四川省成都外国语学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：120 分钟试卷 满分：150 分
注意事项：
1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名
､座位号填写在答题卡上.
2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题）
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 在空间四边形 OABC 中， （ ）
A. B. C. D.
2. 如图，已知正方体 中，点 为上底面 的中心，若 ，则
（ ）
A. B. 1 C. D. 2
3. 已知向量 与 共线，则 （ ）．
A. B. C. D.
4. 已知α，β为两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
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A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
5. 已知直线 ，若 ，则 的值为（ ）
A. 0 或 1 B. 0 C. 1 D. 不存在
6. 如图，由矩形 与矩形 构成的二面角 为直二面角， 为 中点，若
与 所成角为 ，且 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D.
7. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为 ，乙
每轮猜对的概率为 ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮
活动中猜对 3 个成语的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，棱长为 3 正方体的顶点 A 在平面 上，三条棱 都在平面 的同侧，若顶点 到
平面 的距离分别为 ，则顶点 到平面 的距离是（ ）
A B. 2 C. D.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错或不选得 0 分.
9. 在平面直角坐标系中，已知 ，则（ ）
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A. 直线 的倾斜角是
B. 点 在直线 上
C. 直线 的一个方向向量为
D 直线 与直线 垂直
10. 如图，在四面体 OABC 中， ， ，E，F，G，H 分别是 OA，OC，BC，AB 上的点，
且 ， ，则（ ）
A. E，F，G，H 四点共面
B. 当 时，
C.
D. 当 时，
11. 如图，正方体 的棱长为 2， 分别为正方形 的内切圆上
的点，下列说法正确的是（ ）
A. 若 分别为 的中点，则棱 与平面 所成角的余弦值为
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B. 若平面 与平面 平行，则平面 到平面 的距离的最小值是
C. 直线 与 所成角的最大值为
D. 的最小值为
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，把答案填在答题卡上.
12. 假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为 40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖
恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1，2，3，4 表示命中靶心，
5，6，7，8，9，0 表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了 20 组
随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心 概率为______．
13. 已知 ，直线 过原点且与线段 有公共点，则直线 的斜率的取值范围为__________.
14. 已知三棱锥 中， ， ， ，二面角 的余
弦值是 ．则当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积是________．
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将 6 罐这种饮料装一箱，每箱中都放置 2
罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出 2 罐，则：
（1）恰有 1 罐中奖的概率为多少？
（2）能中奖的概率为多少？
16. 为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中
随机抽取了 100 人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为 6 组，并作出了如图所示的频率分布直
方图（最低 40 分，最高 100 分）．
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（1）求 a 的值；
（2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数；
（3）认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数）
17. 如图，已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的所有棱长都相等，棱 AC，A1C1 的中点分别为 M，N．
（1）求证：B1N⊥C1M；
（2）求异面直线 BN 与 C1M 所成角的余弦值；
（3）求平面 A1BM 与平面 ABC1 所成二面角 正弦值．
18. 设直线 的方程为
（1）求证：直线 经过定点，并求此定点坐标.
（2）若 在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
（3）若直线 交 轴正半轴于点 ，交 轴负半轴于点 的面积为 ，求 的最小值并求此时直线
的方程.
19. 如图 1，在梯形 中， ， 是线段 上的一点， ，将
沿 翻折到 的位置.
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（1）如图 2，若二面角 为直二面角，证明： 平面 .
（2）如图 2，若二面角 为直二面角， 分别是 的中点，若直线 与平面 所
成角为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值的取值范围；
（3）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点 为线段 的中点，
分别在线段 上（不包含端点），且 为 的公垂线，如图 3 所示，记四面体
的内切球半径为 ，证明： .