八年级数学上册试题 期末复习题---等腰三角形与等边三角形的性质与判定--人教版（含答案）

这是一份八年级数学上册试题 期末复习题---等腰三角形与等边三角形的性质与判定--人教版（含答案），共39页。

题型1含30度角的直角三角形
1.如图，∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上的一点，PM⊥OB于点M，PN∥OB交OA于点N．若PM=3，则ON的长是 ．
2.将两块全等的含30°的直角三角板如图放置，∠ACB=∠ACD=90°，∠BAC=30°，AD=16，则BD的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
3.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，∠ABD=30°，AC=AE，且满足∠CAE=∠ABD，若S△ABC=100，则AB= ．
题型2 格点图中画等腰三角形
4.如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
5.如图是由小正方形组成的7×7的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A、B、C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．
(1)在图中，画出△ABC的中线BD；
(2)在图中，画△ABC的高CE；
(3)在图中，在CE上找一点G，使得∠ABG=45°；
6.如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，M，N均落在格点上，请按下列要求作图．
(1)在图1中的格点上确定一点C，画一个以AB为腰的等腰Rt△ABC；
(2)在图2中的格线MN上确定一点P，使PA+PB最小．
题型3 找出图中的等腰三角形
7.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点．
(1)求证：EF⊥AC；
(2)若∠ADC=45°，请判断EF与AC的数量关系，并说明理由．
8.如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，且DE∥AB；找出图形中的等腰三角形，并加以证明．
9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ）
A．8个B．7个C．6个D．5个
题型4 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
10.如图，小明将一根笔直的铁丝AB放置在数轴上，点A，B对应的数分别为−5，5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成等腰△CDE，若点C对应的数为−2，则点D在数轴上对应的数可能为多少？
甲认为答案是1；
乙认为甲的答案不全，还可能是2；
丙认为除了甲、乙的答案外，还可能是1.5；
丁认为除了甲、乙、丙的答案以外还有其他可能．
四个同学谁的说法正确？（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
11.如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=3，OB=4，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（ ）
A．3个B．4个C．7个D．8个
12.如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作 个．
题型5 等腰三角形的性质和判定
13.已知直线l上有B，C两点，以BC为底边作等腰△ABC，点D是直线l上不与B，C重合的一点，连接AD，以AD为边在AD的右侧作等腰△ADE，使∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，若点D在线段BC上，且∠BAC=60°．
①求证：△ABD≌△ACE；
②求∠BCE的度数；
(2)若点D在直线BC上，且∠BAC=α，则∠BCE=______（用含α的式子表示）．
14.如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG=3，ED=8，则DB+EC的值为 ．
15.△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90∘，点D为边AB上一点，以CD为边作等腰直角三角形DCE，且∠DCE=90°，连接BE．
(1)求证：△ADC≌△BEC；
(2)若AD=4，BD=10，求△BDE的面积．
题型6 等边三角形的判定和性质
16.如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A2025B2025A2026的边长为 ．
17.如图，D是等边三角形ABC外部一点，连接AD，CD，且AD=CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
(1)求证：△EFC是等边三角形；
(2)连接BD，若BC=10，CF=4，求DE的长．
18.完成下列各题：
(1)问题的提出：如图（1），在△ABC中，AB=AC，请你运用所学的全等知识，证明：∠B=∠C．
(2)知识的运用：如图（2），已知△ABC是等边三角形，若D是BC边的中点，点P在射线AC上，若△PAD为轴对称图形，则∠APD的度数为 ．
(3)拓展延伸：如图（3），已知△ABC是等边三角形，若D在BC边上，∠ADG=60°，DG与∠ACB的外角平分线交于点G，GH⊥AC于点H，求AH、AC、CD之间的关系．
题型7 大（小）边对大(小）角定理
19.综合与实践：
我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等，那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？
【观察猜想】（1）在△ABC中，若AB>AC， 猜想∠C与∠B的大小关系；
