中装有3个黑球，个白球（），这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设为取出白球的个数，则 .
四、解答题（本大题共5小题， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求
(1)若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？
(2)若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分配方案？
16．某老师在课堂测验上设置了一种新的大题题型，这种大题题型由一个题干和五个与题干有关的判断题组成，得分规则是: 五道题中，全部正确判断则该大题得 5 分，有一道错误判断则该大题得 3 分，有两道错误判断则该大题得 1 分，有三道及以上错误判断则该大题不得分.假定随机判断时，每道题正确判断和错误判断的概率相等.
(1)若考生所有题目都随机判断，求此时得分的分布列和数学期望;
(2)若考生能够正确判断其中两道题目，其余题目随机判断，求此时得分的数学期望.
17．甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出2个球.已知摸到白球的概率是.
(1)求m； (2)记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和均值.
18．已知函数，其中．
(1)若曲线在点处的切线经过点，求的值；
(2)证明：函数存在极小值；
(3)记函数的最小值为，求的最大值．
19．为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛.全校同学都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有40位学生，他们的初赛分数的频率分布直方图如图所示：
(1)计算的值，并估计该校这次初赛的平均分数.
(2)初赛分数达到80及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出2位同学，用代表其中的优秀参赛选手人数，求的分布；
(3)为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、选择和简答各1题；每答对1题得1分，答错或不答得0分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若答对一题可继续答下一题，直到3题全部答完；若答错或不答则比赛结束.例如：选手甲可自行按“简答—填空—选择”顺序答题，甲答对第一题得1分，并继续回答第二题且答错得0分，结束比赛，总分为1分.
小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛.根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答题正确概率分别为：
若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？请说明理由.
题型
填空
选择
简答
答题正确概率
参考答案
1．A解析：因为，
由正态分布关于均值对称可得，解得.故选：.
2．B解析：由题意，先将，捆绑排列，再跟剩下的人排列，故不同的排法种数有种.故选：B.
3．A分析：根据条件概率的计算公式，以及结合比例分配和分步计数原理即可求解.
解析：根据人数比例设家长代表、学生代表和教工代表人数分别是（为比例系数），
由题意知：家长代表中有的人投给1号，人数为；学生代表中有的人投给1号，人数为；教工代表中有的人投给2号，那么教工代表中有的人投给1号，人数为.
所以投给1号的总人数为，学生代表中投给1号的人数为，
因此所求概率为. 故选：A.
4．A分析：求出原函数的导函数，得到函数在处的导函数值，即切线的斜率，再求出，利用直线方程的点斜式即可求得.
解析：由，得，
所以，又，
所以曲线在处的切线方程为，即，故选：A.
5．A分析：对函数求导并根据参数的取值进行分类讨论得出其单调性，再由最大值解方程可得.
解析：易知，且；
令，解得或（舍）；显然当时不合题意，
当时，若，易知，此时函数在上单调递增，
若，易知，此时函数在上单调递减；
所以在处取得极大值，也是最大值，即，解得，符合题意；
当时，若，易知，此时函数在上单调递减，
若，易知，此时函数在上单调递增；
此时无最大值，不符合题意；综上可知，.故选：A.
6．A解析：法一：记事件表示甲被派驻到村，事件表示甲，乙被派驻到同一个村，
则，由题意可知将甲，乙，丙，丁四人分为3组，
再将这3组分配给三个村，则基本事件的总数为，
若事件同时发生，则甲，乙均被派驻到村，派驻方法有种，
所以，所以.
法二.：记事件表示甲被派驻到村，事件表示甲，乙被派驻到同一个村，
由题意可知甲被派驻到村有两种情况，
①被派驻到村的只有甲一人，派驻方法有种，此时甲，乙不在同一个村；
②被派驻到村的有两人，其中一人是甲，派驻方法有种，
其中甲，乙在同一个村的派驻方法有种，所以.故选：A.
7．B分析：根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果.
解析：由题意可知：，则，
且Y的可能取值为0，1，2，
则，可得，
，
所以，.故选：B.
8．C分析：当时，构造函数，求导结合已知得其单调性，进而可得当时，，当时，，结合偶函数的性质即可进一步得解.
解析：是定义在上的偶函数，
当时，令，则，所以在上单调递减，
当时，，即，
当时，，即，即当时，的解集为，
因为函数是定义在上的偶函数，由其对称性可知：
当时，的解集为，所以不等式的解集为.故选：C.
9．AC分析：根据二项式系数的性质即可求解.
解析：因的展开式有项，当为奇数时，展开式有偶数项，中间两项二项式系数最大；当为偶数时，展开式有奇数项，中间一项二项式系数最大.故选：AC.
10．ABD分析：根据的含义和概率分布公式，逐一判断各选项即可.
解析：对于A，因，则，故A正确；
对于B，根据的含义和概率分布可知，表示前四次抽到正品，第五次抽到次品的概率，故B正确；
对于C，根据的含义和概率分布可知，表示前两次抽到正品，第三次抽到次品的概率，故C错误；
对于D，因，故D正确.故选：ABD.
