山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2023-2024学年高二上学期11月月考数学试卷

这是一份山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2023-2024学年高二上学期11月月考数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题．，多选题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．
1．已知集合，集合，则的关系是（ ）
A． B． C．D．
2．已知，其中为虚数单位，记为的共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．设直线.若，则（ ）
A．0或1B．0或-1C．1D．-1
4．已知A，B，C，D为空间中任意四个点，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．“”是“幂函数在单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
7．在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是（ ） A． B． C． D．
8．已知圆，若点在直线上运动，过点作圆的两条切线，
切点分别为，则直线过定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)．
9．下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．事件与不互斥 C．事件与相互独立 D．事件与不一定相互独立
11．在正三棱柱中，，，点D为BC中点，则以下结论正确的是（ ）
A． B．三棱锥的体积为
C．且平面 D．内到直线AC、的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分
12．已知圆C：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16与直线l：mx+2y﹣4＝0，下列选项正确的是（ ）
A．直线l与圆C不一定相交
B．当m时，圆C上至少有两个不同的点到直线l的距离为1
C．当m＝﹣2时，圆C关于直线1对称的圆的方程是（x+3）2 +（y+3）2 ＝16
D．当m＝1时，若直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为圆C上任意一点，
当∠PBA最小时，|PB|＝3。
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．经过点和的直线的斜率为 ．
14．如图，正方体中，，分别是，的中点，则 ，
15．已知圆C的方程是，且圆C与直线相切，那么 .
16．在中，，点D在边BC上，，若的面积为，则AD的最大值为 .
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．设定义在上的奇函数在区间上单调递减，如果，求实数的取值范围.
18．已知直线l过点和.
(1)求直线l的点斜式方程；(2)求直线l在y轴上的截距.
19．如图，在中，角，D为边AC上一点，且，，
求：(1)的值；(2)边的长.
20．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，为正三角形，平面平面，且，分别为，的中点.
（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21．圆心在曲线（）上的圆与轴相切，且被直线截得的弦长为．
（1）求圆的方程；（2）求过点且与该圆相切的直线方程．
22．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点O是的中点．
(1)求证：； (2)求二面角的余弦值；
(3)在棱上是否存在点M，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
1．分析：判断集合A和集合B中的元素的关系，即可得到答案.
解析：因为集合A中的所有元素都是集合B中的元素，所以集合A是集合B的子集，即，又，，故选：B.
2．分析：根据题意，，由模长公式即可得解.
解析：由，，
，所以，故选：B
3．分析：由两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
解析：因为，则，解得或.故选：A.
4．分析：根据空间向量的加减法运算法则即可得到答案.
解析：故选：D.
5．分析：根据幂函数的性质即可判断.
解析：根据幂函数的性质可知，当时在单调递增，
当函数在单调递增时，,不一定等于3,
所以“”是“幂函数在单调递增”的充分不必要条件.故选:A.
6．分析：根据函数的解析式构建不等式组可得到结果.
解析：要使函数有意义，则，解得，∴函数的定义域是
故选：D.
7．分析：解法一：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．解法二：根据三棱锥等体积转换求解点到平面的距离.
解析：解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则，

．设平面的法向量为，
则即，令，则，
，∴点到平面的距离为．故选：A.
解法二 底面，
，又，且平面，平面，
平面，，，，
在中，，令点到平面的距离为，
，，．故选：A.
8．分析：根据切线特点先得到四点共圆，再得到为两个圆的公共弦，得到公共弦方程，最后分离参数得到过定点.
解析：因为过点作圆的两条切线，所以，
所以四点共圆且直径为，
不妨令，因为，所以中点坐标为，
，则圆，
所以既在圆上，也在圆上，所以直线为两个圆的公共弦，
将两个圆作差可得直线，
即，令，解得，所以过定点，故选：C
9．分析：直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可
解析：对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，所以的最小正周期为，所以A正确，
对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B错误，
对于C，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C正确，
对于D，定义域为，最小正周期为，所以D错误，故选：AC
10．分析：利用对立事件概率和为可判断错误；根据互斥事件不可能同时发生，可判断正确；根据相互独立事件的定义和性质，可以判断正确，错误.
解析：故错误；
又所以事件与不互斥，故正确；
则事件与相互独立，故正确；
因为事件与相互独立，所以事件与一定相互独立，故错误.故选：
11．分析：A．根据空间向量的加减运算进行计算并判断；B．根据，然后计算出对应三棱锥的高和底面积，由此求解出三棱锥的体积；C．先假设，然后推出矛盾；取中点，根据四点共面判断平面是否成立；D．将问题转化为“内到直线和点的距离相等的点”的轨迹，然后利用抛物线的定义进行判断.
解析：A．，故正确；
B．，因为为中点且，所以，
又因为平面，所以且，所以平面，
又因为，，
所以，故正确；
C．假设成立，又因为平面，所以且，
所以平面，所以，显然与几何体为正三棱柱矛盾，所以不成立；
取中点，连接，如下图所示：
因为为中点，所以，且，所以，所以四点共面，
又因为与相交，所以平面显然不成立，故错误；
D．“内到直线AC、的距离相等的点”即为“内到直线和点的距离相等的点”，
根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分，故正确；故选：ABD.
