2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点37 相似、位似及其应用（Word版附解析）

这是一份2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点37 相似、位似及其应用（Word版附解析），共29页。试卷主要包含了故选等内容，欢迎下载使用。

A．2B．4C．6D．8
【答案】B【解析】 ∵AB∥DC，∴△CDO∽△ABO，∴ODOB=OCOA，∵DO：OB＝1：2，∴OCOA=12，∴OC=12OA，
∵AC＝OA+OC＝12，∴OA+12OA＝12，∴OA＝8，∵MN∥AC，M是AB的中点，∴MN为△AOB的中位线，∴MN=12OA=12×8=4．故选：B．
8．【2023·朝阳】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，1）B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4）D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
【答案】D【解析】 ∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，点A的坐标为（2，2），∴点A的对应点A′的坐标为（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），故选：D．
陕西省
6．【2023·陕西】如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（ ）
A．132B．7C．152D．8
【分析】根据三角形中中位线定理证得DE∥BC，求出DE，进而证得△DEF∽BMF，根据相似三角形的性质求出BM，即可求出结论．
【答案】C【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC=12×6＝3.∴△DEF∽BMF.∴DEBM=DFBF=2BFBF=2.∴BM=32，CM＝BC+BM=152．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
浙江省
14．【2023·丽水】小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
【答案】2
5．【2023·嘉兴、舟山】如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）
【答案】C
9．【2023·嘉兴、舟山】如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F．若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（ ）
A．12B．14C．18D．24
.【答案】C【解析】如图，连接BD．∵点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，∴P在BD上，S△ABC＝2S△BDC，BP：PD＝2：1.∵DF∥BC，∴△DFP∽△BEP，∴＝.∵EF∥AC，∴△BEP∽△BCD，∴＝（）2＝（）2＝.设△DFP的面积为m，则△BEP的面积为4m，△BCD的面积为9m.∵四边形CDFE的面积为6，∴m+9m﹣4m＝6，∴m＝1.∴△BCD的面积为9.∴△ABC的面积是18．.
10．【2023·绍兴】如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F、N是线段BF上的点，BN＝2NF：M是线段DE上的点，DM＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（ ）
A．△AFE的面积B．△BDF的面积C．△BCN的面积D．△DCE的面积
【分析】如图所示，连接ND，证明△FBD∽△EDC，得出 FBED=FDECD，由已知得出 NFME=BFDE，则 FDEC=NFME，又∠NFD＝∠MEC，则△NFD∽△MEC，进而得出∠MCD＝∠NDB，可得MC∥ND，结合题意得出S△MMC=12S△DMC=12SMNC，即可求解．
【答案】D【解析】如图所示，连接ND，∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．∴FBED=FDEC，∵DM＝2ME，BN＝2NF，∴NF=13BF，ME=12DE．∴NFME=BEDE.∴FDEC=NFME，又∵∠NFD＝∠MEC，∴△NFD∽△MEC．∴∠ECM＝∠FDN．∵∠FDB＝∠ECD，∴∠MCD＝∠NDB．∴MC∥ND．∴S△MNC＝S△MDC．∵DM＝2ME，∴S△MCC=12S△DMC=12S△MCC．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
湖北省
8．【2023·仙桃】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则BD的长是（ ）
A．5B．6C．655D．364
【分析】根据勾股定理得到AC=AB2+BC2=5，求得△ABC的周长＝3+4+5＝12，得到AD＝3，CD＝2，过D作DE⊥BC于E，根据相似三角形的性质得到DE=65，CE=85，根据勾股定理即可得到结论．
【答案】C【解析】在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC=AB2+BC2=5，∴△ABC的周长＝3+4+5＝12，∵BD平分△ABC的周长，∴AB+AD＝BC+CD＝6，∴AD＝3，CD＝2，过D作DE⊥BC于E，∴AB∥DE，∴△CDE∽△CAB，∴DEAB=CDAC=CECB，∴DE3=25=CE4，∴DE=65，CE=85，∴BE=125，∴BD=BE2+DE2=(125)2+(65)2=655．
【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10．【2023·恩施州】如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，AEBE=25，BF＝8，则DE的长为（ ）
A．165B．167C．2D．3
【分析】由DE∥BC，EF∥AC，得四边形EFCD是平行四边形，DE＝CF，设DE＝CF＝x，由△AED∽△ABC，AEBE=25可得x8+x=27，即可解得答案．
【答案】A【解析】∵DE∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE＝CF，设DE＝CF＝x，∵BF＝8，∴BC＝BF+CF＝8+x，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴AEAB=DEBC，∵AEBE=25，∴AEAB=27，∴DEBC=27，即x8+x=27，解得x=165，