【操作证明】（2）如图1 ，某同学发现在△ABC中，若AB>AC，可将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在边AB上的 E点，折线交BC于点 D，连接ED，发现∠AED=∠B+∠EDB，……， 请用上述思路证明（1）中猜想的结论；
【操作发现】（3）同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角，大角对大边”，发现存在图1中的四边形AEDC，满足AE=AC，DE=DC．查阅资料，如图2有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．如图3，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，点 E 、F 分别是边AB、BC上的动点．当四边形AEFC为“筝形”时，请直接写出∠BFE的度数．
20.如图，在△ABC中，点D在边BC上，下面两个问题中请你选择一个加以证明(写出推理过程)．
(1)求证：AC+CB>AD+DB；
(2)若∠C=100°， 试比较AD与AB的大小．
解：我选择的是 (填序号)
证明：
21.（1）如图1，在△ABC中，已知AB>AC．
如图1，通过定理“在三角形中，___________”可以证明∠C>∠B；
如图1，若D是BC边的中点，连接AD，求证：∠BAD∠ADC．求证：DC>DB．
题型8 最短路径问题
22.如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？
小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB'与直线l交于点P，点P就是饮马的位置．
下面是小明根据这一方法写出的证明过程：
证明：如图③，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点P′，在直线l上任取一点P（与点P′不重合），连接BP'
点B与点B′关于直线l对称
∴PB=________，P'B=_________；
∴AP+PB=AP+PB'≥
当A，P，B′三点共线，即点P与点P′重合时，AP+BP的值最小，最小值为AB′的长，即点P′就是饮马的位置．
(1)解决问题：补全证明过程；
(2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸CD上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法）
23.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上．
(1)请你画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)请你在x轴上找到一点P，使得PA+PC最小，并写出点P的坐标为________．
(3)连接OC，以OC为边作等腰直角△OCD，且∠OCD=90°，直接写出点D的坐标为________．
24.如图，在8×8的正方形网格中，△ABC的顶点都在网格线的交点上．
(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′．
(2)请在直线l上找一点F，使得BF+CF的值最小．
题型9 综合问题
25.如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．
(1)求证：AD=AF；
(2)若∠C=60°，BD=4，EC=6，求AF的长．
26.如图，在△ABC中，AB=AC，D在边AC上，且BD=DA=BC．
(1)如图1，填空∠A=_______°，∠C=_______°．
(2)如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC于点N、E．
①求证：△BNE是等腰三角形；
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
27.如图，在△ABC中，AB=AC，点B关于直线AC的对称点为D，分别连接BD、AD，点C关于直线AB的对称点为E，连接CE交BD于点F，连接AE，连接AF并延长，交BC于点G．
(1)根据题意补全图形；
(2)求证：∠EAG=∠DAG．
28.已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO=AB，BO与x轴正方向的夹角为150°．
(1)∠AOB=________，△ABO为________三角形；
(2)如图1，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，AC、DB交于E，求证：AE=BE+CE；
(3)如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AB之间有何数量关系，试证明你的结论．
29.在平面直角坐标系中，A0,4，O0,0，B4,0．动点Mm,0，连接AM，过O点作OC⊥AM，垂足为点C，过B点作BN∥y轴，直线OC与直线BN相交于点N，∠AMO=n°，
(1)如图1，若0AD+DB，
∴AC+CB>AD+DB；
（2）解：∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB>∠C=100°，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠C=100°=180°−∠B−∠BAC，
∴∠B=80°−∠BAC∠B，
∴在△ABD中，AB>AD．
21.证明：（1）如图1，通过定理“在三角形中，大边对大角”可以证明∠C>∠B，定理证明如下：
如图，作∠BAC的角平分线，交BC于点D，在AB上取一点E，使得AE=AC，连接DE，
∴∠DAE=∠DAC，
在△ADE和△ADC中，
AE=AC∠DAE=∠DACAD=AD，
∴△ADE≌△ADCSAS，
∴∠AED=∠C，
∵∠AED=∠B+∠BDE>∠B，
∴∠C>∠B．
由题意，画出图形如下：
延长AD至点E，使得ED=AD，连接CE，
∵D是BC边的中点，
∴CD=BD，
在△CDE和△BDA中，
ED=AD∠CDE=∠BDACD=BD，
∴△CDE≌△BDASAS，
∴CE=AB,∠E=∠BAD，
∵AB>AC，
∴CE>AC，
∴在△ACE中，∠E∠ADC，
∵AF=AD，
∴∠ADF=∠AFD，
∴∠AFC−∠AFD>∠ADC−∠ADF，即∠CFD>∠CDF，