方法点睛：求解空间中三棱锥的体积的常用方法：
（1）公式法：直接得到三棱锥的高和底面积，然后用公式进行计算；
（2）等体积法：待求三棱锥的高和底面积不易求出，采用替换顶点位置的方法，使其求解高和底面积更容易，由此求解出三棱锥的体积.
12．分析：利用直线过定点，定点在圆外可判断A，要使圆上有至少两个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离要小于5，可得m满足的条件，求出m的范围，可判断B，求出圆关于直线l的对称圆可判断C，利用数形结合可判断D．
解析：对于A，直线l：mx+2y﹣4＝0过定点P（0，2），又因为（0﹣5）2+（2﹣5）2＝34＞16，所以点P在圆外，
所以直线l与圆C不一定相交，故A正确；
对于B，要使圆上有至少两个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离要小于5，
所以有5，解得m，故B错误；
对于C，当m＝﹣2时，直线l：x﹣y+2＝0，设圆C关于直线1对称的圆的方程是（x﹣a）2+（y﹣b）2＝16，
根据题意有，解得a＝3，b＝7，所以圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣7）2＝16，故C错误；
对于D，当m＝1时，直线x+2y﹣4＝0，则点A（4，0），B（0，2），
当PB与圆C相切时∠PBA最小，此时|PB|，，故D正确．故选：AD．
13分析：利用斜率公式计算即可.
解析：经过点和的直线的斜率为.故答案为：
14．分析：建立空间直角坐标系，利用向量法计算出.
解析：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为，
则，，
所以. 故答案为：
15分析：把圆的方程化为，求得圆心坐标和半径，再根据圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可求解.
解析：由题意，圆可化为，
可圆心坐标为，半径为，其中（），
又由圆与直线，所以圆心到直线的距离为，
整理得，解得.故答案为：
16分析：先根据三角形的面积公式求出，再利用和的面积和为以及基本不等式求解.
解析：
设的角，，所对的边分别为，则在中，，的面积为，
所以，解得，
因为，所以，所以，
因为和的面积和为，
所以，解得，
因为，当且仅当，即时取等号，所以.故答案为：.
17．分析：根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数在上为减函数，则可以转化为，解可得的取值范围，即可得答案．
解析：根据题意，是在上的奇函数，且在区间上是单调减函数，
则其在区间上递减，则函数在上为减函数，
，得解得：；
即实数的取值范围是；故答案为：．
18．分析：（1）求出直线斜率，写出点斜式方程；
（2）把点斜式方程化为斜截式，令求得值即为纵截距．
解析：（1）直线l的斜率，故直线l的点斜式方程为（或）.
（2）由得，所以直线l的斜截式方程为，
当时，，所以直线l在y轴上的截距为.
19．分析：（1）在中运用余弦定理的推论即可求解（2）在中，用两角差的正弦求出，再用正弦定理即可求解
解析：(1)在中, 由余弦定理的推论得,
,,
,
(2),,
,
,
在中, 由正弦定理得,
20．分析：（1）取中点，推出，证明四边形是平行四边形，得到，然后证明平面.
（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出，利用空间向量的数量积求解与平面所成角的正弦值.
解析：（1）证明：取中点，因为是中点，，且，
是的中点，则，且，，且，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面.
（2）因为是正三角形边为的中点，则.
因为平面平面，平面平面，平面，平面，
四边形为菱形，，正三角形中，，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
不妨设菱形的边长为2，则，，，，
则点，
，，，，0，，
设平面的法向量为，，，
则，即，解得，不妨令，得，，；
又，设与平面所成角为，
，.所以与平面所成角的正弦值为.
点睛：对于线面角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角运算，对于证明线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明.
21．分析：（1）由圆心在直线上，设出圆心坐标，再根据圆与轴相切，可得半径与圆心纵坐标绝对值相等，利用弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形求解即可．
（2）分直线斜率存在与不存在两种情况，表示出所求直线，根据圆心到直线的距离等于半径求解即可．
解析：（1）设圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离，
而，即，解得（舍去），
故所求圆的方程为
（2）当切线的斜率不存在时，因为过点，其方程为，圆心到直线的距离为，满足题意．
当切线斜率存在时，设切线为，即，
圆心，半径，，解得．
当切线的斜率存在时，其方程为，即．故切线方程为或．
22．分析：（1）根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质、线面垂直的性质进行证明即可；
（2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）根据线面平行的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.
解析：（1）因为，点O是的中点，
所以，因为平面平面，平面平面，
所以平面，而平面，所以；
（2）设为的中点，连接，
因为，，所以，由（1）可知：平面，而平面，所以，
因此建立如图所示的空间直角坐标系，
，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，因此平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
于是有，
二面角的余弦值为：；
（3）假设在棱上存在点M，使得平面，且，可得：，因此，
由（2）可知平面的法向量为，
因为平面，所以，因此假设成立，.