广东省广州市增城区增城中学2025_2026学年高二上学期第17周周测数学试卷（含解析）

这是一份广东省广州市增城区增城中学2025_2026学年高二上学期第17周周测数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知直线，直线，若，则实数的值为（ ）
A. 1B. C. 或1D. 0
【正确答案】C
【分析】根据两直线平行时系数的关系求解即可.
详解】根据两直线平行，可知，解得.
故选：C
2. 已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用已知条件求出点坐标，代入面积公式求解即可．
【详解】已知点，设点，，又，故，故，，
故选：C
3. 记为等差数列的前项和．已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用等差数列的性质求得首项和公差，进而利用通项公式和求和公式计算通项和前n项和，从而做出比较.
【详解】由
又


,
故选：A.
4. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相离B. 内切C. 相交D. 外切
【正确答案】C
【分析】先根据直线经过圆的圆心求的值，再利用几何法判断两圆的位置关系即可.
【详解】因为圆，所以，
由题意，点直线上，
得到，故，，
又，，可得，
又，，得到，
则圆与圆相交，故C正确.
故选：C
5. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据向量加减、数乘的几何意义，应用，，表示出，即可得.
【详解】由.
故选：B
6. 记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 90B. 100C. 108D. 126
【正确答案】C
【分析】利用等差数列的性质求解即可.
【详解】由，可得，所以，
又，所以，
所以.
故选：C.
7. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】说明数列是首项为4，公差为4的等差数列即可求解.
【详解】因为，所以，即．
又，所以数列是首项为4，公差为4的等差数列，
故，即．
故选：C.
8. 已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（ ）
A. 直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切
B. 当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是
C. 当或时，直线与抛物线只有一个公共点
D. 当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是
【正确答案】D
【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，当时，一次方程有一解，直线与抛物线相交可判断A，当时，利用判别式判断直线与抛物线的位置关系可判断BCD.
【详解】设直线的方程为，
即，由消去得：，
当时，直线与抛物线相交，只有一个公共点，故A错误；
当时，，
当时，解得或，此时方程组有两个相同的实数解，直线与抛物线相切，只有一个公共点，
所以直线与抛物线只有一个公共点时，直线的斜率分别为，故C错误；
当时，解得，此时方程组有两个不同的实数解，故直线与抛物线交于两点，故B错误；
当时，解得，此时方程组没有实数解，知直线与抛物线相离，没有公共点，故D正确.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有专项得合题目恐求．
9. 已知双曲线（），则不因k的变化而变化的是（ ）
A. 顶点坐标B. 渐近线方程C. 焦距D. 离心率
【正确答案】BD
【分析】把方程化成标准形式，再逐项分析判断即得.
【详解】双曲线化为：，实半轴长，虚半轴长，
双曲线的顶点随k的变化而变化，焦距随k的变化而变化，AC不是；
而，渐近线方程不因k的变化而变化，离心率为常数，BD是.
故选：BD
10. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A. 数列是递减数列B.
C. 时，的最大值是18D.
【正确答案】BCD
【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得，结合通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由，得，
解得，因为，所以.
A:由，可得
所以等差数列为递增数列，故A错误；
B：，故B正确；
C：，
由可得，所以，又，
所以的最大值是18，故C正确；
D：，
由，得，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知圆，直线，则（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线被圆截得的最短弦长为
C. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1
D. 当时，圆与圆恰有三条公切线
【正确答案】ABD
【分析】将直线含参部分合并同类项列出方程组求解直线恒过的定点即可；
先判断定点与圆的位置关系，弦长最小时即为定点与圆心的连线与已知直线垂直时取得，再运用弦长公式计算即可；
当时直线确定，先求出圆心到直线的距离，再结合半径长度进行判断；
利用两个圆心的距离与半径判断两个圆的位置关系.
【详解】对于，直线的方程为，
变形可得：，
令，解得，所以直线恒过定点，故正确；
对于，因为直线过定点，且点在圆内，
则经过两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小，
此时圆心到直线的距离为，
所以最小弦长为，故正确；
对于，圆，其圆心为，半径为，
当时，直线的方程为，
圆心到直线的距离为，
由于，所以圆上只有个点到直线的距离为，故错误；
对于，当时，圆的方程，
化为标准方程为，
其圆心，半径为，满足，
则两圆外切，共有三条公切线，故正确.
故选：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，则经过，，三点的圆的标准方程是__________
【正确答案】
【分析】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．
先求出、的坐标，可得圆心为直角三角形的斜边的中点，半径为的一半，由此可解．
【详解】在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，
，，
则经过，，三点的圆的圆心为直角三角形的斜边的中点，
半径为的一半，即，
则经过，，三点的圆的标准方程是．
故．
13. 已知，，，若，则的值为______.
【正确答案】
【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值.
【详解】因为，，所以，
由得，又，
所以，解得.
故
14. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为________．
【正确答案】19
【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式，结合等差数列的性质列式求解.
【详解】设等差数列的项数为，
则，
，
因此，解得，所以所求项数为.
故19
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）n为何值时，取得最大值并求其最大值.
【正确答案】（1）
（2），取得最大值56
【分析】（1）根据与关系求解；
（2）法一，利用二次函数求最值；法二，由项的符号求最值.
【小问1详解】
由题意可知：，
当时，，
当时，，
当时，，符合，
∴数列的通项公式；
【小问2详解】
法一：，
由二次函数图象及知或时，取得最大值56.
法二：当时，，
当时，，
当时，，
所以当或时，有最大值.
16. 记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
【小问2详解】
因，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述.
17. 已知圆C：与直线l：
（1）证明：直线l和圆C恒有两个交点；
（2）若直线l和圆C交于两点，求的最小值及此时直线l的方程．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）最小值为，此时直线l方程为
【分析】（1）先求直线所过定点，然后证明定点在圆内即可；
（2）结合图形分析可知，当直线时弦最短，然后可解.
【小问1详解】
将直线l方程变形得，
联立，解得，所以不论k取何值，直线l必过定点，
圆C：，圆心坐标为，半径，
因为，所以点P在圆C内部，
则直线l与圆C恒有两个交点．
【小问2详解】
直线l经过圆C内定点，圆心，
记圆心C到直线的距离为d，则，
所以，当取得最大值时，取得最小值，
由图可知，，所以直线时，取得最小值，
此时，
因为，所以直线l的斜率为，
又直线l过点，
所以当取得最小值时，直线l的方程为，即，
综上：最小值为，此时直线l方程为

18. 已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值.
【正确答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，列出方程组，求出，，由此能求出椭圆的方程；
（2）设，，则，从而直线的方程为，进而，同理得，进而，由此能证明四边形的面积为定值2．
【详解】（1）由已知可得：解得：；
所以椭圆C的方程为.
（2）因为椭圆C的方程为：，所以，.
设，则，即.
则直线BM的方程为：，令，得；
同理：直线AM的方程为：，令，得.
所以
.
即四边形ABCD面积为定值2.
19. 如图，在梯形中，，，将沿翻折成，使得，连接，．

（1）求证：；
（2）若，，，且点均在球的球面上．
（ⅰ）证明点在线段上；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）．
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证.
（2）（ⅰ）以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式，结合球面的意义列出方程组求解；（ⅱ）求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解.
【小问1详解】
翻折前，，即，，翻折后，，，
而，平面，则平面，又平面，
所以.
【小问2详解】
由（1）得直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

由，得，
（ⅰ）设，由，得，
解得，，则点，所以在线段上.
（ⅱ），
设平面的法向量，则，取，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.