四川省成都外国语学校2022-2023学年高二数学（理）上学期12月月考试题（Word版附解析）

成都外国语学校高2024届2022-2023学年度12月月考

理科数学

一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 命题“，”的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】含有一个量词的命题的否定步骤为：改量词，否结论.

【详解】改量词：改为，

否结论：否定为，

所以，的否定形式为：，.

故选：A.

2. 同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是（    ）

A. 至少有1枚正面和最多有1枚正面 B. 最多1枚正面和恰有2枚正面

C. 至多1枚正面和至少有2枚正面 D. 至少有2枚正面和恰有1枚正面

【答案】C

【解析】

【分析】

分别列举出至少有1枚正面和最多有1枚正面，最多1枚正面和恰有2枚正面，至多1枚正面和至少有2枚正面以及至少有2枚正面和恰有1枚正面的情况，利用定义排除可得选项．

【详解】同时掷3枚硬币，至少有1枚正面包括有一正两反，两正一反，三正三种情况，
最多有1枚正面包括一正两反，三反，两种情况，故A不正确，
最多有1枚正面包括一正两反，三反与恰有2枚正面是互斥的但不是对立事件，故B不正确，
至多1枚正面一正两反，三反，至少有2枚正面包括2正和三正，故C正确，
至少有2枚正面包括2正和三正，与恰有1枚正面是互斥事件，故D不正确，
故选：C．

【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的定义，考查列举法的应用，属于基础题．

3. 已知双曲线的离心率，且其虚轴长为8，则双曲线的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意建立的方程，求出即可得到结果．

【详解】根据题意得到：，得，故方程为：

故选：D

【点睛】方法点睛：求双曲线方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用．

4. 已知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断不正确的是

A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B. 甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数

C. 甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差

D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

【答案】D

【解析】

【分析】根据条形统计图可分别计算出甲、乙的平均数、中位数、极差，从而判断出的正误；根据成绩的分散程度可判断的正误.

【详解】甲的成绩的平均数为：

乙的成绩的平均数为：

甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故正确；

甲的成绩的中位数为：；乙的成绩的中位数为：

甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数，故正确；

由条形统计图得甲成绩相对分散，乙的成绩相对稳定，

甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差，故正确；

甲的成绩的极差为：；乙的成绩的极差为：

甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故不正确．

本题正确选项：

【点睛】本题考查根据条形统计图判断平均数、中位数、极差和方差的问题，属于基础题.

5. 已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求得的中点坐标，利用两点间的距离公式即可求得答案.

【详解】由题意，，，可得的中点坐标为，

所以边上的中线长为，

故选：B.

6. 现从某学校名同学中用随机数表法随机抽取人参加一项活动.将这名同学编号为、、、、，要求从下表第行第列的数字开始向右读，则第个被抽到的编号为（    ）

16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用随机数表法列举出样本的前个个体的编号，即可得解.

【详解】从随机数表第2行第5列开始，从左到右依次选取三个数字，去掉其中重复及大于450的数，

样本的前个个体的编号依次为、、、、.

故选：B.

7. 已知m为实数，直线：，：，则“”是“”的

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】当m=1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0满足l1∥l2，即充分性成立，

当m=0时，两直线方程分别为y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不满足条件．

当m≠0时，则l1∥l2⇒，

由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，

由得m≠2，则m=1，

即“m=1”是“l1∥l2”充要条件，

故答案为：A

【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线和直线平行，则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.

8. 已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据数据的平均数与方差的性质求解即可.

【详解】由题知，，，

所以，的平均数为，

的方差分别.

故选：C.

9. 柜子里有红，白，黑三双不同的手套，从中随机选2只，则取出的手套成双的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用组合求出所有的情况数及符合要求的情况数，再利用古典概型求解即可.

【详解】任取两只手套有种方法，

若两只手套成双,有种方法，

则取出的手套成双的概率为

故选：B.

10. 已知点是圆的动点，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据几何的思路得到当以为直径的圆与圆内切,且时,线段长度最小,然后求即可.

【详解】由圆得圆心,半径.

因为直线上存在两点，使得恒成立，则以为直径的圆包含圆.

