广东省广州市增城区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份广东省广州市增城区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由集合，，得．
故选：A
2. 命题，，则命题的否定形式是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】命题，，全称量词命题，
则该命题的否定为：，.
故选：C．
3. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，当时，，
当时，，
所以.
故选：B.
4. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由知：，
，偶函数，AC错，
，B错，
故选：D
5. 若正数，满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为正数，满足，
则，
当且仅当时取等号.
故选：C.
6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由已知，，
∵幂函数在单调递增，且 ，∴ ，即；
又∵指数函数在上单调递减，且，∴ ，即；
又∵指数函数在上单调递减，且，∴ ，即；
综上所述，，，的大小关系是.
故选：D.
7. 若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为函数开口向上，对称轴为，
若函数在区间上增函数，则，
所以，故实数的取值范围是；
故选：A．
8. 已知是定义在上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】，则，.
又是定义在上的奇函数，所以，，
所以，.
由可得，，解得，所以；
当时，由可得，，解得，所以；
当时，根据奇函数的性质，可知，满足.
综上所述，不等式的解集是或.
故选：D.
二、多选题（本大题共3小题，每题6分，多选，错选不得分，部分选对得部分分，共18分）
9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】AC
【解析】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确；
对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误；
对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确；
对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误.
故选：AC
10. 下列命题是真命题的为（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若且，则
D. 若且，则
【答案】BCD
【解析】对于A，设，则，故A错误；
对于B，由不等式的性质可得，若，则，故B正确；
对于C，，因为且，所以，
所以，且，所以，所以，
故C正确；
对于D，，因为，所以，
又，所以，故D正确；
故选：BCD.
11. 函数，若，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】当时，函数单调递增，函数值集合为，
当时，函数单调递减，函数值集合为，
当时，函数单调递增，函数值集合为，
令，，因此函数的图象及直线有3个交点，显然，
作出函数的图象与直线，如图，

观察图象知，，B正确；
由，得，A正确；
当时，，由，得，此时最大，C错误；
显然，D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
12. 函数 的定义域是___________.
【答案】
【解析】由题意可知，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
13. 已知条件，条件．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】由，得，即．
又，且是的必要不充分条件，
∴
则．
∴实数的取值范围是．
故答案为：．
14. 若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值是__________.
【答案】
【解析】因为关于的不等式在区间上有解，
所以在区间上有解，
令，因为在区间上单调递减，
则在区间上也单调递减，
所以，
所以，则实数m的最小值是.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数m的取值范围．
解：（1）当时，，
或，，
所以，.
（2）由，得，
当，即时，，满足，则；
当时，，由，得或，
解，得无解；解，得，则，
所以实数m的取值范围是.
16. （1）化简：．
（2）已知，求．
解：（1）.
（2）∵，∴，即，
∴，∴，故，
∴.
17. 某种商品原来每件售价为元，年销售万件．
（1）据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？
（2）为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价．
解：（1）设每件定价为元，则，
整理得，
要满足条件，每件定价最多为元；
（2）当时：有解，
即：有解．
又，
当且仅当时取等号，
即改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件
18. 已知关于的不等式.
（1）若该不等式的解集为，求的值；
（2）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求此不等式的解集.
解：（1）依题的根为和2，
由韦达定理得，
解得.
（2）当时，不等式可化，
结合函数的图象，可知只要在和时，即可，
则有，
解得.
（3）当时，不等式可化为，
的根为，
当即时，不等式为，解集为；
当即时，结合函数的图象，
不等式的解集为；
当即时，结合函数的图象，
不等式的解集为；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19. 已知函数.
（1）判断f(x)的奇偶性；
（2）判断函数f(x)的单调性，利用函数单调性的定义进行证明；
（3）若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围.
解：（1）且，
∴为奇函数.
（2）令，则，
由，，即，
∴，故f(x)在定义域上单调递减.
（3）由，可得，
由（1）知：，
由（2）知：，即在上有解，
∵，
∴.