2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点33 与圆有关的位置关系（Word版附解析）

这是一份2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点33 与圆有关的位置关系（Word版附解析），共100页。试卷主要包含了故选等内容，欢迎下载使用。

A．125B．1312C．135D．1213
【答案】D【解析】 连接OC、OD、CD，CD交PA于E，如图，
∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，∴OC⊥CP，PC＝PD，OP平分∠CPD，∴OP⊥CD，∴BC=BD，
∴∠COB＝∠DOB，∵∠CAD=12∠COD，∴∠COB＝∠CAD，∵AB＝10，∴AO＝OC＝OB＝5，∵OC＝5，PC＝12，在Rt△OCP中，OP=OC2+PC2=52+122=13，∴sin∠COP=PCOP=1213，∴sin∠CAD=1213．故选：D．
5．【2023·哈尔滨】如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则∠DOC的度数为（ ）
A．45°B．50°C．65°D．75°
【答案】B【解析】 ∵AB是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥AB，∵OC⊥OA，∴AB∥OC，∴∠OCD＝∠B＝65°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝65°，∴∠DOC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，故选：B．
8．【2023·攀枝花】已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为（ ）
A．12rlB．12πrlC．rlD．πrl
【答案】A【解析】 如图，设内切圆O与△ABC相切于点D，点E，点F，连接OA，OB，OC，OE，OF，OD，
∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，OE＝r，∴S△AOB=12AB×OE=12AB×r，同理：S△BOC=12BC×r，S△AOC=12AC×r，∴S＝S△AOB+S△BOC+S△AOC=12AB×r+12BC×r+12AC×r=12（AB+BC+AC）×r，∵l＝AB+BC+AC，∴S=12lr，故选：A．
山东省
10. 【2023·潍坊】发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若，，则下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. 当与相切时，D. 当时，
【分析】如图，由题意可得：，，，，从而可判断A，B，如图，当与相切时，求解，可得，可判断C；当时，如图，可得，，，可判断D；从而可得答案．
【答案】AC【解析】如图1，由题意可得：，，，，∴，故A符合题意；，故B不符合题意；如图2，当与相切时，∴，∴，∴，故C符合题意；当时，如图3，∴，∴，，∴，故D不符合题意；故选AC

123
【点评】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
重庆
8．【2023·重庆A卷】如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝23，BC＝3，则OC的长度是（ ）
A．3B．23C．13D．6
【分析】根据切线的性质得到OB⊥AC，求得∠ABO＝∠CBO＝90°，得到OB=33AB＝2，根据勾股定理即可得到结论．
【答案】C【解析】连接OB，∵AC是⊙O的切线，∴OB⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝90°，∵∠A＝30°，AB＝23，∴OB=33AB＝2，∵BC＝3，∴OC=BC2+OB2=32+22=13，
【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．【2023·重庆B卷】如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠ACO＝40°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO＝40°．
【答案】B【解析】连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∵∠ACD＝50°，∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠ACO＝40°，
【点评】本题考查了切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
四川省
11．【2023·泸州】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（ ）
A．4109B．8109C．8027D．83
【分析】首先求出AB＝10，先证△BOE和△BAC相似，由相似三角形的性质可求出OE，BE的长，进而可求出CE的长和AE的长，然后再证△BDE和△BEA相似，最后利用相似三角形的性质即可求出DE．
【答案】B【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：AB=AC2+BC2=10，连接AE，OE，
设☉O的半径为r，则OA＝OE＝r，∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，∵BC与半圆相切，∴OE⊥BC，∵∠C＝90°，即AC⊥BC，∴OE∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴BEBC=BOAB=OEAC，即：BE6=10-r10=r8，由10-r10=r8得：r=409，
由BE6=10-rr得：BE=103，∴CE=BC-BE=6-103=83，在Rt△ACE中，AC＝8，CE=83，由勾股定理得：AE=AC2+CE2=8103，∵BE为半圆的切线，∴∠BED＝∠BAE，又∠DBE＝∠EBA，∴△BDE∽△BEA，∴BEAB=DEAE，∴DE•AB＝BE•AE，即：DE×10=103×8103，∴DE=8109．
【点评】此题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，弦切角定理，勾股定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，灵活运用相似三角形的性质和勾股定理进行计算．
湖北省
9．【2023·武汉】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相
切，切点为E，若ABCD=13，则sinC的值是（ ）
A．23B．53C．34D．74
【分析】连接DB、DE，设AB＝m，由ABCD=13得CD＝3AB＝3m，再证明AB是⊙D的切线，而⊙D与BC相切于点E，则BC⊥OE，由切线长定理得EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，由AB∥CD，得∠ABD＝∠CDB，则∠CBD＝∠CDB，所以CB＝CD＝3m，CE＝2m，由勾股定理得DE=CD2-CE2=5m，即可求得sinC=DECD=53，于是得到问题的答案．
【答案】B 【解析】连接DB、DE，设AB＝m，∵ABCD=13，∴CD＝3AB＝3m，∵AD是⊙D的半径，AD⊥AB，∴AB是⊙D的切线，∵⊙D与BC相切于点E，∴BC⊥OE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD＝3m，∴CE＝CB﹣EB＝3m﹣m＝2m，∵∠CED＝90°，∴DE=CD2-CE2=(3m)2-(2m)2=5m，∴sinC=DECD=5m3m=53.