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例，列出方程解决问题．
重庆
4．【2023·重庆A卷】若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
【答案】B
4．【2023·重庆B卷】如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的长度为6，则DE的长度为（ ）
A．4B．9C．12D．13.5
【答案】B
四川省
11．【2023·雅安】如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，于是推出△DEF∽△BEC，△DFC∽△AFG，先求出DF与BC的比值，继而得出DF与AF的比值，再根据相似三角形对应边成比例即可求出GF的长．
【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵AD∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴DFBC=EFEC，∵EF＝1，EC＝3，∴DFBC=13，即DFAD=13，∴DFAF=12，∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFG，∴DFAF=CFGF，∵EF＝1，EC＝3，∴CF＝4，∴12=4GF，∴GF＝8，
【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．
6．【2023·南充】如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（ ）
A．6.4mB．8mC．9.6mD．12.5m
【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【答案】B【解析】如图：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴ABDE=BCCD，即1.6DE=210，∴DE＝8，
【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．
6．【2023·遂宁】在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（0，0）C．（0，1）D．（1，0）
【答案】A
10．【2023·巴中】如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC＝1：2，则四边形DFEG的面积为（ ）
A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2
【分析】连接DE，由D、E分别为AC、BC中点，可得DE＝AB＝3cm，DE∥AB，即得△DEF∽△BAF，故＝（）2＝，＝＝，可得S△ABF＝S△ABE＝×AB•BE＝8（cm2），故S△DEF＝S△ABF＝2（cm2），又S△DEC＝DE•CE＝6（cm2），DG：GC＝1：2，可得S△DEG＝S△DEC＝2（cm2），从而S四边形DFGE＝S△DEF+S△DEG＝4（cm2），
【答案】B【解析】连接DE，如图,∵D、E分别为AC、BC中点，∴DE是△ABC的中位线.∴DE＝AB＝3cm，DE∥AB.∴△DEF∽△BAF.∴＝（）2＝，＝＝.∴＝＝.∴S△ABF＝S△ABE＝×AB•BE＝××6××8＝8（cm2）.∴S△DEF＝S△ABF＝2（cm2）.∵S△DEC＝DE•CE＝×3×4＝6（cm2），DG：GC＝1：2，∴S△DEG＝S△DEC＝2（cm2）.∴S四边形DFGE＝S△DEF+S△DEG＝4（cm2）.∴四边形DFEG的面积为4cm2.
【点评】本题考查相似三角形判定与性质，三角形中位线及应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质及应用．
10．【2023•内江】如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（ ）
A．1B．32C．2D．3
【分析】首先根据点D，E为边AB的三等分点得AB＝3BE，AE＝2AD，再根据EF∥AC得△BEF和△BAC相似，从而可求出EF＝4，然后根据DG∥EF得△ADH和△AEF相似，进而可求出DH的长．
【答案】C【解析】∵D，E为边AB的三等分点，∴AD＝DE＝EB.∴AB＝3BE，AE＝2AD.∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC.∴EF：AC＝BE：AB.∵AC＝12，AB＝3BE，∴EF：12＝BE：3BE.∴BE＝4.∵DG∥EF，∴△ADH∽△AEF.∴DH：EF＝AD：AE.∵EF＝4，AE＝2AD.∴DH：4＝AD：2AD.∴DH＝2．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应边成比例．
广东省
6．【2023·广东6题】我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数B．平均数C．众数D．中位数
【答案】A
山东省
7．【2023·东营】如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（ ）
A．1.8B．2.4C．3D．3.2
【分析】先证∠CAD＝∠BDE，再根据∠B＝∠C＝60°，得出△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质即可求出AD的长．
【答案】C 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∴∠CAD+∠ADC＝120°，∵∠ADE＝60°．∴∠BDE+∠ADC＝120°，∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB，∴ADDE=ACDB，∵BD＝4DC，∴设DC＝x，则BD＝4x，∴BC＝AC＝5x，∴AD2.4=5x4x，∴AD＝3．
【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．
吉林省
5. 【2023·吉林】如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
二、填空题
15．【2023·湖州】某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是 米．
【答案】4.1【解析】过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，如图，