11．BC分析：求出函数的定义域，求出函数导数，判断函数的单调性，作出其大致图像，一一判断每个选项，即可确定答案.
解析：由，定义域为，且，则，
当和时，， 故函数在上单调递减，故A错误；
当时，，故函数在上单调递增，故B正确；
当时，，当时，，
作出其大致图像如图：
由图像可知函数没有最小值，故C正确，D错误，故选：BC
12．分析：每名大学生都有种选择，则5名大学生按照分步乘法计数原理计算即可.
解析：每名大学生都有种选择，则5名大学生共有种分配方式.故答案为：
13．分析：首先求出导函数，设切点为，利用导数的几何意义可得切点以及斜率，根据点斜式即可求解.
解析：由，则，
设切点为，所以，解得，
所以切点为，切线的斜率
所以过原点的切线方程为：，即.故答案为：
14．分析：根据取出2个黑球，1个白球的概率为求出n的值，再求出X的分布列，根据数学期望的定义即可计算.
解析：由题可知，，即，解得，
则X的可能取值为，
，，
，，
所以.故答案为：.
15．分析：（1）按照1，1，3或1，2，2两种方式，先分组再分配即可；
（2）先考虑5人中选3人安排到全程马拉松项目的所有情况，再计算甲乙两人在同一个项目的情况，利用间接法即可.
解析：（1）将5个人分成3组，且每组至少1人，有两种分法，
若为1，1，3，则有种分组方式，
再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种；
若为1，2，2，则有种分组方式，
再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种，
所以由分类加法计数原理可知，共有种不同的分配方案.
（2）先从5人中选3人安排到全程马拉松项目，有种方法，
然后剩下2人安排到其余两个项目，每个项目安排1人，有种，
则共有种分配方案，
若甲乙两人在同一个项目，则甲乙只能安排到全程马拉松项目，则剩下的3人每个项目安排1人即可，有种分配方案，最后共有种分配方案.
16．分析：（1）得分可能取值为，按步骤列出分布列，计算期望即可；
（2）得分可能取值为，按步骤列出分布列，计算期望即可.
解析：（1）设得分为，
由题意知：可能取值为，该考生每道题答对和答错的概率均为，
；；
；；
的分布列为：
.
（2）设得分为，
由题意知：可能取值为，该考生剩下3道题每道题答对和答错的概率均为，
；；
；；
的分布列为：
.
17．分析：（1）根据全概率公式计算即可；
（2）依题意可知的所有可能取值为：，分别计算其概率即可得到分布列，进而求数学期望.
解析：（1）记＂摸到白球＂，＂掷一枚质地均匀的骰子点数为1或2＂，
则＂摸出的2个球都是红球＂，＂朕一枚质地均匀的䐨子点数为，
则，
根据全概率公式：，即，
整理得：，解得
（2）的所有可能取值为：，由题可知，
，
故的分布列为：
从而，故的均值为．
18．分析：（1）由导数的几何意义确定切线方程，进而可求解；
（2）通过二次求导，确定函数的单调性，即可求证；
（3）由（2）得到，构造函数，求导确定单调性，进而可求解.
解析：（1）求导，得，所以，，
故曲线在点处的切线方程为，
将点代入切线方程，得．
（2）函数的定义域为．
设函数，则，
由，得，所以函数在上单调递增，
因为，所以存在唯一的，使得，即．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．故函数存在极小值．
（3）由（2）知，函数有最小值．
由，得．所以．
设函数，则．
今，得（舍）或．
当变化时，与的变化情况如下：
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
所以当时，，即当时，． 结合，知当时，．
由函数的导数，知其在区间上单调递减，
故当且仅当时．所以当时，取得最大值0．
19．分析：（1）由频率分布直方图的面积和为1计算可得值，由区间的中值乘以纵坐标值再乘以区间宽度后相加可得平均数；
（2）先由频率分布直方图计算出优秀与非优秀人数，再由组合数结合古典概率求出相应的概率，然后列出分布列即可；
（3）按照答题顺序分六种情况，由乘法公式计算相应概率，然后求出期望比较即可.
解析：（1）由频率分步直方图中小矩形的面积和为1可得：，解得；
该校这次初赛的平均分数为.
（2）初赛分数达到80及以上的同学为人，非优秀为28人，
由题意可得的可能取值为，
， ，
，
所以的分布列为：
（3）按照不同题目顺序分类讨论：填空，选择，简答：得零分的概率：，
得一分的概率：，得两分的概率：，
得三分的概率：，
期望为分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，选择，填空”的期望与之相同；
填空，简答，选择：
得零分的概率：，得一分的概率：，
得两分的概率：，得三分的概率：，
期望为分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，填空，选择”的期望与之相同；
选择，填空，简答：
得零分的概率：，得一分的概率：，
得两分的概率：，得三分的概率：，
期望为分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“选择，简答，填空”的期望与之相同；
所以，小杨应采用“选择，填空，简答”或“选择，简答，填空”的顺序.0
1
2
当变化时，与的变化情况如下：
-
0
+
极小值
1
+
0
-
极大值
0
1
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