【点评】此题重点考查切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
湖南省
（多选）11．【2023·湘潭】如图，AC是⊙O的直径，CD为弦，过点A的切线与CD延长线相交于点B，若AB＝AC，则下列说法正确的是（ ）
A．AD⊥BCB．∠CAB＝90°C．DB＝ABD．AD=12BC
【分析】利用圆周角定理即可判断A；根据切线的性质即可判断B；利用等腰直角三角形的性质即可判断C；利用直角三角形斜边中线的性质即可判断D．
【答案】ABD【解析】A、∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，故A正确；B、∵AC是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，∴CA⊥AB，∴∠CAB＝90°，故B正确；C、∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°
∵AD⊥BC，∴BD=22AB，故C错误；D、∵AC＝AB，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵∠CAB＝90°，∴AD=12BC，故D正确．故选：ABD．
【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
二、填空题
14．【2023·衢州】如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 cm．
【答案】10 【解析】 由题意得：BC＝16cm，CD＝4cm，如图，连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，
则∠OEC＝90°，∵餐盘与BC边相切，∴点E为切点，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF=12AD=12×16＝8（cm），设餐盘的半径为xcm，则OA＝OE＝xcm，∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，即82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，∴餐盘的半径为10cm，故答案为：10．
15．【2023·海南】如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，点A是切点，连接BC交⊙O于点D，连接OD，若∠C＝40°，则∠AOD＝ 度．
【答案】100 【解析】解：∵AC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∵∠C＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝50°，∴∠AOD＝∠ABC+∠ODB＝50°+50°＝100°．
15．【2023·青岛】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），P（﹣1，0），⊙P过原点O，且与x轴交于另一点D，AB为⊙P的切线，B为切点，BC是⊙P的直径，则∠BCD的度数为 °．
【答案】60【解析】∵点A（1，0），P（﹣1，0），∴OP＝OA＝1，∴AP＝OP+OA＝2∵⊙P过原点O，
∴OP为⊙P的半径，∵AB为⊙P的切线，∴PB⊥AB，PB＝OP＝1，在Rt△ABP中，BP＝1，AP＝2，sinA＝PB/AP＝1/2，∴∠BAP＝30°，∴∠BPA＝60°，∴∠CPD＝60°，又∵PC＝PD，∴三角形CPD为等边三角形，
∴∠PCD＝60°，即∠BCD的度数为60°．故答案为：60．
13．【2023·青海】如图，MN是⊙O的切线，M是切点，连接OM，ON．若∠N＝37°，则∠MON的度数是 ．
【答案】53°【解析】∵MN是⊙O的切线，M是切点，∴∠OMN＝90°，∵∠N＝37°，∴∠MON＝90°﹣∠N＝53°，故答案为：53°．
北京
15.【2023·北京15题】如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______．
【答案】【解析】∵，∴．∵，∴.∴．∵是的切线，∴.∴为等腰直角三角形.∴．
湖南省
16．【2023·岳阳】如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为BD的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E．
（1）若∠A＝30°，AB＝6，则BC的长是 （结果保留π）；
（2）若CFAF=13，则CEAE= ．
【答案】π 24 【解析】（1）如图，连接OC．易知∠BOC＝60°，OB＝3，∴BC的长=60π×3180=π．（2）如图，连接BC．∵∠ECO＝90°，∠ACB＝90°，∴∠ECB＝90°﹣∠OCB＝∠OCA．∵∠CEB＝∠AEC，∴△CEB∽△AEC，∴CEAE=CBAC．易知∠CBF=∠CAB，∠BCF=∠ACB，∴△BCF∽ACB，∴BCCF=ACBC.∴BC2=AC∙CF.∵CFAF=13，∴设CF=a，则AF=3a，即AC=4a.∴CB=2a.∴CEAE=CBAC=2a4a=12.
15．【2023·邵阳】如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为 ．
【答案】50°【解析】∵BC与⊙O相切于点B，∴∠OBC＝90°．∵∠ABC＝65°，∴∠OAB＝∠OBA＝25°，∴∠BOD＝2∠OAB＝50°．
17．【2023·衡阳】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为 ．
【答案】245 【解析】设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，根据切线的性质得AB⊥CD，再由勾股定理求得AB=AC2+BC2=10，则12AB•CD=12AC•BC＝S△AOB，所以12×10CD=12×8×6，则r＝CD=245．
山东省
14．【2023·泰安】为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝4cm，则这张光盘的半径是 cm．（精确到0.1cm．参考数据：3≈1.73）
【答案】6.9
14．【2023·滨州】如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 ．
【分析】由切线的性质求得∠PAO＝∠PBO＝90°，由多边形内角和定理求得∠AOB＝124°，根据圆周角定理即可求得答案．
【答案】62°或118°【解析】如图，连接CA，BC，∵PA、PB切⊙O于点A、B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB，∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°，由圆周角定理知，∠ACB=12∠AOB＝62°．当点C在劣弧AB上时，由圆内接四边形的性质得∠ACB＝118°，故答案为：62°或118°．
【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握相关定理是解决问题的关键．
浙江省
14．【2023·嘉兴、舟山】如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 ．
【答案】65°【解析】连接OC，OD，则∠ACO＝∠ABO＝90°.∵∠A＝50°，∴∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°.∴∠D＝．
15．【2023·宁波】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 ．
【答案】6或2【解析】如图1，连结OD，DE，则OD⊥BC.在Rt△OBD中，OB＝OE+BE＝OD+3，OB2＝BD2+OD2，∴（OD+3）2＝（3）2+OD2，解得OD＝6.∴OA＝OE＝OD＝6.
△ADP为等腰三角形，分三种情况：
①当PA＝PD时，P与O重合，∴AP＝AO＝6；
②如图2，当AP＝AD时，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴AC⊥BC.∴OD∥AC..∴＝＝.∴＝＝.∴AC＝10，CD＝2.∴AD＝2.∴AP＝AD＝2；
③如图3，当DP＝DA时，∵AD＝2，∴DP＝AD＝2.∵OD∥AC，∴∠CAD=∠ODA＝∠OAD.∴AD平分∠BAC.过点D作DH⊥AE于点H，则AH＝PH.易证Rt△ADH≌Rt△ADC（HL），∴AH＝AC＝10.∴AP＝2AH＝20>AB（E为AB边上一点，不符合题意，舍去）.
