四川省成都外国语学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷 Word版含解析含答案解析

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命题人：方兰英 林琪琦 审题人：方兰英 金鑫 林琪琦
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2.本堂考试120分钟，满分150分；
3.答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图是一个古典概型的样本空间和事件A、B，其中，，，，那么（ ）

A. B. 事件A与B互斥
C. D. 事件A与B相互独立
3. 长轴长是短轴长的倍，且经过点的椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
4. 在三棱锥中，是的中点，点在棱上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 2021年某省实施新的“”高考改革方案，“3”即为语文､数学､英语3科必选，“1”即为从物理和历史中任选一科，“2”即为从化学､生物､地理､政治中任选2科，则该省某考生选择全理科(物理､化学､生物)的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 圆关于直线对称的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，把正方形纸片沿对角线折成的二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，则折纸后的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，M是该椭圆和双曲线的一个公共点，，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D. 的最小值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A. 考生参赛成绩平均分约为72.8分
B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
C. 分数在区间内的频率为0.2
D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人
10. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、,为椭圆上一个动点，椭圆上、下顶点分别为、,则下列说法正确的是（ ）
A. 设过点和的直线与椭圆相交的另一个交点为,则的周长是6
B. 若,则的面积为
C.
D. 若为圆:上的一个动点，则的最大值为12
11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点E是棱上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 不存在点E，使平面
B. 存点E，使平面
C. 若点E为中点，则点C到平面的距离为
D. 二面角夹角最大时，
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 样本数据1，2，4，5，8的极差为________.
13. 若双曲线（）一条渐近线方程为，则______．
14. 小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率为_____（用表示）.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图1，正方体的棱长为2，点为棱的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）如图2，连，，.求直线与平面所成角的正弦值；
16. 已知圆与直线相切于点，圆心轴上．
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程；
17. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.
（1）求与的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．
18. 已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧．
①求直线斜率的取值范围；
②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点．
19. 椭圆：的左、右焦点分别，，，且.设不过原点的直线与椭圆C交于两点连接，如图1所示.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线之间的斜率为，且，求面积的取值范围；
（3）直线：交椭圆于两点，将平面沿x轴翻折，使y轴负半轴和x轴所确定的半平面与平面垂直，如图2所示，连接，，，，，求三棱锥外接球表面积的最小值.