当长度最小时,两圆内切,设中点为,则此时,

所以.

故选：A

11. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先确定这是几何概型问题，可设甲乙分别先到的时间，建立他们之间不需要等待的关系式，作出符合条件的可行域，并求其面积，根据几何概型的概率公式计算可得答案.

【详解】设甲、乙到达停泊点的时间分别是x、y点，

则甲先到乙不需要等待须满足 ，乙先到甲不需要等待须满足，

作出不等式组 表示的可行域如图（阴影部分）：

正方形的面积为 ，阴影部分面积为 ，

故这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率 ，

故选：B

12. 是椭圆的左､右焦点，点为椭圆上一点，点在轴上，满足，若，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，结合向量加法的平行四边形法则确定与的关系，再利用椭圆定义结合余弦定理求解作答.

【详解】由得，以、为一组邻边的平行四边形的以点M为起点的对角线对应的向量与共线，

由知，平分，

因此这个平行四边形是菱形，有，

又，于是得，

令椭圆的半焦距为c，在中，，

由余弦定理得：，

即，

则有，解得，所以椭圆的离心率为.

故选：D

二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13. 2020年是新冠疫苗接种高峰期，接种重点人群是年龄在18-59岁的健康人员.某单位300名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取30名职工作为样本了解新冠疫苗的接种情况，则40岁以下年龄段应抽取____________人.

【答案】15

【解析】

【分析】根据扇形统计图得到40岁以下年龄段所占比例，从而得到应抽取的人数.

【详解】从扇形统计图可看出40岁以下年龄段所占比例为，

故从中抽取30名职工作为样本，40岁以下年龄段应抽取人数为.

故答案为：15

14. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则实数的值是________

【答案】4

【解析】

【分析】由抛物线定义及点M到焦点的距离求得p，把点M代入抛物线方程即可求.

【详解】抛物线准线方程为，由抛物线定义知，解得.

把代入得.

故答案为：4.

15. 已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

化简直线为，得出直线过定点， 根据点的长度，进而求得点到直线的距离的取值范围.

【详解】把直线化为，

联立方程组，解得，即直线过定点，

又由，且，所以直线与不垂直，

所以点到直线的距离的最大值为，

即点到直线的距离的取值范围为

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及两点间的距离公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.

16. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A､B的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O：x2+y2=1和点，点B(4，2)，M为圆O上的动点，则2|MA|+|MB|的最小值为___________

【答案】

【解析】

【分析】设M(x，y)，令2|MA|=|MC|，根据圆x2+y2=1是关于点A､C的阿波罗尼斯圆，且，

求得点C坐标，再连接BC，由直线段最短求解.整理得：

【详解】设M(x，y)，令2|MA|=|MC|，则，

由题知圆x2+y2=1是关于点A､C的阿波罗尼斯圆，且，

设点C(m，n)，则，

整理得：，

比较两方程可得：，，，

即m=-2，n=0，所以点C(-2，0)，

如图所示：

当点M位于图中M1､M2的位置时，2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小，最小为.

故答案为：

三､解答题：本大题共6个小题，第一题10分，其余各题12分

17. 已知命题方程：表示焦点在轴上的椭圆，命题双曲线的离心率，若“”为假命题，“”为真命题，求的取值范围.

【答案】

【解析】

【分析】求出当命题为真命题时的取值范围，以及当命题为真命题时的取值范围，分析可知、中一真一假，分真假、假真两种情况讨论，综合可得出实数的取值范围.

【详解】解：若命题为真命题，则，解得；

若命题为真命题，则，解得.

因为“”为假命题，“”为真命题，则、中一真一假，

若真假，则，则；

若假真，则，可得.

综上所述，实数的取值范围是.

18. 双曲线的一条渐近线为，且一个焦点到渐近线的距离为.

（1）求双曲线方程；

（2）过点的直线与双曲线交于异支两点，求点的轨迹方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用渐近线方程以及焦点到直线的距离即可求解.

（2）首先设出直线方程，与椭圆联立后，设出，利用向量的坐标运算以及韦达定理即可求解轨迹方程，最后确定好范围即可.