综上所述，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为6或2．
湖北省
13．【2023·仙桃】如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝ ．
【分析】根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出∠AOB的度数和∠OGF的度数，然后即可计算出∠AFD的度数．
【答案】35°【解析】连接OD，OE，OB，OB交ED于点G，∵∠ACB＝70°，∴∠CAB+∠CBA＝110°，∵点O为△ABC的内切圆的圆心，∴∠OAB+∠OBA＝55°，∴∠AOB＝125°，∵OE＝OD，BD＝BE，∴OB垂直平分DE，∴∠OGE＝90°，∴∠AFD＝∠AOB﹣∠OGF＝125°﹣90°＝35°，故答案为：35°．
【点评】本题考查三角形内切圆、切线长定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
河南省
14．【2023·河南14题】如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 ．
【分析】连接OC，根据切线的性质可得∠OAP＝90°，然后利用SSS证明△OAC≌△OBC，从而可得∠OAP＝∠OBC＝90°再在Rt△OAP中，利用勾股定理求出OP＝13，最后根据△OAC的面积+△OCP的面积＝△OAP的面积，进行计算即可解答．
【答案】103 【解析】连接OC，
∵PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°.∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，∴△OAC≌△OBC（SSS）.∴∠OAP＝∠OBC＝90°.在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12，∴OP=OA2+AP2=52+122=13.∵△OAC的面积+△OCP的面积＝△OAP的面积，∴12OA•AC+12OP•BC=12OA•AP.∴OA•AC+OP•BC＝OA•AP.∴5AC+13BC＝5×12.∴AC＝BC=103.故答案为：103．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
黑龙江
16．【2023·龙东地区】如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B＝28°，则∠P＝ °．
【分析】根据切线的性质可得∠OAP＝90°，然后利用圆周角定理可得∠AOC＝2∠B＝56°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
【答案】34 【解析】∵PA切⊙O于点A，∴∠OAP＝90°，∵∠B＝28°，∴∠AOC＝2∠B＝56°，∴∠P＝90°﹣∠AOC＝34°，故答案为：34．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，以及圆周角定理是解题的关键．
四川省
17．【2023·德阳】已知⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为r，圆心距O1O2＝5，如果在⊙O2上存在一点P，使得PO1＝2，则r的取值范围是 ．
【分析】根据条件，分情况进行讨论，当⊙O1内含于⊙O2时，r值最大，当⊙O1与⊙O2外离时，r值最小，得出r的取值范围即可．
【答案】3≤r≤7【解析】当⊙O1内含于⊙O2时，r值最大，此时r＝5+1+1＝7；当⊙O1与⊙O2外离时，r值最小，此时r＝5﹣2＝3，
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，当O1O2＜R﹣r时，两圆内含；当O1O2＞R+r时，两圆外离．
16．【2023·广元】如图，∠ACB＝45°，半径为2的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设t＝PE+2PF，则t的取值范围是 ．
【答案】22≤t≤4+22【解析】此题的关键在于做辅助线将t的关系式转化为一条线段，进而求这条线段的范围．设半径为2的⊙O与角的两边相切于M，N，连接OM，ON，延长NO交CB于D，∴∠CND＝∠OMD＝90°，∵∠ACB＝45°，∴△CND是等腰直角三角形，∴∠CDN＝45°，∵ON＝OM＝2，∴OD＝22，∴CN＝DN＝2+22，如图1，延长EP交BC于Q，∵EQ⊥AC，PF⊥BC，∴∠CEQ＝∠PFQ＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠EQC＝45°，∴△ECQ与△PFQ是等腰直角三角形，∴CE＝EQ，FQ=2PF，∴t＝PE+2PF＝PE+FQ＝EQ，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，连接OP，则四边形ENOP是正方形，∴EN＝OP＝2，∴t＝PE+2PF＝PE+FQ＝EQ＝CE＝CN+EN＝2+22+2=4+22；如图2，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的，左侧时，t有最小值，同理可得t＝PE+2PF＝PE+FQ＝EQ＝CE＝CN﹣EN＝22，故t的取值范围是22≤t≤4+22，
18．【2023·上海】在△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠C＝90°，点D在边AC上，点E在CA延长线上，且CD＝DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，若⊙B与⊙E有公共点，那么⊙E半径r的取值范围是 ．
【分析】先画出图形，连接BE，利用勾股定理可得 BE=9+4r2，AC=210，从而可得10＜r≤210，再根据⊙B与⊙E有公共点列不等式，用二次函数与一元二次方程，一元二次不等式的关系解答．
【答案】10＜r≤210
【解析】连接BE，如图：
∵⊙B过点A，且AB＝7，∴⊙B的半径为7，∵⊙E过点D，它的半径为r，且CD＝DE，∴CE＝CD+DE＝2r，
∵BC＝3，∠C＝90°，∴BE=BC2+CE2=9+4r2，AC=AB2-BC2=210，∵D在边AC上，点E在CA延长线上，∴r≤2102r＞210，∴10＜r≤210，∵⊙B与⊙E有公共点，∴AB﹣DE≤BE≤AB+DE，∴9+4r2≤7+r①7-r≤9+4r2②，由①得：3r2﹣14r﹣40≤0，解方程3r2﹣14r﹣40＝0得：r＝﹣2 或 r=203，画出函数 y＝3r2﹣14r﹣40 的大致图象如下：
由函数图象可知，当y≤0时，-2≤r≤203，即不等式①的解集为-2≤r≤203，同理可得：不等式②的解集为r≥2或 r≤-203，∴不等式组的解集为 2≤r≤203，又∵10＜r≤210，∴⊙E半径r的取值范围是10＜r≤210．
【点评】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键．
三、解答题
21．【2023·湖州】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
（1）求证：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．
解：（1）证明：如图，连结OD，
∵半圆O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODB＝∠OCB＝90°，
在Rt△ODB和Rt△OCB中，
OB=OB，OD=OC，
∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），
∴BD＝BC；
（2）解：如图，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵Rt△ODB≌Rt△OCB，
∴∠CBO=∠DBO=12∠ABC=30°，
在Rt△OBC中，
∵OC＝1，
∴BC=OCtan30°=3，
在Rt△ABC中，
AB=BCsin30°=23．
21．【2023·衢州】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB．以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：BC＝BD．
（2）若OB＝OA，AE＝2．
①求半圆O的半径．
②求图中阴影部分的面积．
解：（1）证明：如图，连结OD．
∵BD是圆O的切线，D为切点，
∴∠ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，OC＝OD，OB＝OB，
∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），
∴BC＝BD．
（2）解：①∵OB＝OA，
∴∠OBD＝∠A，
∵Rt△ODB≌Rt△OCB，
∴∠OBD＝∠OBC，
∴∠OBD＝∠OBC＝∠A，
∵∠OBD+∠OBC+∠A＝90°，
∴∠OBD＝∠OBC＝∠A＝30°，
在Rt△ODA 中，sin∠A=ODOA，
∴OD=12OA．
∵OD＝OE，
∴OE=12OA，
∴OE＝AE＝2，
∴半圆O的半径为2．
②在Rt△ODA中，OD＝2，OA＝4，
∴AD=OA2-OD2=23，
∴S△OAD=12OD⋅AD=12×2×23=23，
∵∠A＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴S阴影部分＝S△ODA﹣S扇形ODE＝23-60π×22360=23-2π3．
23．【2023·呼和浩特】已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．
（1）求证：DM是⊙O的切线；
（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．
①当tan∠BAP=13时，求BP的长；
②求CQAP的最大值．
解：（1）证明：如图，连接OD，CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵点M为边BC的中点，
∴MC＝MD，
∴∠MDC＝∠MCD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠ACB＝90°，即∠MCD+∠OCD＝90°，
∴∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°，
即∠ODM＝90°，