∵DB是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线，∴DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米），又根据题意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG，∴△CHE∽△AGE，∴EHEG=CHAG，即26=1.2AG，解得：AG＝3.6米，∴AB＝AG+GB＝3.6+0.5＝4.1（米）．故答案为：4.1．
16．【2023·海南】如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E在边AD上，且AD＝4AE，点P为边AB上的动点，连接PE，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，则EFPE= .若点M是线段EF的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 ．
【答案】4；16【解析】解：过F作FK⊥AD交AD延长线于K，如图：
设AP＝m，∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，AD＝4AE，∴AE＝2，DE＝6，∠A＝∠EDC＝90°，∵EF⊥PE，∴∠PEF＝90°，∴∠DET＝90°﹣∠AEP＝∠APE，∴△APE∽△DET，∴APDE=AEDT，即m6=2DT，∴DT=12m，∴CT＝CD﹣DT＝8-12m，∵DE∥CF，
∴△DET∽△CFT，∴DECF=DTCT，即6CF=12m8-12m，∴CF＝4m﹣6，∴DK＝CF＝4m﹣6，
∴EK＝4m，∵∠DET＝∠APE，∠A＝∠K＝90°，∴△APE∽△KEF，∴EFPE=EKAP=4mm=4；过点M作GH⊥AD，交AD于G，交BC于H，如图：
∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC．在△EGM和△FHM中，∠MGE=∠MHF∠GME=∠FMHEM=FM，
∴△EGM≌△FHM（AAS），∴MG＝MH．∴点M的运动轨迹是一条平行于BC的线段，当点P与A重合时，BF1＝AE＝2，当点P与点B重合时，∠F2+∠EBF1＝90°，∠BEF1+∠EBF1＝90°，∴∠F2＝∠BEF1．∵∠EF1B＝∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2．∴BF1EF1=EF1F1F2，即：28=8F1F2，∴F1F2＝32，∵M1M2是△EF1F2的中位线，∴M1M2=12F1F2＝16，即点M运动的路径长为16．
15．【2023·盘锦】如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的13，得到△A′B′O，则点A′的坐标为 ．
【答案】（23，2）或（-23，﹣2）【解析】∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的13，可以得到△A'B'O，点A的坐标为（2，6），∴点A'的坐标是（2×13，6×13）或（2×（-13），6×（-13）），即（23，2）或（-23，﹣2）．故答案为：（23，2）或（-23，﹣2）．
13．【2023·南通】如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，则S△ADES△ABC= ．
​
【答案】14 【解析】∵D，E分别是AB，AC的中点，∴ADAB=AEAC=12，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=（12）2=14．故答案为：14．
8．【2023·镇江】如图，用一个卡钳（AD＝BC，OCOB=ODOA=13）测量某个零件的内孔直径AB，量得CD长度为6cm，则AB等于 cm．
【答案】18 【解析】∵OCOB=ODOA=13，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝6cm，∴AB＝6×3＝18（cm），故答案为：18．
北京
14.【2023·北京14题】如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______．
【答案】
江西省
11．【2023•江西11题】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝ m．
【答案】6【解析】由题意可得BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，∴△ABC∽△AQP.∴ABBD=AQQP，
即4020=12QP，解得QP＝6.∴树高PQ＝6m.
山东省
14. 【2023·潍坊】在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为______米．
【分析】如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案．
【答案】【解析】如图，过作于，交于，则，，，，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，经检验符合题意；∴（米）；
【点评】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键．
湖北省
14. 【2023·鄂州】如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________．
【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．
【答案】【解析】设∵与位似，原点是位似中心，且．若，∴位似比为.∴，解得，.∴.
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
浙江省
12．【2023·金华】如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为 cm．
【答案】8
江苏省
9．【2023·泰州】两个相似图形的周长比为3：2，则面积比为 ．
【答案】9：4
四川省
15．【2023•乐山】如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若AEEB=23，则S△ADFS△AEF= ．
【分析】通过证明△AEF∽△CDF，可得AECD=EFDF=25，即可求解．
【答案】52【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.∵AEBE=23，∴设AE＝2a，则BE＝3a.∴AB＝CD＝5a.∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF.
