山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试卷（含解析）

这是一份山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了已知复数，则“”是“”的等内容，欢迎下载使用。
单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若复数z满足，则z在复平面内对应的点为（ ）
A．B．C．D．
2．∆ABC的内角的对边分别为，已知，则∆ABC外接圆的半径为（ ）
A．B．C．3D．6
3．已知复数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（ ）．
A．B．C．D．
5．已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．已知、、是单位圆上的三个点，若AB=2，则的最大值为（ ）.
A．B．C．D．
7．如图，在四边形中，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A．5πB．10πC．28πD．56π
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（ ）
A．点在线段上时，为定值B．点在线段上时，为定值
C．的最大值为2D．使的点轨迹长度为
10．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）

A．不存在点，使得平面 B．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为
11．在∆ABC中，，，分别是内角，，的对边，下列说法正确的是（ ）
A．若为锐角，则B．若为锐角，则
C．若，则D．若∆ABC为锐角三角形，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．）
12．已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件．
13．已知∆ABC的面积为，，，则 .
14．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为 .
四、解答题（本大题共5小题， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点.

(1)求证：平面；
(2)若四棱柱的体积为24，且底面为平行四边形，求三棱锥的体积的值.
16．在∆ABC中，为锐角，．
(1)求； (2)若，求∆ABC的面积．
17．如图，在直角梯形ABCD中，，P是线段AD（包括端点）上的一个动点．
(1)当时，求的值； (2)在（1）的条件下，若，求；
(3)求的最小值.
18．如图，在直三棱柱中，，点D是棱的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离以及三棱锥的体积．
19．在∆ABC中，．
(1)若，∆ABC的面积为，求c；
(2)若， ①求∆ABC面积的最大值； ②求∆ABC周长的取值范围．
参考答案
1．D分析：根据复数的除法运算化简复数z，再根据复数的几何意义确定其所在的象限即可.
解析：因为，所以，
则z在复平面内对应的点为.故选：D.
2．A分析：根据题设可得，再根据正弦定理及二倍角公式化简可得，进而结合正弦定理求解即可.
解析：因为，所以，
由正弦定理得，，
因为，所以，，则，则，
则，即，设∆ABC外接圆的半径为，则，得．故选：A.
3．C分析：由求参数，再结合必要不充分条件定义即可得解.
解析：，解得或，
所以“”是“”的必要不充分条件.故选：C.
4．B分析：根据垂直得到，即可表示，再由夹角公式计算可得.
解析：因为，且，所以，所以，
所以，又，所以.故选：B
5．A分析：由线面的平行及垂直进行判断．
解析：对于A项，若，则或．对于B，C，D项，显然成立，故选:A.
6．D分析：建立平面直角坐标系，根据数量积的运算律得到，设，， ，再由数量积的坐标表示及两角差的正弦公式计算可得.
解析：因为、、是单位圆上的三个点，如图建立平面直角坐标系，
因为，即，所以AB2−2OB∙OA+OA2=2，所以，即，
不妨设，，设，所以，，
所以，
所以当，即时取得最大值，且. 故选：D

7．C分析：设，再利用三角函数表示，，再在中利用余弦定理求出，最后求三角函数的最值即可.
解析：设，则，，
则在中利用余弦定理得，
当，即时，取得最小值. 故选：C
8．D分析：运用面面垂直的性质证得平面，平面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积.
解析：如图所示，
连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、，
所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面， 同理：平面，
设等边的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O，
则平面，平面，
所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，
在等边中由正弦定理得，解得：，
又因为，所以，
所以四棱锥外接球表面积为.故选：D.
9．BC分析：A选项，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，故，不是定值；B选项，设，计算出；C选项，设，，表达出，故当时，取得最大值，最大值为2，C正确；D选项，由C得到，点轨迹为直线在正方形内的部分，即线段，由勾股定理求出轨迹长度.
解析：A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，，
当在线段上时，设，，
则，不是定值，A错误；
B选项，点在线段上时，设，，
，为定值，B正确；
C选项，，设，，，
由得，，
所以，即，
，故当时，取得最大值，最大值为2，C正确；
D选项，由C知，，故，即，
所以点轨迹为直线在正方形内的部分，即线段，
其中中，令得，令得，
故，故使的点轨迹长度为，D错误.
故选：BC
10．BCD分析：对于A，当为中点时，利用中位线的性质可证得，再证得线面平行；对于B，利用中位线的性质可证得，对边平行且不相等，可得到截面是梯形；对于C，利用等体积法可求得三棱锥的体积；对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积即可.
解析：对于A，当为中点时，由中位线可得，
因为平面，平面，所以平面，故A错误；
对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以，
又因为，所以截面为梯形，故B正确；
对于C，因点是底面内一动点，则点到平面的距离为，
则，故C正确；
对于D，因三棱锥为墙角模型，故其外接球可以为长宽高分别为的长方体的外接球，
则外接球半径，所以表面积，故D正确. 故选：BCD.