∴DM⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DM是⊙O的切线；
（2）①当点P在线段BC上时，如图，过点P作PT⊥AB于点T，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=82++62=10，
设PT＝x，
∵tan∠BAP=13，
∴PTAT=13，
∴AT＝3PT＝3x，
∴BT＝AB﹣AT＝10﹣3x，
∵tan∠ABC=PTBT=ACBC，
∴x10-3x=86，
解得：x=83，
∴PT=83，
∵sin∠ABC=PTBP=ACAB，即83BP=810，
∴BP=103；
当点P在CB的延长线上时，如图，过点B作BK⊥AP于点K，
∵tan∠BAP=13，
∴BKAK=13，
设BK＝a，则AK＝3a，
在Rt△ABK中，AK2+BK2＝AB2，
即（3a）2+a2＝102，
解得：a1=10，a2=-10（舍去），
∴AK＝310，BK=10，
∵S△ABP=12AP•BK=12BP•AC，
∴APBP=ACBK=810，
设BP＝m，则AP=4105m，
在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，
即82+（m+6）2＝（4105m）2，
解得：m1=509，m2=-103（舍去），
∴BP=509；
综上所述，BP的长为103或509；
②设CP＝n，则AP=AC2+CP2=64+n2，
如图，∵AC是⊙O的直径，
∴CQ⊥AP，
∵CQ•AP＝AC•CP，
∴CQ=AC⋅CPAP=8n64+n2，
∴CQAP=8n64+n2，
∵n＞0，
∴（n﹣8）2≥0，
∴64+n2≥16n，
∴CQAP=8n64+n2≤8n16n=12，
∴CQAP的最大值为12．
23．【2023·呼伦贝尔、兴安盟】如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是AE的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若PC＝22BO，PB＝10，求BE的长．
解：
（1）证明：连接OC，
∵点C是AE的中点，
∴∠ABC＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥DB，
∵PD⊥BD，
∴PD⊥CO，
∴PC为⊙O的切线；
（2）解：连接AE，设OB＝OC＝r，
∵PC＝22BO＝22r，
∴OP=r2+(22⋅r)2=3r，
∵PB＝10，
∴3r+r＝10，即r=52．
∵OC∥DB，
∴△PCO∽△PDB，
∴OCBD=POPB，
∴52BD=15210，
∴BD=103，
∵AB是⊙O的直径，
∴AE⊥BD，
∴AE∥PD，
∴BEBD=BABP，
∴BE103=510，
∴BE=53．
24．【2023·盐城】如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长．
解：（1）BC与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB平分∠CAD，
∴∠DAB＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠OBA，
∴AD∥OB，
∵AD⊥CB，
∴OB⊥CB，
∵OB是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
（2）∵∠D＝90°，AC＝10，DC＝8，
∴AD=AC2-DC2=6，
∵AD∥OB，
∴OBAD=OCAC，
∴OB6=10-OA10，
∵OA＝OB，
∴OB=154，
∴⊙O的半径长为154．
23．【2023·鞍山市】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交BA的延长线于点E，连接BD．若∠EAD+∠BDF＝180°．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若BE＝10，sin∠BDC=23，求⊙O的半径．
解：（1）证明：连接OD，如图：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DF⊥BC，
∴∠F＝90°，
∵∠EAD+∠BDF＝180°．
∴∠BDF＝∠BAD，
∴∠ABD＝∠DBF，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠DBF，
∴OD∥BF，
∵BF⊥EF，
∴OD⊥EF，
∵OD是半径，
∴EF为⊙O的切线．
（2）解：连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DF⊥BC，
∴AC∥EF，
∴∠E＝∠BAC＝∠BDC，
设半径为r，则OE＝10﹣r，
在Rt△EOD中，
sinE＝sin∠BDC=23，即r10-r=23，
解得r＝4，
经检验，r＝4是原方程的解，
∴⊙O的半径为4．
22．【2023·朝阳】如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点D，E，点F在BC上，∠CDF＝∠ABD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BE=DE，tan∠CDF=43，BC=10，求⊙O的半径．
解：（1）证明：如图，连接OD，
∵AB是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDF+∠CDF＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠CDF＝∠ABD，
∴∠ODB＝∠CDF，
∴∠ODB+∠BDF＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O 的切线；
（2）解：如图，连接AE，
∵BE=DE，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AB是⊙O 的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝∠AEC，
∵AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB＝AC，
∵tan∠CDF=43，∠CDF＝∠ABD，
∴tan∠ABD=43，
在Rt△ABD中，ADBD=43，
设AD＝4x，则BD＝3x，
∴AB=(4x)2+(3x)2=5x，
∴AC＝5x，
∴CD＝x，
在Rt△BDC中，BD2+CD2＝BC2，
∴（3x）2+x2＝（10）2，
∴x＝l，
∴5x＝5，
∴AB＝5，
∴OA=52，
∴⊙O的半径为52．
23．【2023·盘锦】如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长AC到点G，使得CG＝CB，连接GB．过点C作CD∥GB，交AB于点F，交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交GB的延长线于点E．
（1）求证：DE与⊙O相切．
（2）若AC＝4，BC＝2，求BE的长．
解：（1）证明：连接OD，如图：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠BCG＝90°，
∵CG＝CB，
∴△BCG为等腰直角三角形，
∴∠G＝∠CBG＝45°，
∵CD∥GB，
∴∠ACD＝∠C＝45°，∠BCD＝∠CBG＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE＝∠AOD＝90°，
即：OD⊥DE，
又点D在⊙O上，
∴OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线，
即：DE与⊙O相切．
（2）解：由（1）可知：∠ABC＝90°，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠AOD＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝2，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=25，
∴OA=OB=OD=5，
∵CD∥GB，AC＝4，BC＝CG＝2，
∴BF：AF＝AC：CG＝4：2＝2：1，
设BF＝k，AF＝2k，
∴AB=AF+BF=3k=25，
∴k=253，
∴AF=2k=453，
∴OF=AF-OA=453-5=53，
在Rt△ODF中，OD=5，OF=53，
由勾股定理得：DF=OD2+OF2=523，
∵CD∥GB，DE∥AB，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴BE=DF=523．
26．【2023·西藏】如图，已知AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，交⊙O于点E，垂足为点D，AC平分∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长．
解：（1）证明：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD．
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD．
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，交OC于点F，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AD⊥CD，OC⊥CD，
∴四边形EFCD为矩形，
∴EF＝CD，ED＝CF，OF⊥BE，
∴EF＝BF．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB=AC2+CB2=10．
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴ACAB=CDCB=ADAC，
∴810=CD6=AD8，
∴CD＝4.8，AD＝6.4．
∴EF＝CD＝4.8，
∴BE＝2EF＝9.6，
∴AE=AB2-BE2=2.8，
∴DE＝AD﹣AE＝6.4﹣2.8＝3.6．
24．【2023·黄石】如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC•PC＝BC2；
（3）已知BC2＝3FP•DC，求AFAB的值．
