八年级数学上册试题 期末专项复习题--- 等腰三角形与等边三角形的性质与判定--人教版（含答案）

这是一份八年级数学上册试题 期末专项复习题--- 等腰三角形与等边三角形的性质与判定--人教版（含答案），共44页。
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=5．D为BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，线段BF的最大值是 ．
2．如图，∠BAC=30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP于点G，交AC于点F，Q为射线AB上一动点．若PQ的长的最小值为5，则AF的长为（ ）

A．10B．5C．7.5D．15
3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，以AD为腰作等腰△ADE，且AD=AE，∠BAC=∠DAE=30°，连接CE．则 ≌ ，若BD=2,CD=4，则△DCE的面积为 ．
4．如图1，△ABC中，BD平分∠ABC交AC边于点E，AF⊥BD于F，DF=1，在线段BD上取点H，使AH=AD．
(1)若∠ADB=60°，请求出AH的长度；
(2)若∠ADB=∠ABC，BF=3，则（1）中AH的长度是否发生变化，并说明理由；
(3)如图2，若AB=AC，∠ACD=12∠ABC，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于G，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由．
题型2 格点图中画等腰三角形
5．如图，在8×6的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．
(1)在图①中画出一个以BC为一边，面积为15的钝角三角形；
(2)在图②中画出一个以AB为腰的等腰三角形．
6．如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画图，使它的顶点都在小方格的顶点上．
(1)在图1中画一个以AB为边且面积为3的三角形．
(2)在图2中画一个以AB为边的等腰直角三角形．
7．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 个．
8．小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）开展探究．如图1，在一个5×5的方格中，已知格点A、B，确定点C的位置，使△ABC是格点等腰三角形．
小聪的作法是：以点A为圆心，以AB长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（B点除外）就是点C的位置．
(1)按照小聪的作法，能确定_______个点C，此时等腰三角形的底边是_______．（填线段）
(2)小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以AC作为△ABC的底边，那么小明的作法应该是：以点_______为圆心，以_______长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置．
(3)你还有其他确定点C位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来．（不写作法，保留作图痕迹）
(4)小聪、小明和你一共作出了_______个符合要求的点C．
题型3 找出图中的等腰三角形
9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ）
A．8个B．7个C．6个D．5个
10．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（ ）．
A．4个B．5个C．6个D．7个
11．如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形有 个
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F，图中等腰三角形的个数共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
题型4 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
13．如图，△ABC中，AB=AC，∠AAC．
如图1，通过定理“在三角形中，___________”可以证明∠C>∠B；
如图1，若D是BC边的中点，连接AD，求证：∠BAD∠ADC．求证：DC>DB．
22．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，如果两边不相等，它们所对的角之间的大小关系如何呢？小明同学在学习了三角形的相关知识后，他发现，可以通过证明三角形全等，结合三角形外角定理探究该问题．根据他的想法和思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在△ABC中，作∠BAC的平分线交BC于点D，在AB上截取AE=AC，连接DE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知：在△ABC中，AB>AC．求证：∠C>∠B．
证明：∵AD平分∠BAC，
∴ ① ，
在△DAE和△DAC中，
②∠DAE=∠DACAD=AD
∴△DAE≌△DACSAS
③ ，
∵∠AED>∠B，
∴∠C>∠B．
结论：在三角形中，如果两条边的长度不相等，那么它们所对的角也不相等，且大边所对的角较 ④ ．（填“大”或“小”）．
23．如图，在方格纸上的图形中，以下说法正确的是（ ）
A．∠AOD=∠BOCB．∠COD=∠BOC
C．∠BOC=∠AOED．∠AOD=∠COD
24．阅读与思考
小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________．
(2)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，CD>BC．请猜想∠ABC和∠ADC的关系，并证明你的结论．
题型7 最短路径问题
25．早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
26．综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
