2022-2023学年山东省烟台栖霞市第一中学高一下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年山东省烟台栖霞市第一中学高一下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据直观图面积是原图面积的，先计算的面积，即求得的面积.

【详解】解：设原图面积是，对应直观图面积为直观图，由图可知，

根据“斜二测画法”的原则：“横不变纵减半，两轴夹角”，，即.

中，，高，

故的面积为，

那么的面积为.

故选：A．

2．阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的体积为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据球的体积公式求出半径，根据圆柱的体积公式可求得结果.

【详解】设球的半径为，则，所以，

所以圆柱的底面半径为，圆柱的高为，

所以圆柱的体积为.

故选：C

3．设是直线是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若∥，∥，则∥ B．若∥，，则

C．若，，则∥ D．若，∥，则

【答案】B

【分析】根据线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判断定理、性质定理逐一判断即可.

【详解】解：对于A，当和相交，直线平行于和的交线时，满足∥，∥，但此时∥不成立，故错误；

对于B，因为∥，所以在内至少存在于一条直线，使∥，又因为，所以，因为，所以，故正确；

对于C，因为，，所以∥或，故错误；

对于D，因为，∥，所以或∥或，故错误.

故选：B

4．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意及圆柱、球的对称，可求得圆柱底面圆半径，根据圆柱表面积的求法，即可得答案.

【详解】由题意得球的半径为，设圆柱底面圆半径为r，

根据圆柱和球的对称性可得，

所以圆柱的表面积.

故选：D

5．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为（    ）

A．1 B． C．3 D．2

【答案】A

【分析】连结AC，交BD于O，连结OF，则AO＝OC，再由点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，能求出OF∥PC，

【详解】解：连结AC，交BD于O，连结OF

∵四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，∴AO＝OC，

∵点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，

∴OF∥PC，

∴λ＝1.

故选：A.

【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

6．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（    ）

A．CC1与B1E是异面直线

B．AC⊥平面ABB1A1

C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1

D．A1C1平面AB1E

【答案】C

【解析】逐一分析选项，得到正确答案，A.根据是否共面分析；B.用反证法证明；C.利用线面垂直的性质定理证明；D.利用AC∥A1C1，判断线面是否平行.

【详解】对于A, CC1与B1E都在平面CC1B1B内，且CC1与B1E是相交直线，故A错误；

对于B，假设AC⊥平面ABB1A1，则AC垂直于平面内的任一条直线，即AC⊥AB，这与题设“底面三角形A1B1C1是正三角形”矛盾，所以假设不成立，故B错误；

对于C，点B1∉AE，直线B1C1交平面AEB1于点B1，AE，B1C1为异面直线；

由题知△ABC是正三角形，又E是BC的中点，AE⊥BC，又AE⊥C1C，且BCC1C= C AE⊥底面BB1C1C，AE⊥B1C1，故C正确；

对于D，直线AC交平面AB1E于点A，又AC∥A1C1，直线A1C1与平面AB1E相交，故D错误．

故选：C

【点睛】本题考查异面直线判断、异面直线垂直、线面垂直、线面平行等命题的真假性判断，考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题.

7．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.

【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，

因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为，

则圆锥和圆柱的高为，

所以圆锥的侧面积为，

圆柱的侧面积为，

所以圆锥和圆柱的侧面积之比为,

故选:C.

8．已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积与其内切球表面积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由正方体性质知，它的外接球的半径为，内切球的半径为，利用球体积，表面积公式计算得结果.

【详解】由正方体性质知，它的外接球的半径为，内切球的半径为，

，

：：2

故选：D

【点睛】本题主要考查了正方体的性质，球的体积，表面积的计算，属于基础题.

二、多选题

9．下列叙述错误的是（    ）

A．已知直线和平面，若点，点且，，则

B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面

C．若直线不平行于平面，且，则内的所有直线与都不相交

D．若直线和不平行，且，，，则l至少与，中的一条相交

【答案】BC

【解析】根据线线关系、线面关系的性质定理及判定定理判断可得；

【详解】解：由公理一，可知A正确；

若三条直线相交于一点，则三条直线不能唯一确定一个平面，故B错误；

若直线不平行于平面，且，则与平面相交，设交点为，则平面中所有过点的直线均与直线相交，故C错误；

若直线和不平行，且，，，

所以直线和异面

与共面，与共面，

可以与平行或相交，可以与平行或相交，

但是一定不能同时平行，若两条直线与同时平行，

则和平行，与两条直线是异面直线矛盾，

至少与和中的一条相交，故D正确；

故选：BC．

【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，本题解题的关键是理解两条直线在空间中所有的关系就只有三种，属于中档题．

