四川省南充市南部县2024_2025学年高二数学下学期第一次月考试题含解析

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这是一份四川省南充市南部县2024_2025学年高二数学下学期第一次月考试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟试卷满分：150 分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知等差数列中首项，公差，则（）
A 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列通项公式直接求解即可.
【详解】因为等差数列的首项，公差，
所以 .
故选：D.
2. 记等差数列的前项和为，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的性质和求和公式可求得的值.
【详解】因为等差数列的前项和为，且，
则 .
故选：C.
3. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（）
A. 7 B. 9 C. 81 D. 3
【答案】D
【解析】
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【分析】根据等比数列的性质以及对数的运算性质可求出结果.
【详解】依题意可得，
又，所以，
所以 .
故选：D
4. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均变化率和瞬时变化率的计算公式求解可得.
【详解】函数在区间上的平均变化率为，
在时的瞬时变化率为
，
所以．
故选：C
5. 设等比数列的公比为，前项和为，则“ ”是“ 为递增数列”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充要条件的定义及等比数列的和与项的关系即可判断.
【详解】若，，则，则为递减数列．
若为递增数列，则，，．
所以“ ”是“ 为递增数列”的必要不充分条件．
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故选：B．
6. 已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】先判断是等差数列，由题设条件求出首项和公差，代入的表达式，配方化简,即可求出取
得最小值时的值.
【详解】由可知，数列是等差数列，公差，
由，解得．
则
故当取得最小值时，的值是 6．
故选：A．
7. 已知数列满足，则（）
A 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用时，得到，代入，求出答案.
【详解】由题意可得 ①，
所以时， ②，
①-②得，所以，
所以 .
故选：C.
8. 已知函数，则
（）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用倒序相加法，可得答案.
【详解】，，
故选：B.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的 4 个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知等差数列{ }的前 n 项和，则下列选项正确的是（）
A. B.
C. 当取得最大值时 D. 当取得最大值时
【答案】ABC
【解析】
【分析】A 选项，根据等差数列的求和公式列方程得到；B 选项，根据等差数列的通项公式判断；
CD 选项，根据等差数列的求和公式和二次函数单调性判断.
【详解】设公差为，则，
所以，解得，故 A 正确；
，故 B 正确；
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，所以当时，最大，故 C 正确，D 错.
故选：ABC.
10. 已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据导数的几何意义可得，记，，作直线 AB，根据两点
坐标求出直线 AB 的斜率，结合图形即可得出 .
【详解】由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并
且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；
记，，作直线 AB，则直线 AB 的斜率，由函数
图象，可知，
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即 .
故选：AB
11. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点，，，…，均在 x 轴正半轴上，点，，，…，
均在 y 轴正半轴上.已知，，，…，，，
，四边形，，，…，均为长
方形.当时，记为第个倒“L”形，则（）
A. 点的纵坐标为
B. 点，，，…，均在曲线上
C. 长方形的面积为
D. 第 10 个倒“L”形的面积为 121
【答案】BCD
【解析】
【分析】先求得的坐标，然后求长方形的面积，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题意，A 错误，
所以，所以 B 正确.
，所以 C 正确.
第 10 个倒“L”形的面积为，所以 D 正确.
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故选：BCD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 曲线在点处的切线方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求解.
【详解】解：由题意得：，，，
所以切线方程为，即．
故答案为：．
13. 数列满足，（），则数列的通项公式是 ________.
【答案】
【解析】
【分析】构造等比数列即可得解.
【详解】因为，所以数列是以为首项，3 为公比的等比数列，
所以，即 .
故答案为： .
14. 1202 年，意大利数学家斐波那契（Lenard Fibnacci，约 1170-约 1250）以兔子繁殖问题，引入“兔子
数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，即，
．人们在自然界中发现了许多斐波那契数列的例子．斐波那契数列在现代物
理“准晶体结构”、化学等领域也有着广泛的应用．若此数列被 2 除后的余数构成一个新数列，则数
列的前 2025 项的和为________．
【答案】1350
【解析】
【分析】由题意可得出新数列，判断出周期性，即可求得答案.
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【详解】由题意知数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，
被 2 除后的余数构成一个新数列：1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，⋯，
即数列是以 3 为周期的数列，一个周期内的三项和为 2，
因为，故数列的前 2025 项的和为，
故答案为：1350
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知为等差数列的前项和，且
（1）求的通项公式：
（2）若是等比数列，且，求的前项和
【答案】（1）；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的前项和公式，求公差，即可求解通项公式；
（2）首先求等比数列的基本量，再代入求和公式.
【小问 1 详解】
设等差数列的公差为，
则，得，
所以；
【小问 2 详解】
设等比数列的首项为，公比为，
所以，所以，，
所以，
所以 .
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16. 已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列.
（1）求的通项公式.
（2）设，求数列前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列定义构造方程解得公比，可得其通项公式；
（2）代入得到的通项公式，利用分组求和计算可得结果.
【小问 1 详解】
因为数列是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列，
所以 .
设数列的公比为，则，
解得，或（舍），
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）知，
因为，所以，
设数列的前项和为，
则
，
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即数列的前项和为 .
17. （1）已知函数的导函数为，且，求；
（2）曲线与存在过原点的公切线，求 b 的值.
【答案】（1）（2）2
【解析】
【分析】（1）先求导函数，接着令求出得到函数解析式，从而得到；
（2）设上的切点为利用导数几何意义和点斜式得到切线方程，代入原点求出，切线斜
率为，同理设的切点可求出 b 的值.
【详解】（1），两边求导得，
当时，，解得，
所以，
所以
（2）设上的切点为，，
故切线的斜率，切线方程为，
因为过原点，所以，解得，
切线斜率为；
，设切点为，
则，故，
切线方程又过原点，代入可得
解得 .
18. 已知数列满足， .
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（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列前项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）采用累乘法直接求解即可；
（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得结果.
【小问 1 详解】
由题意知：当时，，
；
当时，满足；
综上所述： .
【小问 2 详解】
由（1）知：，
.
19. 已知数列的前 n 项和为．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设的前 n 项和为；
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①求；
②若对任意的正整数 n，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据与的关系化简求证即可；
（2）①先根据等差数列的定义得到，进而得到，根据错位相减法计算即可；
②化简不等式为，令，结合数列的单调性进行求解即可.
【小问 1 详解】
因为，所以，
所以，所以，所以，
所以是公差为 1 的等差数列；
【小问 2 详解】
①因为，所以，所以，
，
，
，
两式相减得，
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，
．
② 对任意的恒成立，
，则对任意恒成立，
令，
为递减数列，则当时，．
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