∴AECD=EFDF=25.∴S△ADFS△AEF=52.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
22．【2023·成都】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若，则tanA＝ ．
【分析】过点G作GM⊥DE于M，证明△DGE∽△CGD，得出DG2＝GE×GC，根据AD∥GM，得＝＝，设GE＝3k，AG＝7k，EM＝3n，DM＝7n，则EC＝DE＝10n，在Rt△DGM 中，GM2＝DG2﹣DM2，在Rt△GME中 GM2＝GE2﹣EM2，则 DG2﹣DM2＝GE2﹣EM2，解方程求得 k，则 k，GE＝3k，用勾股定理求得GM，根据正切的定义，即可求解．
【答案】【解析】过点G作 GM⊥DE于M，如图，∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴ED＝EC，∵将△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠DGE＝∠CGD，∴△DGE∽△CGD，∴，∴DG2＝GE×GC，∵∠ABC＝90°，DE∥BC，∴AD⊥DE，∴AD∥GM，∴＝，∠MGE＝∠A，∵，∴，设GE＝3k，EM＝3n，则AG＝7k，DM＝7n，
∴EC＝DE＝10n，∴DG2＝GE×GC＝3k×（3k+10n）＝9k2+30kn，在Rt△DGM中，GM2＝DG2﹣DM2，在Rt△GME中，GM2＝GE2﹣EM2，∴DG2﹣DM2＝GE2﹣EM2，即9k2+30kn﹣（7n）2＝（3k）2﹣（3n）2，解得：k，∴EM＝k，∵GE＝3k，∴GM＝＝＝k，∴tanA＝tan∠EGM＝＝＝．
【点评】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
山西省
15．【2023•山西15题】如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为 ．
【答案】973【解析】过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，如图所示：则∠AHC＝∠AHB＝90°，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BH＝HC=12BC＝3，∴AH=AC2-CH2=4.∵∠ADB＝∠CBD+∠CEH，∠ADB＝2∠CBD，∴∠CBD＝∠CED.∴DB＝DE.，∵∠BCD＝90°，∴DC⊥BE.∴CE＝BC＝6.∴EH＝CE+CH＝9.
∵DC⊥BE，AH⊥BC，∴CD∥AH.∴△ECD∽△EHA.∴CDAH=CEHE，即CD4=69.∴CD=83.∴DE=CE2+CD2=62+(83)2=2973.∵CD∥AH，∴DEAD=CECH，即2973AD=63，解得AD=973．
黑龙江
19．【2023·绥化】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，点A是位似中心，已知点A（2，0），点C（a，b），∠C＝90°．则点C′的坐标为 .（结果用含a，b的式子表示）
【分析】过C作CM⊥AB于M，过C′⊥AB′于N，则∠ANC′＝∠AMC＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【答案】（6﹣2a，﹣2b） 【解析】过C作CM⊥AB于M，过C′⊥AB′于N，则∠ANC′＝∠AMC＝90°，∵△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，∴ACAC'=12，∵∠NAC′＝∠CAM，∴△ACM∽△AC′N，∴AMAN=CMC'N=ACAC'，∵点A（2，0），点C（a，b），∴OA＝2，OM＝a，CM＝b，∴AM＝a﹣2，∴a-2AN=bC'N=12，∴AN＝2a﹣4，C′N＝2b，∴ON＝AN﹣OA＝2a﹣6，∴点C′的坐标为（6﹣2a，﹣2b），故答案为：（6﹣2a，﹣2b）．
【点评】本题考查的是位似变换和坐标与图形性质，掌握相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．
广东省
15．【2023·广东15题】边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．
【答案】 15 【解析】如图，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE.∴ABAD=BFDE.∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴420=BF10.∴BF＝2.∴GF＝6﹣2＝4.∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE.∴ACAD=CKDE.∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴1020=CK10.∴CK＝5.∴HK＝6﹣5＝1.∴阴影梯形的面积=12（HK+GF）•GH=12×（1+4）×6＝15．故答案为：15．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．
河南省
15．【2023·河南15题】矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 ．