（1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点B′，连接AB′与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线AC−CB走的路程就是最短的．
小慧：你能详细解释原因吗？
小亮：如图③，在l上另取一点C′，连接AC'，BC'，B'C'，只要证明AC+CBEF，
∴BE+CF>EF，故④不正确．
综上，正确的有3个，
故选：B．
15．（1）解：∵∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形，
∵∠BAC=α=40°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=20°，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠BAD=∠CDE=20°，
∴∠ADE=∠ADC−∠CDE=90°−20°=70°．
故答案为：70；
（2）①∵∠BAC=α=70°，∠B=∠C，
∴∠B=∠C=12×(180°−∠BAC)=12×(180°−70°)=55°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠BAD=∠CDE，
∴∠ADE=∠B=55°；
②当DC=AB时，
∵∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴AC=DC，
∴∠DAE=∠ADC=12×(180°−∠C)=12×(180°−55°)=62.5°；
（3）若∠BAC=α=100°，
则∠B=∠C=12×(180°−∠BAC)=12×(180°−100°)=40°，
∴∠ADE=∠B=40°．
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED>∠C，
∴此时不符合题意；
②当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=12(180°−∠ADE)=12×(180°−40°)=70°，
∵∠BAC=100°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAE=100°−70°=30°，
∴∠BDA=180°−∠BAD−∠B=180°−30°−40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAE=100°−40°=60°，
∴∠BDA=180°−∠BAD−∠B=180°−60°−40°=80°．
综上所述，当∠BDA=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
16．（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AD⊥BC，BC=6cm，
∴D是BC的中点，
∴AD=CD=BD=3cm，
∵AC=AB，
∴∠CBA=45°，
∴∠DBG=135°，
∵AD=BD，
∴∠DAB=45°，
∴∠DAP=135°，
∵DF⊥PD，
∴∠APD=90°−∠AFD=∠BGD，
∴△ADP≌△BDGAAS，
∴AP=BG，
∵AP=tcm，t=3，
∴AP=BG=3cm；
（2）解：PF=EG，理由如下：
∵∠CDF+∠ADF=90°，∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠CDF=∠ADE，
∵CD=AD，∠C=∠DAE=45°，
∴△CDF≌△ADEASA，
∴CF=AE，
∵AB=AC，
∴AF=BE，
∵BG=AP，
∴FP=EG；
（3）解：存在点H使得△DCF与△FAH全等，理由如下：
连接EF，

∵△CDF≌△ADE，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠AED是钝角，
∴当△DCF与△FAH全等时，在△FAH中必有一个钝角，
∵H点在线段EF上，
∴只能是∠FHA是钝角，
∴AF=CD=AD=3cm，
在△ADF中，∠FAD=45°，
∴∠FDA=67.5°，
∴∠ADP=22.5°，
∵∠DAP=135°，
∴∠APD=22.5°，
∴AP=AD，
∴t=3．
题型5 等腰三角形的性质和判定
17．n
解：连接CF，
∵△ABC、△BEF是等边三角形，
∴∠ABC=∠EBF=60°，AB=BC，BE=BF，
∵∠ABE+∠EBD=60°，∠CBF+∠EBD=60°，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBFSAS，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠BCF=∠BAD=30°，BD=CD，
∴∠BCG=60°，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG、DG，则DF=FG，CD=CG， ∠DCF=∠GCF=30°，
∴∠BCG=60°，BD=CG，
∴当B、F、G三点共线，BF+DF的最小值为BG，
在△ABD和△BCG中，
AB=BC∠ABD=∠BCGBD=CG，
∴△ABD≌△BCGSAS，
∴BG=AD=n，
即BF+DF的最小值为n．
故答案为：n．
18．（1）解：①∵∠DAE=120°，∠D=26°，
∴∠E=180°−∠DAE−∠D=34°；
故答案为：34°；
②证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠E=34°，
∴∠EAC=∠ACB−∠E=26°，
∵∠D=26°，
∴∠D=∠EAC；
（2）解：PA+PD=PB+PE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
∴∠EBC+∠BEC=120°，
∵∠APB=120°，
∴∠EBC+∠ADB=120°，
∴∠BEC=∠ADB，
在△ABD和△BCE中，
∠ADB=∠BEC∠ABD=∠BCEAB=BC，
∴△ABD≌△BCEAAS，
∴AD=BE，即PA+PD=PB+PE；
（3）解：PA=PB+PC，理由如下：
延长BP到M，使PM=PC，连接CM，如图：
∵∠BPC=120°，
∴∠CPM=60°，
∵PM=PC，
∴△CPM是等边三角形，
∴PC=PM=CM，∠PCM=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠ACB=∠PCM，
∴∠ACB+∠BCP=∠PCM+∠BCP，即∠ACP=∠BCM，
在△ACP和△BCM中，
AC=BC∠ACP=∠BCMPC=CM，
∴△ACP≌△BCMSAS，
∴PA=BM，
∵BM=PB+PM=PB+PC，
∴PA=PB+PC．