解：（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴DA∥OC，
∵CD⊥DA，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵∠DAC＝∠PBC，
∴∠BAC＝∠PBC，
又∵∠ACB＝∠BCP，
∴△ACB∽△BCP，
∴ACBC=BCPC，
∴AC•PC＝BC2；
（3）解：如图2，过P作PE⊥AB于点E，
由（2）可知，AC•PC＝BC2，
∵BC2＝3FP•DC，
∴AC•PC＝3FP•DC，
∵CD⊥DA，
∴∠ADC＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCP＝90°，
∴∠ADC＝∠BCP，
∵∠DAC＝∠CBP，
∴△ACD∽△BPC，
∴ACBP=DCPC，
∴AC•PC＝BP•DC，
∴BP•DC＝3FP•DC，
∴BP＝3FP，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴PF⊥AD，
∵AC平分∠DAB，PE⊥AB，
∴PF＝PE，
∵S△APFS△APB=12AF⋅FP12AB⋅PE=12AF⋅FP12BP⋅AF，
∴AFAB=FPBP=FP3FP=13．
22．【2023·襄阳】如图，在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，与BC交于点E，F，DG是⊙O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，且GH⊥AC．​
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，GH＝3，求DE的长l．
解：（1）证明：连接OA，过点O作OM⊥AC于点M，如图：

∵AB＝AC，点O是BC的中点，
∴AO为∠BAC的平分线，
∵⊙O与AB相切于点D，DG是⊙O的直径，
∴OD为⊙O的半径，
∴OD⊥AB，
又OM⊥AC，
∴OM＝OD，
即OM为⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过点E作EN⊥AB于点N，如图：
∵点O为⊙O的圆心，
∴OD＝OG，OE＝OF，
在△ODE和△OGF中，
OD=OG∠DOE=∠GOFOE=OF，
∴△ODE≌△OGF（SAS），
∴DE＝GF，
∵DE＝2，GH＝3，
∴GF＝2，
∴FH＝GH﹣GF＝3﹣2＝1，
∵AB＝AC，点O是BC的中点，
∴OB＝OC，∠B＝∠C，
又OE＝OF，
∴BE＝CF，
∵GH⊥AC，EN⊥AB，
∴∠BNE＝∠CHF＝90°，
在△BNE和△CHF中，
∠BNE=∠CHF=90°∠B=∠CBE=CF，
∴△BNE≌△CHF（AAS），
∴EN＝FH＝1，
在Rt△DEN中，DE＝2，EN＝1，
∴sin∠EDN=ENDE=12，
∴锐角∠EDN＝30°，
由（1）可知：OD⊥AB，
∴∠ODE＝90°﹣∠EDN＝90°﹣30°＝60°，
又OD＝OE，
∴△ODE为等边三角形，
∴∠DOE＝60°，OD＝OE＝DE＝2，
∴DE的长l=60π×2180=2π3．
20．【2023·甘孜州】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点E．
（1）求证：∠DCE＝∠DBC；
（2）若AB＝2，CE＝3，求⊙O的半径．
解：（1）证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°．
∵CE为⊙O的切线，
∴CE⊥BC，
∴∠BCE＝90°．
∵∠DCE+∠BCD＝90°，∠DBC+∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝∠DBC；
（2）解：∵∠ABC+∠BCE＝90°+90°＝180°，
∴AB∥CE，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBC，
在Rt△ABC中，tanA=BCAB=BC2，
在Rt△BCE中，tan∠EBC=CEBC=3BC，
即BC2=3BC，
∴BC2＝2×3＝6，
∴BC=6，
∴⊙O的半径为62．
20．【2023·攀枝花】如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC＝∠B，求证：直线CD与⊙O相切．
证明：如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠ADC＝∠B，
∴∠ODA+∠ADC＝90°，
即∠CDO＝90°，
∴CD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线CD与⊙O相切．
宁夏
24．【2023·宁夏24题】如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E．连接AC．
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）若AC＝5，tan∠ACE=34，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，由切线的性质得到OC⊥DC，进而得到OC∥AE，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可证得结论；
（2）连接DE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDE＝90°，再利用（1）的结论可得tan∠ABC＝tan∠ACE=34，从而求出BC的长，然后再利用勾股定理求出AB的长，即可解答．
（1）证明：连接OC，
∵直线DC是⊙O的切线，切点为C，∴OC⊥DC.
又∵AE⊥DC，垂足为E，∴OC∥AE.∴∠EAC＝∠ACO.
∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC.∴∠EAC＝∠OAC.
∴AC平分∠BAE.
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
又∵AE⊥DC，由（1）得：∠EAC＝∠OAC，∴∠ABC＝∠ACE.
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝tan∠ACE=34，
∴ACBC=5BC=34.∴BC=203.
在Rt△ABC中，AB=AB2+BC2=253，
∴OA=256．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
新疆
22．【2023·新疆生产建设兵团】如图，AB是⊙O的直径，点C，F是⊙O上的点，且∠CBF＝∠BAC，连接AF，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点E，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若tanE＝，BE＝4，求FH的长．
（1）证明：连接OC交BF于点I，则OC＝OA，
∵∠CBF＝∠BAC，∠CBF＝∠CAF，∴∠BAC＝∠CAF.
∴＝.∴OC垂直平分BF.
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AF交AF的延长线于点D，
∴∠D＝∠AFB＝90°.∴DE∥FB.∴∠OCE＝∠OIB＝90°.
∵OC是⊙O的半径，DE经过点C且DE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：作BL⊥CE于点L，则∠BLE＝∠BLC＝90°，
∵∠BIC＝∠ICL＝90°，∴四边形BICL是矩形.
∵＝tanE＝，∴BL＝EL.
∵BE＝4，OB＝OC，
∴BE＝＝＝EL＝4.
∴EL＝.∴IC＝BL＝×＝.
∴＝＝sinE＝＝.∴OC＝OE＝（OC+4）.
∴OB＝OC＝6.∴OE＝OB+BE＝6+4＝10.
∴CE＝＝＝8.
∵OI＝OC﹣IC＝6﹣＝，∴AF＝2OI＝2×＝.
∵FG⊥AB于点G，∴∠AGF＝90°.
∴∠AFH＝∠E＝90°﹣∠DAE.
∵∠FAH＝∠ECB＝90°﹣∠ACD，∴△AFH∽△CEB.
∴＝＝＝.∴FH＝BE＝×4＝.
∴FH的长是．
云南省
23．【2023·云南】如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点．⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA•AC＝DC•AB．设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S2．
（1）判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC＝BE，S2＝mS1，求常数m的值．
解：（1）AE与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵DA•AC＝DC•AB，∴，
∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°＝∠ADC，
∴△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠ACD，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACB＝∠ACD，
∴OA∥CD，
∴∠OAE＝∠CDE＝90°，∴OA⊥DE，
又∵OA为半径，∴AE与⊙O相切；
（2）如图，∵OA∥CD，
∴△AOE∽△DCE，∴，
设BO＝OC＝OA＝a，则BC＝2a，
∵BC＝BE＝2a，∴S△ABE＝S△ABC，EO＝3a，EC＝4a，
∴，∴CD＝a，
∵△ABC∽△DAC，
∴，∴AC2＝BC•CD＝a2，
∵△ABC∽△DAC，∴＝（）2＝，
∴S2＝S1，∴m＝．
广西
23．【2023·广西23题】如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求PA的长．
【分析】（1）由切线的性质得PA⊥OA，而PO平分∠APD，OB⊥PD，所以OB＝OA，则点B在⊙O上，即可证明PB是⊙O的切线；
（2）由OA＝OB＝4，OC＝5，得AC＝OA+OC＝9，BC=OC2-OB2=3，由PAAC=OBBC=tan∠ACP=43，得PA=43AC＝12，所以PA的长是12．
（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A，且OA是⊙O的半径，
∴PA⊥OA.
