四川省成都外国语学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷 Word版含解析

这是一份四川省成都外国语学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷 Word版含解析，共21页。试卷主要包含了本试卷分第I卷两部分，考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
命题人：方兰英 林琪琦 审题人：方兰英 金鑫 林琪琦
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2.本堂考试120分钟，满分150分；
3.答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求.
【详解】化直线为，所以直线的斜率，令直线的倾斜角为，则，，.
故选：C.
2. 如图是一个古典概型的样本空间和事件A、B，其中，，，，那么（ ）

A. B. 事件A与B互斥
C. D. 事件A与B相互独立
【答案】D
【解析】
【分析】由图易求得可判断A，利用互斥事件的概念可判断B，求得，利用古典概型概率公式计算即可判断C；分别求出事件求得，.进而计算判断即可.
【详解】由图知，，故A错误 ；
事件A与有共同基本事件，故不是互斥事件，B错误，
∵，∴；故C错误；
因为，又，
，，所以A与B相互独立，故D正确.
故选：D
3. 长轴长是短轴长的倍，且经过点的椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】分椭圆的焦点在轴、轴上两种情况讨论，分别确定长半轴长、短半轴长，即可得到椭圆方程.
【详解】当椭圆的焦点在轴上时，长半轴长为，则短半轴长为，所以椭圆的方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，短半轴长为，则长半轴长为，所以椭圆的方程为；
所以椭圆方程为或.
故选：C.
4. 在三棱锥中，是的中点，点在棱上，且，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用空间向量的加减法及数乘运算计算求解.
【详解】因为是的中点，所以．
因为，所以．
所以．
故选:C．
5. 2021年某省实施新的“”高考改革方案，“3”即为语文､数学､英语3科必选，“1”即为从物理和历史中任选一科，“2”即为从化学､生物､地理､政治中任选2科，则该省某考生选择全理科(物理､化学､生物)的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求解总的选课方案，然后求解理科的选课方案，可得概率.
【详解】由题意总的选课方案有：（物理，化学，生物），（物理，化学，地理），（物理，化学，政治），
（物理，生物，地理），（物理，生物，政治），（物理，地理，政治），（历史，化学，生物），（历史，化学，地理），（历史，化学，政治），（历史，生物，地理），（历史，生物，政治），（历史，地理，政治），共12种；
而全理科只有1种，
所以某考生选择全理科(物理､化学､生物)的概率为.
故选：D.
6. 圆关于直线对称的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，得圆心坐标和半径，由对称求出对称圆的圆心，可得标准方程.
【详解】由圆，得，
则圆心坐标为，半径为1，
设关于直线的对称点为，
则，解得，
圆关于直线对称的圆的标准方程为．
故选：B．
7. 如图，把正方形纸片沿对角线折成的二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，则折纸后的余弦值为（ ）

A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二面角的定义得到二面角，设正方形边长，求得长，然后由向量表示，表示，然后求得的数量积，即可求出向量夹角的余弦值，即的余弦值.
【详解】如图，连接，
在正方形中，，∴，，
∵平面平面，
即二面角，即，
设正方形边长为，则，，

，
∴
.
故选：C.
8. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，M是该椭圆和双曲线的一个公共点，，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆与双曲线中参数之间的关系得到，判断A选项；由三角形正弦定理求得角，再由椭圆和双曲线定义表示出线段，再用余弦定理求得关系，由三个参数的关系式，判断B选项；由两边同除再化简，判断C选项；用离心率公式代入数值后利用基本不等式求得最小值，判断D选项.
【详解】
对于A：是椭圆和双曲线的公共焦点，
双曲线，则焦点在轴，所以椭圆中，
，即，即，故A错误；
对于B：由正弦定理可知在中，，，
，
由椭圆和双曲线的定义可知：，解得，
，
即，
，故B错误；
对于C：判断，即判断.
，即，得，，而，易知，即，故C错误；
对于D：由，得，所以
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故D正确.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分
B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
C. 分数在区间内的频率为0.2
D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人
【答案】BC
【解析】
【分析】利用频率分布直方图估计平均数判断A；求出第75百分位数判断B；求出分数在区间内的频率判断C；用分层随机抽样求出区间内应抽人数判断D.
【详解】对于A，平均成绩为，A错误；
对于B，由频率分布直方图知，分数在内的频率为0.7，在内的频率为0.9，
因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，B正确；
对于C，分数在区间内的频率为，C正确；
对于D，区间应抽取人，D错误.
故选：BC
10. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、,为椭圆上一个动点，椭圆上、下顶点分别为、,则下列说法正确的是（ ）
A. 设过点和的直线与椭圆相交的另一个交点为,则的周长是6
B. 若,则的面积为
C.
D. 若为圆:上的一个动点，则的最大值为12
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：利用椭圆的定义可知该三角形的周长为;对于B：利用余弦定理，求出即可得出面积；对于C：设出点,结合在椭圆上，求出斜率之积即可；对于D：先考虑固定点时，位于何处时最大，再将转化为,最终求的最大值即可.
【详解】由题可知，在椭圆中，.
对于A：的周长,
根据椭圆的定义，有,故A错误；
对于B：根据余弦定理，有,
得,
整理得,解得.
故,故B正确；
对于C：设点,易知点与或不重合，因为点在椭圆上，故有.由题意，,故C正确；
对于D：圆.若固定点,易知点位于直线与圆的两个交点中距离点更远的那个交点时，最长，此时.
,即当点位于直线与椭圆的下交点时，等号成立，故D正确.
故选：BCD.
11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点E是棱上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 不存在点E，使平面
B. 存在点E，使平面
C. 若点E为中点，则点C到平面的距离为
D. 二面角夹角最大时，
【答案】BC
【解析】
【分析】根据特殊位置即可根据线线平行求解A，建立空间直角坐标系，求解向量垂直的坐标关系即可求解B，求解平面法向量，即可根据空间距离求解C，根据法向量的夹角即可求解D.
【详解】对于A，当位于时，此时平面，平面，
故平面，A错误，
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，，
由于，故，
设，则，
则，
要使平面，则，
解得，故存在点，当时，，结合，
平面，故平面，B正确，
对于C， 点为中点，此时，
设平面的一个法向量为，
故，，
，令，则，
则点到平面的距离为，故C正确，
对于D，设平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
故，，
，令，则，
设平面的一个法向量为，
故
，令，则，
，
显然时，此时并不是最值，此时二面角夹角不是最大，故D错误，
故选：BC
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 样本数据1，2，4，5，8的极差为________.
【答案】7
【解析】
【分析】利用极差的定义最大值减去最小值即可得到极差.
【详解】由极差定义得到样本数据1，2，4，5，8的极差为 .
故答案为：7
13. 若双曲线（）的一条渐近线方程为，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】由焦点落在轴上的双曲线方程渐近线为，即可得，即可求得的值.
【详解】由双曲线（）可知双曲线焦点在轴上，则，得.
故答案为：3.
14. 小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率为_____（用表示）.

