山东省烟台市栖霞市第一中学2025--2026学年高二上册1月月考数学试题【附解析】

这是一份山东省烟台市栖霞市第一中学2025--2026学年高二上册1月月考数学试题【附解析】，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出椭圆方程，结合已知条件，即可容易求得结果.
【详解】根据题意，椭圆的焦点在轴上，故设其方程为：，显然，，
则，故椭圆方程为.
故选：B.
2. 数列的一个通项公式可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合选项，举例说明即可求解.
【详解】A选项，当时，，故A错误；
B选项，当时，，当时，，
当时，，当时，，故B正确；
C选项，当时，，故C错误；
D选项，当时，，故D错误．
故选：B．
3. 设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（）
A. 4B. 6C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆定义和基本不等式求解即可.
【详解】椭圆，
故，
故，当且仅当时，等号成立.
故选：C
4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，在左支上过的弦的长为4，那么的周长是（）
A. 24B. 20C. 16D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的定义得到，，然后求周长即可.
【详解】
由题意得，，，，
所以的周长为.
故选：A.
5. 已知以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为，则此双曲线的离心率为（）
A. B. 2C. 2或D. 2或
【答案】D
【解析】
【分析】分焦点在x轴上和y轴上讨论求解即可.
【详解】当焦点在x轴上时，可得，则；
当焦点在y轴上时，可得，则.
综上，双曲线的离心率为2或.
故选：D.
6. 设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为的重心，则的值为（）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】由三角形重心坐标公式可得，再由抛物线的定义计算出长度即可.
【详解】由题意可知，点的坐标为，
设点，，的坐标分别为，，，
又为的重心，则，即，
由抛物线方程可得，
所以由抛物线的定义可知，
故选：D.
7. 已知数列是等差数列，为数列的前项和，，则（）
A. 10B. 15C. 20D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】仍成等差数列，据此求解即可.
【详解】因为数列是等差数列，为数列的前项和，
根据等差数列的性质得到：仍成等差数列，
记，
设，
，
，解得，
所以，
故选：C.
8. 已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得，，再根据已知列式，结合椭圆的关系，求出离心率即可.
【详解】为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，
由椭圆的性质，可得.
过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，
.
等于的最小值的3倍，
.
椭圆中，
，即，
则.
，
，解得或（舍）.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知椭圆C：的一个焦点为F，P为C上一动点，则（）
A. C的短轴长为B. 的最大值为
C. C的长轴长为6D. C的离心率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆的几何性质可分别判断ACD，再利用椭圆性质即可判断B选项，进而得出结果.
【详解】由标准方程可知，，，
所以，，．
所以短轴长为，长轴长为，即选项AC正确；
离心率，即D正确；
由椭圆性质得，故选项B错误.
故选：ACD
10. 已知等差数列的前项和为，若，则（）
A. 公差B.
C. 的最大值为D. 满足的的最小值为16
【答案】AC
【解析】
【分析】根据求出与公差的关系即可判断AB；再根据等差数列前项和公式即可判断CD.
【详解】因为，
则，即，
则，故A正确；
，故B错误；
由，得，
,
因，
所以数列是递减数列，且当时，，当时，，
所以的最大值为，故C正确；
，
令，解得，
所以满足的的最小值为，故D错误.
故选：AC.
11. 如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，.设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据由累加法可得，进而结合选项可判断A.B.C,
根据裂项相消法则可判断D.
【详解】由题意得，，，，…，，
以上个式子累加可得，
又满足上式，所以，
由已知，，，，，
得,故正确;
因为,则,故错误;
由通项公式得,故正确；
由，
得，
故D正确.
故选：.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】点差法求出直线的斜率，点斜式得直线方程.
【详解】设点，点为弦的中点，有，
将两点代入椭圆方程，得，
两式作差得，整理得
得直线的斜率为，直线的方程为，即.
经检验符合题意.A
故答案：.
13. 已知数列满足，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意分和两种情况，结合前n项和与通项之间的关系分析求解.
【详解】因为①，
当时，；
当时，②，
①-②可得，则；
且，不符合上式，所以.
故答案为：.
14. 如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用中位线结合双曲线性质, 解得，解得，然后转化成，求得离心率.
【详解】设双曲线的右焦点，连接，.
则中，，，
则，
由直线与圆相切，
可得.
又双曲线中，，
则，
又，
则，
整理得，
两边平方整理得，
则双曲线离心率，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15. 已知数列的前项和公式为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）应用求解通项公式即可；
（2）由（1）得，利用等差数列定义判断数列为等差数列，然后利用等差数列求和公式求解即可.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
显然时，满足要求，综上，；
【小问2详解】
由（1）得，
则，
故为首项，的等差数列，所以.
16. 已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解.
【小问1详解】
抛物线的焦点为，
由题意得，解得，，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
直线的斜率存在，设斜率为，
直线的方程为，即，
联立，
消去得：，
设，
因为，即，
所以，解得，
此时满足题意
所以所求直线的方程为.
17. 已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.
（1）求和的值；
（2）过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值.
【答案】（1），；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由焦半径公式求得，得抛物线方程，点坐标代入抛物线方程可得；
（2）设直线的方程为，设，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，再利用在抛物线上求得，然后计算可得．
【小问1详解】
由题意，，抛物线方程为，
在抛物线上，因此，所以；
【小问2详解】
由（1）知焦点为，显然直线与不重合，
设直线的方程为，设，
由得，因此，
又，，
所以
所以．
18. 已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为．
（1）求的方程；
（2）若直线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由离心率及顶点到渐近线的距离列方程即可求；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式，点到直线距离公式求解面积即可.
【小问1详解】
记的半焦距为，由题得的离心率，①
由对称性不妨设的顶点为，渐近线方程为，则，②
又，③
联立①②③解得，，，
所以的方程为．
【小问2详解】
设，
由得，
所以，
解得，且，
所以，，
所以．
又点到直线的距离，
所以的面积，
解得或，符合式，
所以或．
19. 已知椭圆，左､右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积；
（3）如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
【答案】（1）椭圆的方程为, 离心率.
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据为等边三角形得到关系，求出其方程，再利用离心率公式即可；
（2）写出双曲线方程，联立椭圆方程即可得到，再计算面积即可；
（3）联立椭圆方程与直线方程，根据相切得到，再求出点坐标，最后消元即可.
【小问1详解】
是面积为的等边三角形，，
椭圆的方程为，离心率.
【小问2详解】
由题意得双曲线中的，则，
所以双曲线方程为，
联立椭圆方程解得:，即，
.
【小问3详解】
由题易知，则联立，
得，
，即，
设为，则，
直线，令，解得，则，
令，则，则，
.
则点的轨迹方程为.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是联立直线方程与椭圆方程，根据判别式为0得到，再根据直线垂直得到直线方程，从而得到坐标，即得到的坐标，最后消元即可得到轨迹方程.