八年级数学上册试题 期末专项复习题--- 轴对称的性质与垂直平分线--人教版（含答案）

这是一份八年级数学上册试题 期末专项复习题--- 轴对称的性质与垂直平分线--人教版（含答案），共41页。试卷主要包含了在这样的条件下，求证，学科融合，综合与实践，尺规作图等内容，欢迎下载使用。

题型1 台球桌面上的轴对称问题
1．如图，汾河岸边有A，B两个住宅小区，恒富然气公司想在汾河边L上修建一个天然气站，问天然气站位置选在什么地方时，才能使管道铺设用材最少？（写出画法，并保留痕迹）
2．如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与AB边的碰撞次数是 ．
3．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容
如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，∠2+∠3=90°,∠1=∠2．
（1）若∠l=60°，则∠3=_____°；
（2）∠ADE的余角是_________；
【学科融合】
物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectinlaw）．
【数学推理】
（3）如图1，有两块平面镜OM,ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1=∠2,∠3=∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．
【尝试探究】
（4）两块平面镜OM,ON，且∠MON=α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC=_________；（用含有字母α的式子表示）
题型2 轴对称中的光线反射问题
4．光线镜面反射时，入射光线、反射光线、法线（经过入射点O并垂直于反射面的直线）在同一平面内并且入射光线、反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角．如图①，CD为一镜面，AO为入射光线、入射点为O，ON为法线，OB为反射光线，此时∠AON=∠BON．
(1)如图①，求证：∠AOC=∠BOD；
(2)两平面镜OP，OQ相交于点O，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点D．
①如图②，若两束光线AB，CD相交于点E，请探究∠POQ与∠BEC之间的数量关系；
②如图③，若两束光线AB，CD所在的直线相交于点E，∠POQ与∠BEC之间满足的等量关系是______．
5．学科融合：物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律．
问题解决：
（1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜MN的夹角∠1=50°，那么入射光线经过两次反射后，两反射光线形成的夹角，∠2= °；
（2）如图3，当两个平面镜OM，ON的夹角∠MON是多少度时，可以使任何射到平面镜ON上的入射光线AB，经过平面镜ON，OM两次反射后，得到AB∥CD．请说明理由；
尝试探究：
（3）人们发现了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB=78°．若一入射光线OD（点D是入射光线与反射光罩的交点）经反射光罩后沿DE射出，且∠ODE=36°，请求出∠AOD的度数．
6．综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，∠1=∠2）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动．
【生活案例】
（1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子AB，CD是平行放置的，光线m经过镜子AB，CD两次反射后得到光线n．则m与n的位置关系是______．
【变式思考】
（2）如图3，调整镜子CD，光线m经过镜子AB，CD两次反射后得到光线n．若m∥n，求两面镜子夹角α的度数．
【拓展运用】
调整图3中的镜子使A，C重合，并改变它们的角度，光线m经过镜子AB，CD两次反射后得到光线n．若m⊥n，求两面镜子夹角β的度数．
题型3 折叠问题
7．将Rt△ABC的短直角边BC对折到长直角边AC上，使点B与边AC上点E重合，折痕CD，且有AE=DE，以下结论正确的是（ ）
①A=30∘；②CD⊥AB；③CD=CB；④点D到直角边BC、AC的距离相等．
A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④
8．如图，△ABC沿EF折叠使点A落在点A′处，BP、CP分别是∠ABD、∠ACD平分线，若∠P=30°，∠A′EB=20°，则∠A′FC= ．
9．如图所示的是纸飞机的示意图，在折叠的过程中，使得△ABC和△AB′C′能够重合，△APC和△APC′重合，则下列结论：①PC=PC′，②∠BAC'=∠B'AC，③∠ABC=∠ACP，④S四边形ABCP=S四边形AB′C′P．其中正确的有 （填序号）．
题型4 线段垂直平分线的性质
10．尺规作图
(1)如图①，在7×6的网格中，△ABC的顶点均在格点上，借助网格特征，只利用直尺画出直线l，使得直线l垂直平分AB．
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠B=90°，求作点P，使点P在△ABC内部，且PB=PC，∠PBC=45°(不写作法，保留作图痕迹)．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)用尺规完成基本作图：作线段BC的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，在射线ED上截取线段DF（点F在BC的下方），使得DF=BC，连接BF（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
(2)根据（1）中作图，若AC=12BC，证明：AB⊥BF．
证明：∵ EF垂直平分BC，
∴①________=12BC，∠BDF=90°，
∵AC=12BC，∠C=90°，
∴AC=BD，∠C=∠BDF．
在△ABC和△BFD中，
AC=BD∠C=∠BDF②_______，
∴△ABC≌△BFDSAS．
∴③________．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠FBD+∠ABC=90°，
即④________．
∴AB⊥BF．
12．已知直线l及其两侧两点A，B，如图．

