四川省巴中市重点高中2025-2026学年高二上学期1月月考试卷 数学(含答案）

这是一份四川省巴中市重点高中2025-2026学年高二上学期1月月考试卷 数学(含答案），共13页。试卷主要包含了抛物线的准线方程为，样本数据，下列给出的命题中正确的有等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ）
A.-3 B.3 C. D.
2.抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.样本数据：的第70百分位数是（ ）
A.16 B.19 C.20 D.22
4.某城市一年的空气质量状况如下表所示：
其中当污染指数时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染.该城市一年空气质量达到优或良的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（ ）
A.5 B.6 C.9 D.10
6.已知正四面体的所有棱长都等于分别是的中点.则（ ）
A.2 B. C.3 D.
7.若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为（ ）
A.4 B.2 C. D.
8.已知双曲线的左､右焦点分别为，点为在第一象限上的一点，为直角三角形，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列给出的命题中正确的有（ ）
A.已知两个向量，且，则
B.三棱锥中，点为平面内的一点，且，则
C.已知，则在上的投影向量坐标为
D.若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
10.已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A.以为直径的圆与准线相切
B.若点，则的最小值为5
C.若若直线的倾斜角为，则
D.点为线段中点，则点的坐标可以是
11.如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，点是其侧面上的动点（含边界），下列说法正确的是（ ）
A.当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
B.当时，三棱锥的体积为定值
C.当平面时，点的轨迹长度为
D.过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知直线，且，则__________.
13.抛物线上一点与焦点的距离等于5，且在第一象限内，则的坐标是__________.
14.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15.为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组､第2组､第3组､第4组第5组.
（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；
（2）若在抽出的第2组､第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取5名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这5名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
16.已知双曲线为双曲线的左､右焦点.
（1）求该双曲线的顶点坐标､焦点坐标､离心率与渐近线方程；
（2）设点是上第一象限内的点，，求的值.
17.已知圆过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点且与圆相切，求的方程.
18.如图，等腰梯形中，，且于，将沿AE翻折至，使得.
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值.
19.已知椭圆的两个焦点，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为.
（i）求证：为定值；
（ii）求面积的最大值.
11.【详解】对于，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，当M运动到点或A点时，异面直线与所成角最小，当M运动到线段中点时，异面直线与所成角最大，故A正确，
对于B，如图，连接，
设，则，
而，因为，所以，
得到，解得，故，
在正方体中，由勾股定理得，
则是等边三角形，得到，
故，
且，
设面的法向量为，则，
得到，而，则，
令，解得，故，
设点到面的距离为，
则由点到平面的距离公式得，
故，故B错误，
对于C，如图，以为原点建立空间直角坐标系，连接
，
因为正方体的棱长为2，
所以，设
因为分别是棱的中点，所以，
则，
设面的法向量为，则，得到，
而，得到，
令，解得，故，
因为平面，所以，
得到，即，
化简得，则点的轨迹是直线，在面内，
由题意得，当时，，
当时，，得到轨迹是点和点构成的线段，由两点间距离公式得，
即此时点的轨迹长度为，故C正确，
对于D，由正方体性质得外接球的球心就是正方体的中心，
如图，我们把球心记为，且连接，
由外接球性质得，外接球半径为
，
由两点间距离公式得，
而截面一定是圆，且设圆的半径为，由勾股定理得，
得到截面面积为，即截面面积的最小值为，故D错误.
故选：AC
二､填空题
12.2； 13.； 14.
14.解：法一：设设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，双曲线的实半轴为，虚半轴长，，半焦距为，
由焦点三角形面积公式得，所以
由柯西不等式得
，故答案为：
法二：设随圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设，
椭圆和双曲线的离心率分别为
，则∴由余弦定理可得，①
在椭圆中，①化简为②，
在双曲线中，①化简为③，
，
由柯西不等式得
，故答案为：
三､解答题
15.解：（1）根据频率分布直方图得，
解得；
∴年龄在的频率为，
∴估计这500名志愿者中年龄在的人数为；
（2）∵第2组､第4组和第5组的频率之比为，
则第2组､第4组分别抽取的人数为2，3，
记第2组的2人为第2组的2人为，第4组的3人为.设“抽取的2名志愿者中恰好来自同一组”为事件
从这5名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人，样本空间为，则
，则
则抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率为.
16.解：（1）由题意得，
可得，
故顶点坐标为，
又为双曲线的左､右焦点，
故焦点坐标，
离心率为，
渐近线为；
（2）设
∵点在第一象限，，且，
又在双曲线上，则，
解得，
.
17.解：（1）法一：设圆心，半径为，
根据，可得①
根据点在直线上，可得②，
由①②组成方程组，解得.
所以圆的方程为；
法二：的中点为，则的中垂线斜率为-1
的中垂线方程为，即
由得，即圆心
所以半径
所以圆的方程为；
（2）①当直线过点且与轴垂直时，
直线方程为，此时圆心到直线的距离，
结合圆的半径，可知，直线与圆相切，符合题意；
②当直线与轴不垂直时，设的方程为，即.
根据直线与圆相切，可得圆心到的距离，即，解得，
所以直线的方程为，即.
综上所述，经过点且与圆相切的直线方程为或..
18.解：（1），
又沿AE翻折至，即，
平面平面
平面.
又平面
（2）连接，过作于
又∵四边形为等腰梯形，且
又.
又且
，即.
又平面平面
平面.
以为坐标原点，分别以为轴轴轴建立空间直角坐标系
.
设平面的法向量为
则，即
令，则.
设与平面所成角为
则
与平面所成角的正弦值为.
（3）设平面的法向量为
则，即
令，则.
由（2）知平面的法向量为
.
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
19.解：（1）由题意可得椭圆焦点在轴上，且，
解得
所以椭圆的方程为.
（2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在，
当直线斜率为0时，显然，所以；
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，
则，
设，则
，
所以，
因为，
所以.
综上，为定值0.
（ii）由（i）可得，
所以，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以面积的最大值为.
法二：
点到直线的距离
所以
所以
当且仅当即时等号成立，
所以面积的最大值为.
污染指数
不大于30
概率
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
C
D
C
B
B
D
ABC
ABD
AC