数学九年级下册圆的基本性质教学演示ppt课件

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第2课时 垂径分弦新课导入等腰三角形平行四边形矩形 等腰三角形、平行四边形、矩形具有对称性菱形正方形 菱形、正方形具有对称性，那么圆是否也具有对称性呢？圆　用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　探 究 已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．求证：AE=EB， （或 ） 满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？证明：连结OA、OB.则OA＝OB，△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称.同理，如果点P是⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称，所以⊙O关于直线CD对称.当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，AE与BE重合，点A与点B重合， 与 重合， 与 重合. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理CD是直径，AB是弦，CD⊥AB①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧垂径定理 练习 如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，求圆心O到弦AB的距离解：连接OA，过圆心作OA⊥AB，垂足为E，则AE=EB= AB= ×6=3（cm）又∵OA=5cm ∴在RT△OEA中，OE= = =4(cm)答：圆心到弦AB的距离是4cm圆心到弦的距离叫做弦心距推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． NOABMCD为什么强调这里的弦不是直径？ 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论.注意两三垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形d + h = rr有哪些等量关系？例1 赵州桥建于1 400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥桥拱所在圆的半径(精确到0.1m).ACBDO37.47.218.7RR-7.2解：设赵洲桥主桥拱的半径为R. 则R2=18.72+(R-7.2)2 解得：R≈27.9 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.ACBDO37.47.218.7RR-7.2随堂练习1.下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴B2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( )A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD C.OD=DC D.AC=BCC⌒⌒3.在半径为4的⊙O中，有长为4cm的弦AB，计算：（1）点O与AB的距离；（2）∠AOB的度数.OABE解：（1）连接OA，过圆心作OA⊥AB，垂足为E，则AE=EB= AB= ×4=2（cm）又∵OA=4cm ∴在RT△OEA中，OE= = = (cm)答：圆心到弦AB的距离是 cm（2）连接OB∵OA=OB=AB=4cm∴△AOB为等边三角形∴ ∠AOB=60°4.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C,D两点.求证AC=BD.证明：过O作OE⊥AB，与AB交于点E由垂径定理得CE=DE= CD,AE=EB= ABAC=AE-CE,BD=BE-ED∵AE=BE,CE=ED∴AC=BDE5.判断正误：（1）垂直于弦的直径平分这条弦. （ ） （2）平分弦的直径垂直于这条弦. （ ）（3）弦的垂直平分线必过圆心. （ ）（4）平分弦所对弧的直径垂直于这条弦. （ ）√×√√6.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E. 求证：四边形ADOE是正方形.证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC.∴四边形ADOE是矩形.又∵OD垂直平分AB，OE垂直平分AC，AB＝AC，∴四边形ADOE是正方形.7.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半径.解：连接OC.∵OM平分CD,∴OM⊥CD且CM=MD= CD=2m.设半径为r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r= .即⊙O的半径为 m.8.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半径.解：设半径为r.∵OC⊥AB，∴AD=BD= AB=150m.在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，即(r-45)2+1502=r2, 解得r=272.5m.因此，这段弯路的半径为272.5m.课后小结垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答.1.从教材习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.课后作业