11．ACD分析：对AB，由余弦定理即可判断；对C，由,结合正弦定理即可比较a，b大小，由大边对大角，即可比较A，B大小，对于D：利用正弦函数性质与诱导公式即可求得结果.
解析：对于A：因为为锐角，则由，故A正确；
对于选项B：同A可知选项B错误；
对于选项C：由,由正弦定理得，
故，由大边对大角，得到,故选项C正确；
对于选项D:因为∆ABC为锐角三角形，所以
且，因为正弦函数在区间单调递增，
故，故选项D正确； 故选:ACD
12．充要分析：根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得.
解析：在中，由、、成等差数列，得，而，则，
由、、成等比数列，得，由正弦定理得，
由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形；
若是正三角形，则，，
因此、、成等差数列且、、成等比数列，
所以“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的充要条件.
故答案为：充要.
13．2分析：应用三角形面积公式可得，再由向量数量积的运算律有，结合已知即可得.
解析：由题设，则，
又，
所以，则，综上，.故答案为：2
14．分析：取的中点，连接、，即可证明平面，从而得到直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得.
解析：取的中点，连接、，因为，，
所以，且，
又平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，所以直线与平面所成角，
又平面，平面，所以，所以，
所以，则，即直线与平面所成角的大小为.故答案为：
15．分析：（1）连接，由中位线可知，然后结合线面平行的判定定理即可得证；
（2）由F是的中点得，再由平面，，所以，又，，联立即可得解.
解析：（1）在四棱柱中，连接，如图，

因，分别是，的中点，则有，又平面，平面，
所以平面；
（2）由F是的中点得，
又，平面，平面，则平面，
又点M是线段上的一个动点，则，
所以三棱锥的体积的值.
16．分析：对于（1），利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的运算求出角；对于（2），先根据正弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值，最后根据三角形面积公式求解.
解析：（1）由及正弦定理，
得．
因为在∆ABC中，，所以．
因为，所以．因为为锐角，所以．
（2）由，且，解得．
由余弦定理，得，解得或（舍）．
所以∆ABC的面积．
17．分析：（1）建立平面直角坐标系，当时，利用向量数量积的坐标运算，求得.
（2）设得出点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合，求得，也即求得的值.
（3）设、，而，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得的表达式，由此求得的最小值.
解析：（1）以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.
当时，,，，因此，
（2）设，即点P坐标为，则，，
，
当时，，即，
（3）设、，又，则，
，当时取到等号，因此的最小值为3.
18．分析：(1)利用面面垂直的判定定理进行证明； (2)利用等体积法求解即可.
解析：（1）
连接，取的中点，连接，，，，
在直三棱柱中，平面平面，
平面平面，平面，平面，
分别为，的中点，且，
点D是棱的中点，且，
且，四边形是平行四边形，，平面，
∵MD⊂平面，平面平面；
（2），，，
点D是棱的中点，，
，，
由(1)知平面，，
，
，，
设点到平面的距离为，，
，，
点到平面的距离为，三棱锥的体积为.
19．分析：（1）利用正弦定理，可求角，再结合三角形的面积公式，可求的值，再利用余弦定理可求边.
（2）利用余弦定理，结合基本不等式，可求三角形面积和周长的取值范围.
解析：（1）因为，利用正弦定理，可得：
，
所以，
因为为∆ABC的内角，所以，所以.
又，所以.由.
由余弦定理：，所以.
（2）在∆ABC中，，，由余弦定理：.
因为，当且仅当时取“”，所以.
所以.
所以当∆ABC为等边三角形时，面积取得最大值为.
又，且，当且仅当时取“”，
所以.所以，
所以∆ABC周长的取值范围为：.