19．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，∠ACD=180°−∠ACB=120°，
∵ CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE=12∠ACD=60°，
在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠ACEBD=CE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠AEC=∠ADB．
（2）证明：∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
即∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE为等边三角形．
20．（1）解：BE=EF，理由如下：
∵在等边△ABC中，E是AC边的中点，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=30°，AE=CE，
∵CF=AE，
∴CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵∠ACB=∠CFE+∠CEF=60°，
∴∠CEF=∠CFE=30°，
∴∠CBE=∠CFE，
∴BE=EF；
（2）解：不变；理由如下：
过点E作EG∥BC，交AB于点G，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，∠AEG=∠ACB=60°，
∴△AGE为等边三角形，
∴AG=GE=AE，
∵CF=AE，
∴EG=CF，
∵AB−AG=AC−AE，
∴BG=CE，
∵∠BGE=180°−∠AGE=120°，∠ECF=180°−∠ACB=120°，
∴∠BGE=∠ECF，
∴△BGE≌△ECFSAS，
∴∠GBE=∠CEF，
∵∠GBE+∠EBF=60°，∠CEF+∠CFE=∠ACB=60°，
∴∠CBE=∠CFE，
∴BE=EF；
（3）解：不变；理由如下：
延长AB，过点E作EG∥BC，交AB的延长线于点G，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，∠AEG=∠ACB=60°，∠CBE=∠GEB，
∴△AGE为等边三角形，
∴AG=GE=AE，
∵CF=AE，
∴EG=CF，
∵AG−AB=AE−AC，
∴BG=CE，
∵∠ECF=∠ACB=∠AGE=60°，
∴△BGE≌△ECFSAS，
∴∠GEB=∠CFE，
∵∠CBE=∠GEB，
∴∠CBE=∠CFE，
∴BE=EF．
题型6 等边三角形的判定和性质
21．证明：（1）如图1，通过定理“在三角形中，大边对大角”可以证明∠C>∠B，定理证明如下：
如图，作∠BAC的角平分线，交BC于点D，在AB上取一点E，使得AE=AC，连接DE，
∴∠DAE=∠DAC，
在△ADE和△ADC中，
AE=AC∠DAE=∠DACAD=AD，
∴△ADE≌△ADCSAS，
∴∠AED=∠C，
∵∠AED=∠B+∠BDE>∠B，
∴∠C>∠B．
由题意，画出图形如下：
延长AD至点E，使得ED=AD，连接CE，
∵D是BC边的中点，
∴CD=BD，
在△CDE和△BDA中，
ED=AD∠CDE=∠BDACD=BD，
∴△CDE≌△BDASAS，
∴CE=AB,∠E=∠BAD，
∵AB>AC，
∴CE>AC，
∴在△ACE中，∠E∠ADC，
∵AF=AD，
∴∠ADF=∠AFD，
∴∠AFC−∠AFD>∠ADC−∠ADF，即∠CFD>∠CDF，
∴在△CDF中，DC>FC，
∴DC>DB．
22．（1）如图即为所求，
（2）已知：在△ABC中，AB>AC．求证：∠C>∠B．
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD
在△DAE和△DAC中，
AE=AC∠DAE=∠DACAD=AD
∴△DAE≌△DACSAS
∴∠AED=∠C
∵∠AED>∠B，
∴∠C>∠B．
结论：在三角形中，如果两条边的长度不相等，那么它们所对的角也不相等，且大边所对的角较大．（填“大”或“小”）．
故答案为：∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠CAD，∠AED=∠C，大
23．A
解：如图，连接AD,BC，
在△AOD和△COB中，
AD=CB=3∠ADO=∠CBO=90°OD=OB=4，
∴△AOD≌△COBSAS，
∴∠AOD=∠BOC，则选项A正确；
由图可知，OD∥BC，
∴∠COD=∠OCB，
在△COB中，OB>BC，
∴∠OCB>∠BOC，
∴∠COD>∠BOC，则选项B错误；
由图可知，OD⊥BE，
∴∠DOE=∠DOB=90°，
∴∠AOE+∠AOD=∠COD+∠BOC=90°，
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠AOE=∠COD，
又∵∠COD>∠BOC，
∴∠AOE>∠BOC，则选项C错误；
∵∠AOD=∠BOC，∠COD>∠BOC，
∴∠COD>∠AOD，则选项D错误；
故选：A．
24．（1）解：如图2，由于AC>AB，故在AC边上截取AD=AB，连接BD．
∴AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB，（等边对等角）
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB=∠C+∠DBC，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠ADB>∠C，
∴∠ABD>∠C．
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC>∠ABD，
∴∠ABC>∠C．
故答案为：等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）证明：如图，连接BD，
∵AB=AD，
∴∠1=∠2，
由于CD>BC，
∴在CD边上截取CE=CB，连接BE．
∴∠5=∠6，
∵∠5是△BED的外角，
∴∠5=∠3+∠4，
∴∠5>∠3，
∴∠6>∠3．
∴∠6+∠4>∠3，
∴∠6+∠4+∠2>∠3+∠1，
∴∠ABC>∠ADC．
题型7 最短路径问题
25．解：如下图，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
证明：如下图，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB=CB′，C′B=C′B′，
∴AC+CB=AC+B'C=AB'．
在△AC′B′中，∵AB′