【分析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND＝90°时，如图2，当∠NMD＝90°时，根据矩形的性质和三角形中位线定理以及等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【答案】2或1+2 【解析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：①如图1，当∠MND＝90°时，则MN⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∴MN∥AB.∵M为对角线BD的中点，∴AN＝DN.∵AN＝AB＝1，∴AD＝2AN＝2.如图2，当∠NMD＝90°时，则MN⊥BD，∵M为对角线BD的中点，∴BM＝DM.∴MN垂直平分BD.∴BN＝DN.∵∠A＝90°，AB＝AN＝1，∴BN=2AB=2.∴AD＝AN+DN＝1+2.综上所述，AD的长为2或1+2．故答案为：2或1+2．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，分类讨论是解题的关键．
辽宁省
17．【2023·抚顺、葫芦岛】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为 ．
​
【分析】根据平行四边形ABCD推出平行四边形AEBC，根据△OAF和△EFB相似，进而求出各个三角形的面积比，设S△OAF＝x，表示出其他三角形面积，进而作答．
【答案】52【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，又∵BE∥AC，∴四边形AEBC是平行四边形，∴AC＝BE，∴BE＝2•OA，∴△OAF∽△EBF，∴S△OAFS△EBF=(12)2=14，∴S△EBF＝4S△OAF，S△AFES△AOF=EFOF=2，∴S△AEF＝2S△AOF，同理S△EBF＝2S△OBF，S△OBC＝S△OAB，设S△OAF＝x，则S△EBF＝4x，S△AEF＝2x，S△OBF＝2x，S△AOB＝S△BOC＝S△AOF+S△BOF＝x+2x＝3x，S四边形ECOF＝S△BOC+S△BOE＝3x+2x＝5x，∴S四边形ECOFS△AEF=5x2x=52，
【点评】本题考查平行四边形及三角形的相似，相似比和面积比，解题的关键是根据三角形的相似比表示出三角形的面积．
16.【2023·营口】 如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则______．
【分析】连接，证明是等边三角形，则，，设，则，取的中点H，连接，求出，设，则，证明，得到，解得，即，再利用勾股定理求出，进一步即可得到答案．
【答案】【解析】连接，∵将绕着点C按顺时针旋转得到，∴，∴是等边三角形，∴，，设，则，取中点H，连接，∴，，∴，设，则，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得，即，∴，∴，∴，
12. 【2023·长春】如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为__________．
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．
【答案】【解析】，，设周长为，设周长为，和是以点为位似中心的位似图形，．．和的周长之比为．故答案为：．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．
湖南省
15．【2023·常德】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为 ．
【分析】利用勾股定理求得线段AC的长度，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到ADAB=AEAC，由旋转的性质得到∠DAB＝∠EAC，再利用相似三角形的判定与性质得到BDEC=ABAC=810=45．
解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC=AB2+BC2=82+62=10．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=AEAC．∵将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置，∴∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC，∴BDEC=ABAC=810=45．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
三、解答题
22．【2023·攀枝花】拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．
解：设BD＝xm，则BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∴△ABD∽△FED，
∴EFAB=DEBD，即1.5AB=2x，
同理可证△ABC∽△HGC，
∴GHAB=CGBC，即1.5AB=4x+48，
∴2x=4x+48，
解得x＝48，
经检验，x＝48是原方程的解，
∴1.5AB=248，
∴AB＝36m，
∴该古建筑AB的高度为36m．
上海