10．对于四面体，以下命题中正确的命题是

A．若，则，，与底面所成的角相等

B．若，，则点在底面内的射影是的内心

C．四面体的四个面中最多有四个直角三角形

D．若四面体的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为

【答案】ACD

【解析】对于A，根据线面角的定义即可判断；

对于B，根据三垂线定理的逆定理可知，是的垂心；

对于C，在正方体中，找出满足题意的四面体，即可得到直角三角形的个数；

对于D，作出正四面体的图形，球的球心位置，说明是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积．

【详解】解：

A项：因为，设点在平面内的射影是，因为，，，所以，

则，，与底面所成的角相等；故A正确；

B项：设点在平面内的射影是，则是在平面内的射影，因为，根据三垂线定理的逆定理可知： 同理可证，所以是的垂心，故B不正确；

C项：如图：

直角三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4．故C正确

D项：如图，

为正四面体的内切球的球心，正四面体的棱长为1；

所以为内切球的半径，，，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以球的表面积为：，故D正确．

故选：ACD．

【点睛】结合平面几何知识考查空间中线面角的求法、三角形内心垂心的判断、立体图形中直角三角形个数以及内切球的表面积求法；是中档题.

11．在棱长为2的正方体中，与交于点，则（    ）

A．平面

B．平面

C．与平面所成的角为

D．三棱锥的体积为

【答案】ABD

【分析】根据线面平行判定定理判断A，利用线面垂直判定定理判断B，利用线面夹角的定义判断C，根据等体积法判断D.

【详解】∵平面平面

平面，A对；

因为又平面，平面，

所以平面

平面，B对；

因为平面与平面所成角为

因为，C错；

因为，D对.

 故选：.

12．如图，四边形为矩形，平面，，且，记四面体，，的体积分别为，，，则下列说法正确的是（    ）

A．直线平面

B．若为中点，则平面

C．

D．直线与平面所成角的正切值为

【答案】ACD

【分析】利用面面平行的判定可证得平面平面，由面面平行的性质知A正确；假设B正确，由线面垂直的性质和等腰三角形三线合一性质可知，显然不成立，知B错误；利用体积桥，结合棱锥体积公式可分别求得，知C正确；根据线面角定义作出所求角，由长度关系可求得D正确.

【详解】对于A，四边形为矩形，，

又，平面，平面，

平面，平面，又，平面，

平面平面，又平面，平面，A正确；

对于B，连接，

假设当为中点时，平面，

平面，，又为中点，，

由已知得：，假设错误，B错误；

对于C，设，

由A知：平面，；

平面，平面，，

又，，平面，平面，

，，C正确；

对于D，取中点，连接，

平面，平面，，

又，，平面，平面；

，，四边形为平行四边形，，

平面，即为直线与平面所成角，

设，则，，

，即直线与平面所成角的正切值为，D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高       ．

【答案】8

【解析】根据题意半球的体积等于圆锥的体积，根据等体积法化简即可.

【详解】解：由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径，

如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半球的体积等于圆锥的体积

所以

故答案为：8

14．如图，在上、下底面对应边的比为的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，这个平面分三棱台成两部分，则＝        .

【答案】/

【分析】由题，设三棱台的上底面面积为，则下底面面积为，高为，进而，，再求剩余的几何体体积即可得答案.

【详解】解：因为三棱台中，上、下底面对应边的比为，

所以，设三棱台的上底面面积为，则下底面面积为，高为，

，.

设剩余的几何体的体积为V，则V＝，

所以，.

故答案为：

15．如图，位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔，俗称应县木塔，是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为，则该正八棱锥的高和底面边长之比为        .(参考数据：)

【答案】

【分析】设底面边长为a，根据正八棱锥底边所对的圆心角为，求得圆心到底边的距离，再由侧面与底面成求解.

【详解】如图所示:

点是正八棱锥的顶点，点是底面的中心，是底面的一条边，是的中点,

根据题意知，

因为，

设，则，

又因为二面角的大小为，即，

所以，

即正八棱锥的高和底面边长之比为.

故答案为：

16．如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上一动点（不与，B重合），则下列命题中：

①平面平面；

②一定是锐角；

③；

④三棱锥的体积为定值．

其中真命题的有          ．

【答案】①③④

【分析】根据正方体特征可知平面，利用面面垂直的判定定理即可求得①正确；当是的中点时是直角，即②错误；易知平面，利用线面垂直的性质即可得，所以③正确；根据等体积法和线面平行判定定理可得三棱锥的体积为定值，即可知④正确.

【详解】对于①，由正方体性质可得平面，又平面，所以平面平面，即①正确；

对于②，当是的中点时，

易得，

满足，此时是直角，所以②错误；

对于③，连接，如下图所示;

由正方体可知，且平面，平面，

所以，

又，平面，所以平面；

又平面，所以，即③正确；

对于④，三棱锥的体积，又因为的面积是定值，

平面，所以点到平面的距离是定值，

所以三棱锥的体积为定值,即④正确.