【答案】
【解析】
【分析】设球的半径为，根据几何关系先用表示出长轴长，然后再根据球心在地面的射影为椭圆焦点计算出关于的表示，由此可得的结果，则离心率可知.
【详解】设篮球半径为，显然平面平面，连接，，则平面，
过作交于点，则，，

于是椭圆长轴长，
因为，所以，
由，可知与全等，
所以，
令椭圆半焦距为，而，
则，
解得，所以该椭圆的离心率为，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图1，正方体的棱长为2，点为棱的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）如图2，连，，.求直线与平面所成角的正弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量垂直证明，
（2）求解法向量和方向向量，即可利用向量的夹角求解.
【小问1详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，则,
,
则,
设平面的法向量为，则
取，
设平面的法向量为
取，则，
由于，故，
所以平面平面；
【小问2详解】
,
设平面的法向量为，
则取，则，
设直线与平面所成角为,
则
16. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上．
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程；
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）设圆的方程为，再由直线与圆相切于点，可得关于与r的方程组，求得与r的值，则圆的方程可求；
（2）先根据垂径定理求得圆心到直线的距离为，然后按照直线斜率是否存在分类讨论，当直线斜率不存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离公式列式求得，即可得解.
【小问1详解】
由题可知，设圆的方程为，
由直线与圆相切于点，
得，解得，，
所以圆的标准方程为；
【小问2详解】
依题意，圆心到直线的距离为，
当直线斜率不存在时，方程为，此时圆心到直线的距离为3，符合题意；
当直线斜率存在时，设为，即，
则，即，则，解得，
所以直线的方程为
综上，直线的方程为或
17. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.
（1）求与的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．
【答案】（1） ； （2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且，利用相关公式建立方程组，即可求得与的值；
（2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果.
【详解】（1）依题，解得
（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，
获得本选修课学分分数不低于4分为事件，
则；；.
故.
【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键.
18. 已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧．
①求直线斜率的取值范围；
②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点．
【答案】（1）
（2）①；②证明见解析，
【解析】
【分析】（1）由题意可得，由双曲线的定义可知动点的轨迹是双曲线，由双曲线的得到轨迹方程；
（2）①设出直线方程，联立方程组并消元得到一元二次方程，由直线与曲线存在两个交点得到一元二次方程二次项系数不为0，判别式大于0，两根之积为负数建立不等式组，解出斜率取值范围；
②表示出直线方程，利用①的韦达定理化简方程求得直线恒过定点.
【小问1详解】
设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时，，
所以.
当动圆与圆、圆都内切时，，
所以，所以，
所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，
所以，，所以，
所以曲线的方程为.
【小问2详解】
①由题意直线斜率存在，设为，
设点，，
由消去得，，
则，
则由题意，解得，
所以直线斜率的取值范围为.
②由题意，则，所以直线方程为，
即，因为
，
因为，所以，
所以直线方程为，恒过点.
19. 椭圆：的左、右焦点分别，，，且.设不过原点的直线与椭圆C交于两点连接，如图1所示.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线之间的斜率为，且，求面积的取值范围；
（3）直线：交椭圆于两点，将平面沿x轴翻折，使y轴负半轴和x轴所确定的半平面与平面垂直，如图2所示，连接，，，，，求三棱锥外接球表面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
分析】（1）由题可得，再结合，即可求出，进而确定椭圆方程；
（2）设直线，联立得到，由，可得，求出原点到直线的距离为，即弦长，再表示出三角形的面积，结合二次函数特性求范围即可；
（3）由题知，直线过也在曲线上，不妨设为点，则，建立空间直角坐标系，可求得外心为，再设三棱锥外接球球心，再利用求得，继而得到，结合基本不等式求最值即可.
【小问1详解】
由题意，，
由得，所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设直线，
若，此时直线与椭圆交于点，此时直线或直线斜率不存在，不符合题意，故.
联立，
，
，
整理得：，由，得，解得·
设原点到直线的距离为，则，
，
又，
，令，，且，
则，
二次函数在值域为，
所以.
【小问3详解】
直线，由（2）可知，将直线与椭圆联立可得：
，结合图2可知，，，因为，故.
将椭圆上半部分沿轴翻折，使得平面平面，
翻折后建立如图所示空间直角坐标系，点移至，
设等腰三角形外接圆圆心，由对称性可得，
，
设外接球球心平面，所以，
，设，球心到点和距离相等，，
①，
令，代入①得，
，
令，则，
，当且仅当时，，
所以最小值为4，则三棱锥外接球表面积的最小值.