23．【2023·上海】如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．
【分析】（1）证明△ACF≌△ADE（ASA），即可解决问题；
（2）证明△ABF∽△CDE，得AF•DE＝BF•CE，结合（1）AF＝DE，即可解决问题．
证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAC
∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，∴△ACF≌△ADE（ASA），∴AF＝DE；
（2）∵△ACF≌△ADE，∴∠AFC＝∠DEA，∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE，∴AFCE=BFDE，∴AF•DE＝BF•CE，
∵AF＝DE，∴AF2＝BF•CE．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形，勾股定理，熟练运用相似三角形的性质和判定是本题的关键．
山东省
16. 【2023·潍坊】如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．

证明：如图，延长交于，

∵平分，，
∴，，
∵，，，
∴，∴，
∵，∴，，
∴，
∴，即，解得，
∴是的中点，
又∵是的中点，∴是的中位线，
∴．
24．【2023·泰安】如图，△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形EF⊥AD．
（1）当AF＝DF时，求∠AED；
（2）求证：△EHG∽△ADG；
（3）求证：AEEH=ACHC．
【分析】（1）可推出EG＝DG=12DE，DE＝AE，进一步得出结果；（2）可推出∠FAH＝∠GEH，∠AGD＝∠EGH＝90°，从而得出结论；（3）作AQ∥BC，交EF的延长线于点Q，可推出△CHE∽△AHQ，从而QHEH=AHHC，∠Q＝∠CEF，∠QAE＝∠AEB，从而得出EQEH=ACHC，设∠GEH＝∠FAH＝α，可推出∠EAG＝∠FAH＝α，从而∠AEB＝∠ACB+∠EAG＝45°+α，∠CEF＝∠CED+∠GEH＝45°+α，从而得出∠AEB＝∠CEF，从而∠Q＝∠QAE，从而推出AE＝EQ，从而得出AEEH=ACHC．
（1）解：∵△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∠CED＝∠CDE＝45°，
∴∠CGE＝180°﹣∠ACB﹣∠CED＝90°，
∵CE＝CD，∴EG＝DG=12DE，
∵AF＝DF，EF⊥AD，∴AE＝DE，
∴EG=12AE，∴cs∠AED=EGAE=12，
∴∠AED＝60°；
（2）证明：由（1）得：∠CEG＝90°，
∴CG⊥DE，∴∠AGD＝∠EGH＝∠AFH＝90°，
∵∠AHF＝∠EHG，∴∠FAH＝∠HEG，
∴△EHG∽△ADG；
（3）证明：如图，作AQ∥BC，交EF的延长线于点Q，
∴△CHE∽△AHQ，∴QHEH=AHHC，∠Q＝∠CEF，∠QAE＝∠AEB，
∴EQEH=ACHC，设∠GEH＝∠FAH＝α，
由（1）知：AC是DE的垂直平分线，
∴AE＝AD，∴∠EAG＝∠FAH＝α，
∴∠AEB＝∠ACB+∠EAG＝45°+α，
∵∠CEF＝∠CED+∠GEH＝45°+α，
∴∠AEB＝∠CEF，∴∠Q＝∠QAE，
∴AE＝EQ，∴AEEH=ACHC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是推出AC是DE的垂直平分线．
浙江省
21．【2023•杭州】在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上（不与点A，D重合），射线BE与射线CD交于点F．
（1）若ED=13，求DF的长．
（2）求证：AE•CF＝1．
（3）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG＝ED，求ED的长．
（1）解：∵ED=13，∴AE=23.∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥FC.
∴△ABE∽△DFE.∴ABDF=AEDE=2.∴AE=1，∴DF=12.
（2）证明：由题意，得AD∥BC，∴∠ABE＝∠F.
又∵∠A＝∠BCD＝90°，∴△ABE∽△CFB.∴ABCF=AEBC.
∵AB=BC=1，∴AE•CF＝AB•BC＝1.
（3）解：设EG＝ED＝x，则AE＝1﹣x，BE＝BG+GE＝BC+GE＝1+x.
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，∴1+（1﹣x）2＝（1+x）2，解得x=14.∴DE=14．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
湖南省
25．【2023·娄底】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．
（1）求证：AE2＝EF•EM；
（2）若AF＝1，求AE的长；
（3）求S正五边形ABCDES△AEF的值．