故答案为：①③④

四、解答题

17．如图是一个圆锥形物体，其母线长为3cm，一只小虫子从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫子爬行的最短路程为，求圆锥底面圆的半径.

【答案】1cm.

【分析】由圆锥侧面展开图已知最短距离与两条母线组成等腰三角形，通过余弦定理可得解三角形顶角，再由扇形弧长公式得解.

【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示，易知该小虫子爬行的最短路程为，，，在中，由余弦定理得，

因为为三角形的内角，

所以，设圆锥底面圆的半径为，则，解得.

故圆锥底面圆的半径为1cm.

18．如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，.

(1)求圆柱的体积；

(2)求证：

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）计算出圆柱的底面半径，再利用柱体的体积公式可求得该圆柱的体积；

（2）推导出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立.

【详解】（1）解：设圆柱的底面半径为，

因为，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，且，，则，

由勾股定理可得，所以，，

因此，该圆柱的体积为.

（2）证明：因为平面，平面，所以，，

又因为，，、平面，所以，平面.

因为平面，所以，.

19．如图，在四棱锥中，，，，平面，E为PD的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若，求点E到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（Ⅰ）首先证明平面PBC，平面PBC，由面面平行的判定定理可得平面平面PBC，再由面面平行的性质定理即可证明.

（Ⅱ）利用等体积法可得，结合锥体的体积公式即可求解.

【详解】解：（Ⅰ）取CD的中点F，连接EF，AF．

因为E为PD的中点，所以，

又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．

因为，所以．

且，所以四边形ABCF是平行四边形，所以，

因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC；

因为，且平面AEF，平面AEF，

所以平面平面PBC；

因为平面AEF，所以平面．

（Ⅱ）因为E是PD的中点，

所以点E到平面PBC的距离是点D到平面PBC距离的．

因为平面ABCD，，，

所以平面PAB．所以．

因为

所以

在中，，，

所以．

设点D到平面PBC的距离为d，由

则，解得．

所以点E到平面PBC的距离是．

20．一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球的表面积的，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.

（1）试确定R与r的关系，并求出大圆锥与小圆锥的侧面积的比值.

（2）求出两个圆锥的总体积(即体积之和)与球的体积之比.

【答案】（1），大圆锥与小圆锥的侧面积的比值为；（2）.

【解析】（1）求出球的表面积和圆锥底面积，即可得出，根据几何特征表示出圆锥的高和母线长，即可求出侧面积之比；

（2）根据体积公式计算出，即可得出比值.

【详解】解：（1）球的表面积为，

圆锥的底面积为，解得，

由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形；

由此可以求得球心到圆锥底面的距离是：，

所以小圆锥的高为：，母线长为：；

同理可得大圆锥的高为：，母线长为：；

又由这两个圆锥的底面半径相同，

∴较大圆锥与较小圆锥的侧面积之比等于它们母线长之比，即.

（2）由（1）可得两个圆锥的体积和为：，

球的体积为：，

故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为：.

21．如图，在边长为的菱形中，，现将沿边折到的位置，使得平面平面．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）取的中点为，连接、，由已知可得，，由直线与平面垂直的判定可得平面，进一步得到；

（2）由（1）知，，再由平面与平面垂直的性质可得平面，然后利用棱锥体积公式求解三棱锥的体积．

【详解】证明：（1）如图所示，取的中点为，连接、，因为四边形为菱形，由，得，由，得，

又，平面，

而平面，所以；

（2）由（1）知，，又平面平面，

且平面平面，平面，

由已知可得，，，

．

22．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，垂直于底面，.

（1）求平面与平面所成二面角的大小；

（2）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据题意可证明，所以即为平面与平面所成二面角的平面角，结合线段关系即可求得的大小；

（2）根据题意，可证明和，从而由线面垂直的判定定理证明平面，即可得，所以异面直线与所成角为.

【详解】（1）由题意可知底面是边长为1的正方形，

则，

又因为垂直于底面，平面，

则，

由于，

则平面，

而平面，

所以，

则即为平面与平面所成二面角的平面角，

由可知，

在中，；

（2）由，且，为棱的中点，

所以由等腰三角形性质可知,

又因为，且，

所以平面，

而平面，

所以，而且，

所以平面，

而平面，

所以，

则异面直线与垂直，所以异面直线与的夹角为.

【点睛】本题考查了平面与平面形成的二面角求法，异面直线的夹角求法，由线面垂直判断线线垂直的方法，直线与平面垂直的判定，属于基础题.