山东省枣庄市市中区辅仁高级中2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试卷（含解析）

这是一份山东省枣庄市市中区辅仁高级中2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数等于（ ）
A．B．C．D．
2．在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（）
A．B．C．D．
3．已知向量=（0，5），向量=（3，-1），若与垂直，则（ ）
A．B．
C．D．
4．中，角，，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．在正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（ ）
A．0B．C．D．
6．已知圆锥的底面半径为1，高为2，该圆锥的顶点和底面圆周上的点都在球的表面上，则此球的半径为（ ）
A．B．C．D．
7．一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱的体积为（ ）

A．B．C．D．
8．在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（ ）
A．1B．4C．D．5
二、多选题
9．如果是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在长方体中，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）

A．直线与直线异面直线
B．直线，直线，直线交于一点
C．直线与直线所成的角为
D．直线与直线所成的角的正切值为2
11．在中，角所对的边分别为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则是钝角三角形
三、填空题
12．已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 ．
13．在正方体中，点是棱的中点，则直线与直线的位置关系是 ．
14．在ABC中，，BC=AC，则角B的大小为 ．
四、解答题
15．如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.

（1）求圆柱的底面半径；
（2）求三棱柱的体积.
16．如图，在长方体中，底面是边长为a的正方形，高为，点M，N分别是和的中点．

（1）判断四边形的形状；
（2）求四边形的面积．
17．在中，角的对边分别为，且．
（1）求角A的值；
（2）若边上的中线，求的面积．
18．已知向量，且与的夹角为，
（1）求证：
（2）若，求的值；
（3）若与的夹角为，求的值．
19．如图，在平面四边形中，，，，.
（1）证明：；
（2）求面积的最大值；
（3）设为线段的中点，求的最大值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】.
故选A.
2．【答案】D
【详解】因为在中，，又为边上一点，且，
所以，
又，
所以，
所以，解得，
所以.
故选:D.
3．【答案】D
【详解】由向量垂直得到数量积为零，展开后利用坐标运算得到答案.
【详解】因为向量=（0，5），向量=（3，-1），与垂直，
所以，即，
，
所以，
故选D.
4．【答案】C
【详解】由余弦定理可直接求出.
【详解】由余弦定理得，
.
故选C.
5．【答案】D
【详解】取的中点，连接，
因为//，且，则为平行四边形，可得//，
又因为分别为的中点，则//，
所以//，
故异面直线DE与AC所成角为（或的补角），
设正方体的棱长为2，则，
在中，由余弦定理，
所以异面直线DE与AC所成角的余弦值是.
故选D.
6．【答案】D
【详解】如图中圆锥的轴截面，外接圆是圆锥外接球的大圆．设球半径为，则，解得．
故选D．
7．【答案】A
【详解】该直棱柱的底面
则该直棱柱的底面为长2宽1的矩形，其面积为，
则该直棱柱的体积为

故选A
8．【答案】C
【详解】
三点共线
即
故的最小值为.
故选C.
9．【答案】CD
【详解】解：因为是两个单位向量，
所以，但两向量的方向不能确定，
，
故AB错误；CD正确.
故选CD.
10．【答案】BD
【详解】对于A中，连接，因为分别为的中点，可得，
在正方体中，可得，所以，
所以直线与直线在同一个平面内，所以A不正确；
对于B中，因为分别为的中点，所以，且，
在正方体中，可得且，
所以且，即四边形为梯形，
假设直线与直线交于一点，
因为平面，且，所以平面，
又因为平面，且，所以平面，
因为平面平面，所以，
所以直线和直线相交一点，所以B正确；
对于C中，在正方体中，可得，
所以异面直线与直线所成的角，即为直线与直线所成的角，
即为，在直角中，可得，所以C不正确；
对于D中，在正方体中，可得，
所以异面直线与直线所成的角，即为直线与直线所成的角，
即为，在直角中，可得，所以D正确；
故选BD.

11．【答案】CD
【详解】A中，在三角形中，，所以A不正确；
B中，，又因为，可得，
由正弦定理可得：，所以B不正确；
C中，在三角形中，，由正弦定理可得，由大边对大角，可得，所以C正确；
D中，因为，
由正弦定理可得，所以，
因为，所以C为钝角，即该三角形为钝角三角形，所以D正确.
故选CD.
12．【答案】
【详解】，，与的夹角为，
则在方向上的投影向量为
13．【答案】异面
【详解】如图所示：
由题意在正方体中，点是棱的中点，则直线与直线的位置关系是异面，理由如下：
若直线与直线共面，则四点共面，
而三点唯一确定平面，
但平面，产生矛盾，故假设不成立，
综上所述，直线与直线的位置关系是异面.
14．【答案】
【详解】解：在ABC中，，
所以，即，
所以，则，
又因为 BC=AC，
所以,
则 ，即，
所以或（舍去），
所以
15．【答案】（1）1
（2）
【详解】（1）设底面圆的直径为2r，
由题可知,圆柱的体积，
解得，即圆柱的底面半径为1
（2）因为为正三角形，底面圆的半径为1，
由正弦定理，边长，
所以三棱柱的体积
16．【答案】（1）梯形
（2）
【详解】（1）
点M，N分别是和的中点，
，
，四边形是平行四边形，
，，
故四边形为梯形；
（2）由题意可得，，
则，
故梯形的高为，
故四边形的面积.
17．【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）由正弦定理可得，
整理得到，
因为，故，故，
因为，故.
（2）因为，，故，故为等腰三角形且.
设，则，
由余弦定理可得，故，
所以，故.
18．【答案】（1）证明见解
（2）或
（3）
【详解】（1）因为与的夹角为，
所以，
所以，
所以.
（2）由（1）知，，
因为，
所以，即，
于是有，即
，解得或,
所以的值为或.
（3）由（1）知，，
因为
所以，
，
，
因为与的夹角为，
所以，即，且，
于是有，解得或（舍）,
所以的值为.
19．【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【详解】（1）解：由题知，在中，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
所以，所以.
（2）解：在中，，
由余弦定理知：，
所以，所以，
解得，等号当仅当时取等号，
所以，.
（3）解：在中，设，则，则，
由正弦定理知：，
所以，，
在中，由余弦定理知，
所以
，
所以，等号当仅当时，即当时取等号，所以的最大值等于.