【分析】（1）根据正五边形的性质可得∠BAE＝∠AED＝108°，从而利用平角定义可得∠FAE＝∠AEF＝72°，进而利用三角形内角和定理可得∠F＝36°，然后利用角平分线的定义可得∠FAM＝∠MAE＝36°，从而可得∠F＝∠MAE，进而可证△AEM∽△FEA，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）设AE＝x，利用（1）的结论可得：∠F＝∠FAM＝36°，从而可得FM＝AM，在利用（1）的结论可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，从而可得FA＝FE＝1，然后利用三角形的外角性质可得∠AME＝∠AEF＝72°，从而可得AM＝AE，进而可得AM＝AE＝AF＝x，再利用线段的和差关系可得ME＝1﹣x，
最后利用（1）的结论可得：AE2＝EF•EM，从而可得x2＝1•（1﹣x），进行计算即可解答；
（3）连接BE，CE，根据正五边形的性质可得AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°，从而可得△ABE≌△DCE，再利用等腰三角形的性质可得∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°，从而可得∠EBC＝∠ECB＝72°，然后利用（1）的结论可得：∠FAE＝∠FEA＝72°，从而可证利用ASA可证△FAE≌△EBC，再利用（2）的结论可得：AEAF=5-12，从而可得ABAF=5-12，进而可得S△ABES△AEF=5-12，最后设△ABE的面积为（5-1）k，则△AEF的面积为2k，从而可得△ABE的面积＝△DEC的面积＝（5-1）k，△AEF的面积＝△BCE的面积＝2k，进而可求出五边形ABCDE的面积＝25k，再进行计算即可解答．
（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝108°，
∴∠FAE＝180°﹣∠BAE＝72°，∠AEF＝180°﹣∠AED＝72°，
∴∠F＝180°﹣∠FAE﹣∠AEF＝36°，
∵AM平分∠FAE，∴∠FAM＝∠MAE=12∠FAE＝36°，
∴∠F＝∠MAE，
∵∠AEM＝∠AEF，∴△AEM∽△FEA，∴AEEF=EMEA，
∴AE2＝EF•EM；
（2）解：设AE＝x，由（1）可得：∠F＝∠FAM＝36°，
∴FM＝AM，
由（1）可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，∴FA＝FE＝1，
∵∠AME＝∠F+∠FAM＝72°，∴∠AME＝∠AEF＝72°，
∴AM＝AE，∴AM＝AE＝AF＝x，
∴ME＝EF﹣FM＝1﹣x，
由（1）可得：AE2＝EF•EM，∴x2＝1•（1﹣x），
解得：x=5-12或x=-1-52（舍去），
∴AE=5-12，∴AE的长为5-12；
（3）解：连接BE，CE，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∵AB＝AE，ED＝DC，∠BAE＝∠CDE＝108°，
∴∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝72°，∠ECB＝∠BCD﹣∠DCE＝72°，
由（1）可得：∠FAE＝∠FEA＝72°，
∴∠FAE＝∠EBC，∠FEA＝∠ECB，
∴△FAE≌△EBC（ASA），
由（2）得：AEAF=5-12，∴ABAF=5-12，∴S△ABES△AEF=5-12，
∴设△ABE的面积为（5-1）k，则△AEF的面积为2k，
∴△ABE的面积＝△DEC的面积＝（5-1）k，△AEF的面积＝△BCE的面积＝2k，
∴五边形ABCDE的面积＝△ABE的面积+△DCE的面积+△BCE的面积＝25k，
∴S正五边形ABCDES△AEF=25k2k=5，∴S正五边形ABCDES△AEF的值为5．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，角平分线的性质，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26．【2023·常德】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC．
（1）求证：△BAE≌△CAE；
（2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．
求证：①AF•MH＝AM•AE；
②GF＝GD．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，利用SSS公理证明△BAE≌△CAE；
（2）①连接AH，证明△AFD∽△MAH，根据相似三角形的性质证明；
②证明△AMH∽△DAC，再根据三角形中位线定理证明即可．
证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线.
又∵E在AD上，∴EB＝EC.
在△BAE和△CAE中，AB=ACEB=ECAE=AE，∴△BAE≌△CAE（SSS）.
（2）①连接AH，∵A，H分别是ED和EC的中点，
∴AH为△EDC的中位线.∴AH∥DC.
∴∠EAH＝∠EDC＝90°.
又∵DF⊥AB，∴∠AFD＝90°.
又∵HG∥AB，∴∠FAD＝∠AMH.∴△AFD∽△MAH.
∴AFAM=ADMH.∴AF⋅MH＝AM⋅AD.
∵AE＝AD，∴AF⋅MH＝AM⋅AE.
②∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ABD＝∠ADF＝∠AHM，∴∠AHM＝∠ACB.
∴△AMH∽△DAC.
∵A,H分别为ED和EC中点，∴AH为△EDC的中位线.
∴AMAD=AHDC=12.∴AM=12AD，即M为AD中点.
