山东省烟台栖霞市第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题-A4

这是一份山东省烟台栖霞市第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题-A4，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高二数学试题月考
一、单选题
1．数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（ ）
A．B．
C．D．
2．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知数列的前项和为.若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（ ）A．30 B．70 C．50 D．60
5．已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．D．5
6．已知数列是等差数列，为数列的前项和，，则（ ）
A．10B．15C．20D．40
7．已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（ ）A．10B．8C．24D．
8．已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知曲线，下列说法正确的有（ ）
A．若曲线表示椭圆，则或
B．若曲线表示椭圆，则椭圆的焦距为定值
C．若曲线表示双曲线，则
D．若曲线表示双曲线，则双曲线的焦距为定值
10．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．公差 B．
C．的最大值为 D．满足的的最小值为16
11．如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，.设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ）A． B． C． D．
三、填空题
12．已知数列的前n项和，则通项公式= ．
13．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 .
14．在平面直角坐标系中，若点到点的距离比它到轴的距离大，则点的轨迹的方程为 ，过点作两条互相垂直的直线分别与曲线交于点、和点、，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知双曲线与有相同的渐近线，为上一点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与相交于、两点，求的面积.
16．已知数列的首项为，且满足．
(1)证明数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
17．已知椭圆C:的离心率为长轴的右端点为.
(1)求C的方程；
(2)不经过点A的直线与椭圆C分别相交于两点，且以MN为直径的圆过点，试证明直线过一定点，并求出此定点；
18．已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，点在上.(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值；
(3)过的右焦点，且斜率不为零的直线交于、两点，求面积的最大值.
19．已知抛物线：，在上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为
(1)若A到抛物线准线的距离为3，求a的值；
(2)当时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线上，求O到直线AB的距离；
(3)直线l：，抛物线上有一异于点A的动点P，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为若在P的位置变化过程中，恒成立，求a的取值范围．
高二数学月考一参考答案：
1-4.DACC， 5-8.ACBA， 9.BCD， 10.AC， 11.ACD，
12. 13． 14． 45/0.8
15．【分析】（1）设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程；
（2）设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）解：设双曲线的方程为，将点代入方程中得，
所以双曲线的方程为，即双曲线的方程为.
（2）解：在双曲线中，，，则，
则，所以直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，则，
所以，.
16．【分析】（1）根据条件中的递推关系式，结合等差数列的定义，即可证明，并求通项公式；
（2）根据（1）的结果，可知，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）由，，得，则，
于是，所以数列是首项，公差为2的等差数列，
故，所以,
（2）由（1）知，
所以.
(3)
17．【分析】（1）根据题意得出和列方程组，求解结果.
（2）按斜率存在与否分别设出直线方程，将直线与椭圆联立得到利用根与系数关系，
得到参数与交点坐标的关系.将MN为直径的圆过点，转化为,
得到直线两个参数直间的关系，将直线转化为点斜式分析定点.
【详解】（1）椭圆：的离心率为，长轴的右端点为，
可得，解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
可得，且
即
设，所以，
由题意得，即，
可得
，
所以，解得或，
当时，直线方程为，此时过，不符合题意（舍去）；
当时，直线方程为，此时过，符合题意，
当直线的斜率不存在时，设直线，则点，
于是，解得，直线过点，综上可得，直线过定点.
18．【分析】（1）依题意可得，解得、即可；
（2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值；
（3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，由三角形面积公式及基本不等式即可求解最值．
【详解】（1）依题意可得，解得，所以椭圆的方程为．
（2）由（1）可得，，则，
又，所以，
当且仅当为的延长线与椭圆交点时取等号，所以，
故周长的最大值为；
（3）设直线的方程为，，．
由，消去整理得，显然，
所以，，
所以
，又因为
，当且仅当，即时取等号，所以，故面积的最大值为．
19．【详解】（1）抛物线：的准线为，由于A到抛物线准线的距离为3，
则点A的横坐标为2，则，解得；
（2）当时，点A的横坐标为，则，设，则AB的中点为，
由题意可得，解得，所以，则，
由点斜式可得，直线AB的方程为，即，
所以原点O到直线AB的距离为；
（3）设，，则，故直线AP的方程为，令，可得，即，
则，依题意，恒成立，
又，
当时，，当且仅当时取等号，
此时有，即，即，解得，
又当时，，
当且仅当时等号成立，而，即当时，也符合题意；
当时，，
当且仅当时取等号，而，
显然，此时恒成立，综上可得，实数a的取值范围为