【小问1详解】

由渐近线为知，①，又焦点到渐近线的距离为，即到直线的距离，所以，②，联立①②，解得，，则双曲线方程为.

【小问2详解】

因为直线与双曲线交于异支两点，所以直线的斜率必存在，且经过点，可设直线，与双曲线联立得：，

设，则有解得，

由知，

两式相除得，即代入得，

又，所以，

所以点的轨迹方程为.

19. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：，，，，，得其频率分布直方图如图所示.

（1）估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数是多少；

（2）从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；

（3）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时，若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？

【答案】（1）720人   

（2）   

（3）该校需要增加初中学生课外阅读时间.

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图可得阅读时间在小时内的频率，进而可求人数，

（2）根据分层抽样的抽样比计算抽取的初高中生的人数，进而根据列举法求解个数，由古典概型的概率计算公式即可求解,

（3）根据频率分布直方图计算阅读的平均数，即可求解.

【小问1详解】

初中生中，阅读时间在小时内的频率为，

∴所有的初中生中，阅读时间在小时内的学生约有人；

同理，高中生中，阅读时间在小时内的频率为，

学生人数约有人，

该校所有学生中，阅读时间在小时内的学生人数约有人.

【小问2详解】

由分层抽样知，抽取的初中生有名，高中生有名，

记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少抽到2名初中生”为事件，

初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人；

高中生中，阅读时间不足10个小时学生频率为，样本人数为人.

记这3名初中生为、、，这2名高中生为、，

则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共10种，

即：，，，，，，，，，；

而事件的结果有7种，

它们是：，，，，，，；

∴至少抽到名初中生的概率为；

【小问3详解】

60天内，初中生平均每人阅读时间为（小时），

国家标准下60天内初中生每人需阅读（小时），

因为，该校需要增加初中学生课外阅读时间.

20. 现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位：万元）如表所示：

根据最小二乘法公式求得线性回归方程为.

（1）若9月份物流成本是90万元，预测9月份利润；

（2）经再次核实后发现8月份真正利润应该为116万元，重新预测9月份的利润.

附：，，，.

，.

【答案】（1）136.2万元   

（2）131.2万元

【解析】

【分析】(1)直接利用回归方程预测求解；

(2)根据题意，结合已知数据利用最小二乘法公式求解即可.

【小问1详解】

9月份利润：万元.

【小问2详解】

由已知数据可得：，

因为点在回归直线上，所以，

所以,

因为8月份的真正利润应该为116万元，

此时，

又，所以，

，

所以数据核实后的新的线性回归方程为，

令，得万元.

所以重新预测9月份的利润为万元.

21. 已知抛物线C：焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点．当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点．

（1）求p的值；

（2）是否存在定点T， 使得为常数？ 若存在，求出点T的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．

【答案】（1）   

（2）存在；，

【解析】

【分析】（1）结合中点坐标公式表示出点A的坐标带入抛物线的方程即可求出结果；

（2）设出直线的方程与抛物线联立，进而结合根与系数的关系得到的表达式，从而可得，因此解方程组即可求出结果.

【小问1详解】

因为，且点A恰好为线段PF中点，所以，又因为A在抛物线上，所以，即，解得

【小问2详解】

设，可知直线l斜率存在；设l：，

联立方程得：，所以，

所以，

又：

，

令，解之得：，即，此时

【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

22. 已知椭圆的左､右焦点分别为，设是第一象限内椭圆上一点，的延长线分别交椭圆于点，直线与交于点.

（1）当垂直于轴时，求直线的方程；

（2）记与的面积分别为，求的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意分别计算的坐标，进而根据的直线方程可得，进而可得直线的方程；

（2）设，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程可得，进而可得，令，，再根据基本不等式求最大值即可.

【小问1详解】

由题意可得，当垂直于x轴时，

则的纵坐标为，

所以，

∴，直线的方程为：，

联立，解得或，则，

∴，

∴直线的方程为，即；

【小问2详解】

设，，设直线的方程为，其中，

联立，消去x并整理可得，，

由韦达定理可得，，

又，则，

∴，

同理可得.

∴

，

令，，

，

当且仅当，即时取等号.

∴最大值为.