∵AF∥GH，∴G为FD中点.∴GF＝GD．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
19．【2023·湘潭】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
（1）证明：∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC，
又∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA；
（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，
∴BDBA=BABC，∴BD6=610，∴BD＝3.6．
21．【2023·邵阳】如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．
（1）证明：△ABC∽△DEB．
（2）求线段BD的长．
（1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，
∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°．
∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°．
∴∠C＝∠DBE．
∴△ABC∽△DEB．
（2）解：∵△ABC∽△DEB，∴ACBD=ABDE．
∴6BD=84，∴BD＝3．
湖北省
23．【2023·宜昌】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE，EF，CF．
（1）若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．
①如图1，当∠FEC＝90°时，求证：△AEF∽△DCE；
②如图2，当tan∠FCE=23时，求AF的长；
（2）如图3，延长CF，DA交于点G，当GE＝DE，sin∠FCE=13时，求证：AE＝AF．
【分析】（1）①根据两角对应相等，两三角形相似证明即可；
②如图2中，延长DA交CF的延长线于点G，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．求出AG，DG，再利用平行线分线段成比例定理求解；
（2）如图3中，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．想办法证明AF＝a﹣t，可得结论．
【解答】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，
∵∠CEF＝90°，∴∠AEF+∠CED＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠AEF＝∠ECD，∴△AEF∽△DCE；
②解：如图2中，延长DA交CF的延长线于点G，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．
∵∠H＝∠D＝90°，∠GEH＝∠CED，
∴△GEH∽△CED，∴GHCD=EHDE，
∵CD＝2，AE＝ED＝1，∴GH＝2HE，
设EH＝m，GH＝2m．
∵CE=DE2+CD2=12+22=5，∴CH＝m+5，
∵tan∠ECF=GHCH=23，∴2mm+5=23，∴m=52，
∴EH=52，GH=5，
∴EG=GH2+EH2=(5)2+(52)2=52，
∴AG＝EG﹣AE=52-1=32，DG＝EG+DE=52+1=72，
∵AF∥CD，∴AFCD=AGGD，∴AF2=3272，∴AF=67；
（3）证明：如图3中，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．
设AD＝CD＝a，GE＝DE＝t，EH＝x，GH＝y，CE＝n，
∵∠H＝∠D＝90°，∠GEH＝∠CED，∴△GEH∽△CED，
∴GHCD=EHDE=EGEC∴ya=xt=tn，∴x=t2n，y=atn，
在Rt△CGH中，sin∠ECF=13=GHCG，
∴CG＝3GH，CH＝22GH，∴yx+n=122，
∴22y＝x+n，∴22×atn=t2n+n，∴22at＝t2+n2，
在Rt△CDE中，n2＝t2+a2，
∴22at＝2t2+a2，∴a=2t，
∵AF∥CD，∴AFCD=AGDG，∴AFa=2t-a2t，∴AF=a(2t-a)2t=a-a22t=a﹣t，
∵AE＝a﹣t，∴AE＝AF．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
黑龙江
26．【2023·龙东地区】如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH．易证：FH=3FG．
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如图②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如图③；其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
【分析】如图②；连接AH，CE，AF，根据等腰直角三角形的性质得到AH⊥BC，AF⊥DE，AH=CH=12BC，AF=EF=12DE，求得∠CAH＝∠EAF＝45°，根据相似三角形的性质得到CE=2FH，根据三角形中位线定理得到CE＝2FG，于是得到FH=2FG；
如图③；连接AH，CE，AF，根据等腰三角形的性质得到∠AFD＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°，AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF=12×120°=60°，根据相似三角形的性质得到CE＝2FH，根据三角形中位线定理得到CE＝2FG，于是得到FH＝FG．
解：如图②；FH=2FG，
证明：连接AH，CE，AF，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，F，H分别是DE，BC的中点，
∴AH⊥BC，AF⊥DE，AH=CH=12BC，AF=EF=12DE，
∴∠CAH＝∠EAF＝45°，
∴∠HAF＝∠EAC，AHAC=AFAE=22，
∴△AHF∽△ACE，∴FHCE=AHAC=22，
∴CE=2FH，
∵点F，G分别是DE，DC的中点，
∴CE＝2FG，∴FH=2FG；
如图③；FH＝FG，
证明：连接AH，CE，AF，
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠AFD＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°，
∵点F，H分别是DE，BC的中点，
∴AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF=12×120°=60°，
∴∠HAF＝∠EAC，AHAC=AFAE=12，
∴△AHF∽△ACE，∴FHCE=AHAC=12，∴CE＝2FH，
∵点F，G分别是DE，DC的中点，
∴CE＝2FG，∴FH＝FG；
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．