∵PO平分∠APD，OB⊥PD于点B，OA⊥PA于点A，∴OB＝OA.
∴点B在⊙O上.
∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线.
（2）解：∵OA＝OB＝4，OC＝5，∴AC＝OA+OC＝4+5＝9.
∵∠OBC＝90°，∴BC=OC2-OB2=52-42=3.
∵∠A＝90°，∴PAAC=OBBC=tan∠ACP=43.
∴PA=43AC=43×9＝12.
∴PA的长是12．
【点评】此题重点考查切线的性质定理、角平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，根据角平分线的性质证明OB＝OA是解题的关键．
福建省
21．【2023·福建21题】如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC．
（1）求证：AO∥BE；
（2）求证：AO平分∠BAC．
【分析】（1）根据切线的性质得到AF⊥OA，求得∠OAF＝90°，根据圆周角定理得到∠CBE＝90°，求得∠OAF＝∠CBE，根据平行线的性质得到∠BAF＝∠ABC，于是得到∠OAB＝∠ABE，根据平行线的判定定理即可得到AO∥BE；
（2）根据圆周角定理得到∠ABE＝∠ACE，根据等腰三角形的性质得到∠ACE＝∠OAC，等量代换得到∠ABE＝∠OAC，由（1）知，∠OAB＝∠ABE，根据角平分线的定义即可得到结论．
证明：（1）∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°.
∵CE是⊙O的直径，∴∠CBE＝90°.∴∠OAF＝∠CBE.
∵AF∥BC，∴∠BAF＝∠ABC.∴∠OAF﹣∠BAF＝∠CBE﹣∠ABC，
即∠OAB＝∠ABE.∴AO∥BE.
（2）∵∠ABE 与∠ACE 都是EA所对的圆周角，∴∠ABE＝∠ACE.
∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠OAC.∴∠ABE＝∠OAC.
由（1）知，∠OAB＝∠ABE，
∴∠OAB＝∠OAC.∴AO平分∠BAC．
江西省
20．【2023•江西20题】如图，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为ABD上一点，且∠ADE＝40°．
（1）求BE的长；
（2）若∠EAD＝76°，求证：CB为⊙O的切线．
（1）解：∵∠ADE＝40°，∴∠AOE＝2∠ADE＝80°.
∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝100°，
∵AB＝4，∴⊙O半径长是2.
∴BE的长=100π×2180=10π9.
（2）证明：∵∠EAB=12∠EOB＝50°，
∴∠BAC＝∠EAD﹣∠EAB＝76°﹣50°＝26°.
∵∠C＝64°，∴∠C+∠BAC＝90°.
∴∠ABC＝180°﹣（∠C+∠BAC）＝90°.
∴直径AB⊥BC.，∴CB为⊙O的切线．
天津
21．【2023•天津21题】在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB所对的优弧上一点．
（I）如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；
（II）如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长．
【分析】（I）由垂径定理得到AC=BC，因此∠BOC＝∠AOC＝60°，得到∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，由圆周角定理即可求出∠CEB的度数；
（II）由垂径定理，圆周角定理求出∠CEB的度数，得到∠C的度数，由三角形外角的性质求出∠EOG的度数，由锐角的正切定义即可求出EG的长．
解：（I）∵半径OC垂直于弦AB，∴AC=BC.
∴∠BOC＝∠AOC＝60°.∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°.
∵∠CEB=12∠BOC，∴∠CEB＝30°.
（II）如图，连接OE.
∵半径OC⊥AB，∴AC=BC.∴∠CEB=12∠AOC＝30°.
∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠B＝75°.
∴∠DFC＝∠EFB＝75°.∴∠DCF＝90°﹣∠DFC＝15°.
∵OE＝OC，∴∠C＝∠OEC＝15°.∴∠EOG＝∠C+∠OEC＝30°.
∵GE与⊙O相切于点E，∴∠OEG＝90°.∴tan∠EOG=EGOE=33.
∵OE＝OA＝3，∴EG=3．
甘肃省
25．【2023·甘肃省卷25题】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为5，sin B=35时，求CE的长．
（1）证明：∵CO平分∠BCD，∴∠OCB＝∠OCD.
∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO＝∠OCD.
∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠OCD，∴OC∥DE.
∵CE⊥AD，∴∠E＝90°.∴∠OCE＝∠E＝90°.∴OC⊥CE.
∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线.
（2）解：∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5，∴∠ACB＝90°，AB＝10.
∵sin B=ACAB=35，∴AC＝6.
∵∠OCE＝∠ACO+∠ACE＝90°，∠ACB=∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACE＝∠OCB＝∠B.∴sin∠ACE＝sin B=AEAC=35∴AE＝3.6.
∴CE=AC2-AE2=4.8．
26. 【2023·兰州26题】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BC=BD，DE⊥AC于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD＝2∠F，连接BD．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）判断△DGB的形状，并说明理由；
（3）当BD＝2时，求FG的长．

（1）证明：连接OC，如图.
∵BD=BC，∴∠BOD＝∠BOC＝2∠A.
又∵∠BOD＝2∠F，∴∠A＝∠F.
又∵∠AGE＝∠BGF，∴∠AEG＝∠GBF.
∵DE⊥AC，∴∠AEG＝90°.∴∠GBF＝90°.∴OB⊥BF.
∵OB为⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线.
（2）解：△DGB为等腰三角形，理由如下：
∵DB=BC，AB是⊙O的直径，
∴AD=AC，BC⊥AC.∴∠ABD＝∠ABC.
∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴EF∥BC.
∴∠AGE＝∠ABC.
又∠AGE＝∠DGB，∴∠DGB=∠ABD.∴DB＝DG，即△DBG为等腰三角形.
（3）解：由（1）∠F+∠FGB=90°，∠DBF+∠DBG=90°，
由（2）可知，∠FGB=∠DBG，∴∠F＝∠DBF.
∴DF＝DB.∴DF＝DG＝DB＝2.
∴FG＝4．
河北省
24．【2023·河北24题】装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．
计算 在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.