∴在△CDF中，DC>FC，
∴DC>DB．
题型8 最短路径问题
22.（1）解：如图③，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点P'，连接B'P'，BP'，
∴PB=PB'，P'B=P'B'，
∴AP+PB=AP+PB'≥AB'，
∴当A，P，B'三点共线，即点P与点P'重合时，AP+BP的值最小，最小值为AB'的长，即点P'就是饮马的位置，
故答案为：PB'，P'B'，AB'；
（2）解：如图，作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交CD于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短．
23.（1）解：如图所示，△A1B1C1为所求．
（2）解：如图所示，点P即为所求，点P的坐标2,0，
故答案为：2,0．
（3）解：点D的坐标为2,4或4,−2，
故答案为：2,4或4,−2．
24.（1）解：如图：△A'B'C'即为所求．
（2）解：如图，点F即所求．
题型9 综合问题
25.（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90°，
∴∠F=∠BDE，
∵∠BDE=∠FDA，
∴∠F=∠FDA，
∴AD=AF；
（2）解：∵AB=AC，∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=BC，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∴∠BDE=90°−60°=30°，
∵BD=4，EC=6，
∴BE=12BD=12×4=2，
∴AB=BC=BE+EC=2+6=8，
∴AD=AB−BD=8−4=4，
由（1）可知，AD=AF，
∴AF=4．
26.（1）解：∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠A=∠DBC，
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA，
∴∠A=∠DBA=∠DBC=12∠ABC=12∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°，
∴∠A=36°，∠C=72°；
故答案为：36，72；
（2）①∵∠A=∠ABD=36°，
∠B=∠C=72°，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵BH⊥EN，
∴∠BHN=∠EHB=90°，
在△BNH与△BEH中，
∠NBH=∠EBHBH=BH∠BHE=∠BHN，
∴△BNH≌△BEH，
∴BN=BE，
∴△BNE是等腰三角形；
②CD=AN+CE，
理由：由①知，BN=BE，
∵AB=AC，
∴AN=AB−BN=AC−BE，
∵CE=BE−BC，
∵CD=AC−AD=AC−BD=AC−BC，
∴CD=AN+CE．
27.（1）解：补全图形如图所示：
（2）证明：∵点B关于直线AC的对称点为D，点C关于直线AB的对称点为E，
∴∠EAB=∠BAC=∠DAC，AB⊥CE，AC⊥BD，AE=AC，AB=AD，
∴∠EAC=∠DAB，
∵AB=AC，
∴AE=AD，
在△AEC与△ADB中，
AE=AD∠EAC=∠DABAC=AB，
∴△AEC≌△ADBSAS，
∴∠ACE=∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∴AG⊥BC，
∴∠BAG=∠CAG，
∴∠EAB+∠BAG=∠DAC+∠CAG，
∴∠EAG=∠DAG．
28.（1）解：∵OB与x轴正半轴夹角为150°，
∴∠AOB=150°−90°=60°，
∵AO=AB，
∴△AOB为等边三角形；
故答案为：60°；等边；
（2）解：如图所示：在AC上截取AM=EC，可得AM+EM=CE+EM，即AE=CM，
∵△AOB为等边三角形，△BOC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=90°，∠ABO=60°，
∵D为CO的中点，
∴BD平分∠OBC，即∠CBD=∠OBD=45°，
∴∠ABD=105°，∠ABC=150°，
∴∠BAC=∠BCA=15°，
∴∠AEB=60°，
在△ABE和△CBM中，
AB=CB∠BAE=∠BCMAE=CM，
∴△ABE≌△CBMSAS，
∴BM=BE，
∴△BEM为等边三角形，
∴BE=EM，
∴AE=AM+EM=CE+BE；
（3）解：AP=2AB，理由为：
∵△AOB与△BGE都为等边三角形，
∴BE=BG，AB=OB，∠EBG=∠OBA=60°，
∴∠EBG+∠EBA=∠OBA+∠EBA，即∠ABG=∠OBE，
在△ABG和△OBE中，
AB=OB∠ABG=∠OBEBE=BG，
∴△ABG≌△OBE，
∴∠BAG=∠BOE=60°，
∴∠GAO=∠GAB+∠BAO=120°，
∵∠GAO为△AOP的外角，且∠AOP=90°，
∴∠APO=30°，
在Rt△AOP中，∠APO=30°，
则AP=2AO=2AB．
29.（1）证明：∵A0,4，O0,0，B4,0，
∴OA=OB=4，
∵∠AOM=∠OBN=∠ACO=90°，
∴∠OAM=90°−∠AOC=∠BON，
∵OA=OB=4，
∴△OAM≌△BON，
∴BN=OM，∠N=∠AMO，
∵Mm,0，∠AMO=n°，
∴∠N=n°，且BN=m；
（2）解：①∵m=32，
∴点M32,0，OM=32，
作QH⊥PM于点H，
4−m=4−32=52，
∴点P52,0，BP=4−52=32，
∴BP=OM=32，
由（1）得△OAM≌△BON，
∴∠AMO=∠N，BN=OM=32，
∴BN=BP，
∵A0,4，∠AOB=90°，B4,0，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠PBD=45°，
∵BN∥y轴，
∴∠AOB=∠OBN=90°，
∴∠PBN=90°，
∴∠NBD=∠PBD=45°，
∵BD=BD，
∴△NBD≌△PBDSAS，
∴∠N=∠BPD，
∴∠AMO=∠BPD，
∴∠QMP=∠QPM，
∴QM=QP，
∵QH⊥PM，
∴HM=HP，
∴OH=OM+HM=12OB=2，
∴点Q的横坐标为2；
②当−4