(1)在直线l上求一点P，使PA=PB；
(2)在直线l上求一点Q，使直线l平分∠AQB．
(以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法)
题型5 线段垂直平分线的判定
13．课本再现：
现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程：
已知：如图，线段AB，PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明：
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．
(1)求证：△CDE≌△FAE；
(2)连接BE，当BE⊥CF时，CD=3，AB=2，求BC的长．
15．（1）如图，在△ABC中，DE,EF分别是边AB,AC的垂直平分线，AE=3,BC=5，则△BCE的周长是________．
（2）如图，AB=4,PA=PB,QA=QB，连接P,Q交AB于点C，则AC=________．
题型6 作已知线段的垂直平分线
16．为了迎接九十校庆，学校要修建一处公共设施，使它到校史馆A、办公楼B、体育馆C的距离相等，若A、B、C的位置如图①所示，请你在图中确定这处公共设施（用点P表示）的位置．（不写作法，仅保留作图痕迹）
17．如图，在△ABC中，已知AB=3，AC=5，完成以下问题：
(1)利用尺规作图，作出△ABC的中线AM；（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)过点M与BC垂直的直线MD交AC于点 D，求△ABD的周长．
18．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)如图1，在边BC找一点P，使得点P到边AB、AC距离相等；
(2)如图2，找一点Q，使得点Q到△ABC的三个顶点距离相等．
题型7 作垂线（尺规作图）
19．如图，已知△ABC，∠A=60°，∠C=45°．
(1)在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°．
(2)在BP上求作一点M，使得AM平分∠BAC．（保留作图痕迹，不写作法）
20．在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：
（一）已知：△ABO为锐角三角形，求作：∠AOB的平分线．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③画射线OC，则射线OC即为所求．
（1）如图1，射线OC就是∠AOB的角平分线的依据是______；
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
（2）课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？
下面是两位同学给出的两种方法：
①甲同学：用三角板按下面方法画角平分线：如图2，在已知∠AOB的边OA，OB上分别取OC=OD，再分别过点C，D作OA，OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB．
请你帮这位同学证明：OP平分∠AOB；
②乙同学：用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图3，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点E，F，连接CF，DE交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB．你认为同学乙的这种作角平分线的方法是否正确：______（填“正确”或“错误”）．
③丙同学：如图4，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD，再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF；CD与EF相交于点P，连接OP，则OP是∠AOB的角平分线．你认为丙同学的这种作角平分线的依据是：______
（3）你还有什么作角平分线的方法（与以上作法原理不一样）？请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
（二）请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．写出必要的文字说明
如图，在AB边上找一点E，使点E到点B的距离等于点E到AO边的距离．
21．如图，已知点A．点B以及直线l．
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA=PB．(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
(2)在（1）中所作的图中，若AM⊥l，BN⊥l，垂足分别是M，N，且AM=PN．
①求证：∠MAP=∠NPB．
②求∠APB的度数．
题型8 对称线段问题（轴对称综合题)
22．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A．B．
C．D．
23．已知△ABC的各顶点坐标分别为A−6,5，B−3,2，C0,1，
(1)画出△ABC；
(2)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1坐标；
(3)请在x轴上找到一个点P，使得P点到点B、点A的距离的和最短．
24． 如图，已知△ABC 的三个顶点分别为A2,3,B3,1,C−2,−2．
(1)请在图中作出△ABC关于直线x=−1 的轴对称图形△DEF，A，B，C的对应点分别是 D，E，F，并直接写出 D，E，F的坐标；
(2)求四边形ABED的面积；
(3)若点 P 在 x 轴上，且 PA+PD的值最小，请直接写出点 P 的坐标．
题型9 面积问题（轴对称综合题)
25．如图，已知∠AOB=45°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，连接P1P2，分别交OA，OB于点E，F，连接PE，PF．若P1E=a，P2F=b，则△PEF的面积为 ．(用含a，b的代数式表示)
26．如图所示．
(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标．
(2)求△A1B1C1的面积．
27．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(−1,5)．
(1)若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，并写出B1的坐标；
(2)求出△ABC的面积；
(3)在y轴上找一点P，使得PA+PB的值最小(保留作图痕迹，不写作法)．
题型10 角度问题（轴对称综合题)
28．综合与实践
【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程：
如图③，在直线l上另取任意一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．
∵点B与点B′关于直线l对称，
∴直线l是BB′的垂直平分线．
∴CB=________，C′B=________，
∴AC+CB=AC+ = ．
∵在△AC′B′中，AB′