（1）求OC的长．
操作 将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．
探究 在图2中．
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与EQ的长度，并比较大小．
解：（1）连接OM，
∵O为圆心，OC⊥MN于点C，MN＝48cm，
∴MC=12MN＝24cm．
∵AB＝50cm，∴OM=12AB＝25cm．
在Rt△OMC 中，OC=OM2-MC2=252-242=7（cm）．
（2）∵GH与半圆的切点为E，∴OE⊥GH．
∵MN∥GH，∴OE⊥MN于点D．
∵∠ANM＝30°，ON＝25cm，
∴OD=12ON=252cm．
∴操作后水面高度下降高度为：252-7=112cm．
（3）∵OE⊥MN于点D，∠ANM＝30°，
∴∠DOB＝60°．
∵半圆的中点为Q，∴AQ=QB．
∴∠QOB＝90°．∴∠QOE＝30°．
∴EF＝tan∠QOE•OE=2533（cm），
EQ的长为30×π×25180=25π6（cm）．
∵2533-256π=503-25π6=25(23-π)6＞0，
∴EF＞EQ．
浙江省
20．【2023·金华】如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形ABOH为矩形．
（2）已知⊙A的半径为4，OB=7，求弦CD的长．
（1）证明：∵⊙A与x轴相切于点B，∴AB⊥x轴.
又∵AH⊥CD，HO⊥OB，∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°.
∴四边形AHOB是矩形.
（2）解：连结AD，
∵四边形AHOB是矩形，∴AH＝OB=7.
∵AD＝AB＝4，∴DH=AD2-AH2=42-(7)2=3.
∵AH⊥CD，∴CD＝2DH＝6．
23．【2023·台州】我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
（1）如图1，当AB＝6，BP长为π时，求BC的长；
（2）如图2，当AQAB=34，BP=PQ时，求BCCD的值；
（3）如图3，当sin∠BAQ=64，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出PQBP的值．
解：（1）如图，连接OP，
设∠BOP的度数为n，
∵AB＝6，BP长为π，∴nπ×3180=π.∴n＝60，即∠BOP＝60°.∴∠BAP＝12∠BOP=30°.
∵直线l是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°.∴BC=AB3=23.
（2）如图，连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，
∵AB为⊙O直径，∴∠BQA＝90°.∴cs∠BAQ=AQAB=34.
∵BP=PQ，∴∠BAC＝∠DAC.∵CF⊥AD，AB⊥BC，∴CF＝BC.
∵∠BAQ+∠ADB＝90°，∠FCD+∠ADB＝90°，
∴∠FCD＝∠BAQ.∴BCCD=CFCD=cs∠FCD＝cs∠BAQ=34.
（3）104【解析】如图，连接BQ，证明△APQ∽△ADC，得PQCD=APAD①，证明△APB∽△ABC，得 BPBC=APAB②，由BC＝CD，将①②两式相除得：PQBP=ABAD，故PQBP=64．
如图，连接BQ，
∵AB⊥BC，BQ⊥AD，∴∠ABQ＝90°﹣∠QBD＝∠ADC.
∵∠ABQ＝∠APQ，∴∠APQ＝∠ADC.
又∵∠PAQ＝∠DAC，∴△APQ∽△ADC，∴PQCD=APAD①；
∵∠ABC＝90°＝∠APB，∠BAC＝∠PAB，∴△APB∽△ABC，∴BPBC=APAB②，
由BC＝CD，将①②两式相除得PQBP=ABAD.∵cs∠BAQ=ABAD=104，∴PQBP=104．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质及应用．
山东省
21.【2023·威海】 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点，．连接，．

（1）求点的坐标；
（2）求的值．
【分析】（1）如图，连接，，过点P作，垂足为D，由垂径定理得，由，得，，由切线性质，得 ，，进一步可证四边形是矩形，得， 中，，于是的坐标；
（2）如图，由等腰三角三线合一，得，由圆周角定理，而，从而，中，，于是．
解：（1）如图，连接，，过点P作，垂足为D，则
∵点，
∴，

∵与轴相切于点，∴，.
∵，∴四边形是矩形.
∴.∴.
中，，
∴点的坐标.
（2）如图，，，∴
而，∴.
中，，∴.
【点评】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理，垂径定理，添加辅助线构造直角三角形，运用勾股定理是解题的关键．
21．【2023·东营】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝23，求BD的长．
【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠CED＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）连接AD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，因为AB＝AC，CD＝23，所以BD＝CD＝23．
（1）证明：连接OD，则OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，∴∠ODE＝∠CED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，CD＝23，∴BD＝CD＝23，
∴BD的长是23．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理等知识，证明OD∥AC是解题的关键．
21．【2023·济宁】如图，作CF⊥OE，交BE于点F，若EF＝2BF．
（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；
（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
​
【分析】（1）根据CF⊥OE，OC是半径，可得CF是圆O的切线，根据BE是圆O的切线，由切线长定理可得BF＝CF，进而根据 sinE=CFEF=12，得出∠E＝30°，∠EOB＝60°，根据CD＝CB得出CD=CB，根据垂径定理的推论得出OC⊥BD，进而得出∠ADB＝90°＝∠EBO，根据含30度角的直角三角形的性质，得出AD＝BO=12AB，即可证明△ABD≌△OEB（AAS）；
（2）延长ND至H使得DH＝BM，连接CH，BD，根据圆内接四边形对角互补得出∠HDC＝∠MBC，证明△HDC≌△MBC（SAS），结合已知条件证明△CNH≌△CNM（SAS），得出NH＝MN，即可得出结论．
（1）证明：∵CF⊥OE，OC是半径，
∴CF是圆O的切线，
∵BE是圆O的切线，∴BF＝CF，
∵EF＝2BF，
∴EF＝2CF，sinE=CFEF=12，
∴∠E＝30°，∠EOB＝60°，
∵CD＝CB，∴CD=CB，∴OC⊥BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°＝∠EBO，
∵∠E+∠EBD＝90°，∠ABD+∠EBD＝90°，
∴∠E＝∠ABD＝30°，∴AD＝BO=12AB，
∴△ABD≌△OEB（AAS）；
（2）解：MN＝BM+DN，理由如下：
延长ND至H使得DH＝BM，连接CH，BD，如图2所示，
∵∠CBM+∠NDC＝180°，∠HDC+∠NDC＝180°，
∴∠HDC＝∠MBC，
∵CD＝CB，DH＝BM，∴△HDC≌△MBC（SAS），
∴∠BCM＝∠DCH，CM＝CH，
由（1）可得∠ABD＝30°，
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝60°，∴∠DCB＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠MCN＝60°，
∴∠BCM+∠NCD＝120°﹣∠NCM＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DCH+∠NCD＝∠NCH＝60°，∴∠NCH＝∠NCM，
∵NC＝NC，∴△CNH≌△CNM（SAS），
∴NH＝MN，∴MN＝DN+DH＝DN+BM，
∴MN＝BM+DN．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了切线的判定，切线长定理，垂径定理的推论，全等三角形的性质与判定，根据特殊角的三角函数值求角度，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
24．【2023·聊城】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CD＝12，tan∠ABC=34，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，由题意得到OD＝OE，根据等腰三角形的性质得到∠OED＝∠ODE，求得∠OED＝∠CDE，根据平行线的判定定理得到OE∥CD，根据∠ACB＝90°，得到OE⊥AC，于是得到结论；
（2）过D作DF⊥AB，根据角平分线的小知道的CD＝DF，根据勾股定理得到BD=DF2+BF2=20，求得AC＝BC•tan∠ABC＝24，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
（1）证明：连接OE，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，
∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ODE，
∴∠OED＝∠CDE，∴OE∥CD，
∵∠ACB＝90°，∴∠AEO＝90°，∴OE⊥AC；
（2）解：过D作DF⊥AB，
∵AD平分∠A＝BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CD＝DF，
∵CD＝12，tan∠ABC=34，∴BF=DFtan∠ABC=16，
∴BD=DF2+BF2=20，∴BC＝CD+BD＝32，
∴AC＝BC•tan∠ABC＝24，
∴AD=AC2+CD2=125，
∵OE∥CD，∴△AEO∽△ACD，
∴EOCD=AOAD，∴EO12=125-OD125=125-EO125，
解得EO＝15﹣35，
∴⊙O的半径为15﹣35．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
21．【2023·临沂】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求CD的长．
（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA=180°-∠AOB2，∠OAC＝∠OCA=180°-∠AOC2.
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOC＝2∠ABC，∴∠AOB＝∠AOC，
∴180°-∠AOB2=180°-∠AOC2，∴∠OAB＝∠OAC，∴AF⊥BC，
∵AE∥BC，∴∠OAE＝∠AFB＝90°，
∴OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ACB＝∠ABC＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
∴△BOC是等边三角形，∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°，
∴OC＝BC＝2，∴lCD=120π×2180=4π3，∴CD的长是4π3．
22．【2023·烟台】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan∠ADB的值．
【分析】（1）连接OA，则∠OAF＝∠OFA，由垂径定理得OF⊥AD，则∠AGF＝90°，由菱形的性质得AB＝AD，AC⊥BD，则∠BAE＝∠DAE，所以∠OAB＝∠OAF+∠BAE＝∠OFA+∠DAE＝90°，即可证明AB是⊙O的切线；（2）由OAAD=58，AD＝2AG，得OAAG=54，设AG＝4m，则OF＝OA＝5m，由勾股定理得OG=OA2-AG2=3m，则FG＝2m，再证明∠ADB＝∠AFG，则tan∠ADB＝tan∠AFG=AGFG=2．
（1）证明：连接OA，则OF＝OA，∴∠OAF＝∠OFA.
∵AG＝GD，∴OF⊥AD.∴∠AGF＝90°.
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD.∴∠BAE＝∠DAE.
∴∠OAB＝∠OAF+∠BAE＝∠OFA+∠DAE＝90°.
∴OA是⊙O半径，且AB⊥OA.∴AB是⊙O的切线．
（2）解：∵OAAD=58，AD＝2AG，∴OA2AG=58.∴OAAG=54.
设AG＝4m，则OA＝5m，∴OF＝OA＝5m.
∵∠AGO＝90°，∴OG=OA2-AG2=(5m)2-(4m)2=3m.
∴FG＝OF﹣OG＝5m﹣3m＝2m.
∵∠AED＝∠AGF＝90°，∴∠ADB＝∠AFG＝90°﹣∠DAE.
∴tan∠ADB＝tan∠AFG=AGFG=4m2m=2.∴tan∠ADB的值是2．
22．【2023•枣庄】如图，AB为⊙O的直径，点C是AD的中点，过点C做射线BD的垂线，垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BE＝3，AB＝4，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．
【分析】（1）连接OC，证明OC∥BE，即可得到结论．
（2）连接AC，证明△ACB∽△CEB，从而可得ABBC=BCBE，再代入求值即可．
（3）连接OD，CD，证明CD∥AB，从而可得S△COD＝S△CBD，求出扇形COD的面积即可得到阴影部分的面积．
（1）证明：如图，连接OC，
∵点C是AD的中点，∴AC=DC.∴∠ABC＝∠EBC.
∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB.
∴∠EBC＝∠OCB.∴OC∥BE.
∵BE⊥CE，∴半径OC⊥CE.∴CE是⊙O的切线．
（2）解：如图，连接AC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACB＝∠CEB＝90°.
∵∠ABC＝∠EBC，∴△ACB∽△CEB.∴ABBC=BCBE.
∴4BC=BC3.∴BC=23．
（3）解：如图，连接OD，CD，
∵AB＝4，∴OC＝OB＝2.
在Rt△BCE中，BC=23，BE=2，∴cs∠CBE=BEBC=323=32.
∴∠CBE＝30°.∴∠COD＝60°.∴∠AOC＝60°.
∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形.
∴∠CDO＝60°.∴∠CDO＝∠AOC，
∴CD∥AB.∴S△COD＝S△CBD，
∴S阴影=S扇形COD=60π×22360=23π．
【点评】本题考查了圆的综合应用，熟练掌握切线的判断定理以及扇形面积的求法是解题的关键．
湖南省
24．【2023·娄底】如图1，点G为等边△ABC的重心，点D为BC边的中点，连接GD并延长至点O，使得DO＝DG，连接GB，GC，OB，OC．
（1）求证：四边形BOCG为菱形．
（2）如图2，以O点为圆心，OG为半径作⊙O．
①判断直线AB与⊙O的位置关系，并予以证明．
②点M为劣弧BC上一动点（与点B、点C不重合），连接BM并延长交AC于点E，连接CM并延长交AB于点F，求证：AE+AF为定值．
​
【分析】（1）由等边三角形的性质得出GO⊥BC，且BD＝DC即可得证；
（2）①直线AB与⊙O的位置关系是相切，先由等边三角形的性质得出∠ABG＝∠GBO＝30°，再结合菱形的性质即可得证；
②先求出∠BMC，再说明△BEC≌△FCA（ASA），从而得出AF＝CE，结合AE+CE＝AC可得AE+AF＝AE+CE＝AC，即AE+AF为定值．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，G是重心，点D为BC边的中点，
∴连接点A、G、D，其所在直线是BC的垂直平分线，
∴GO⊥BC，且BD＝DC，
∵DO＝DG，∴GO与BC互相垂直且平分，
∴四边形BOCG是菱形；
（2）①解：直线AB与⊙O的位置关系是相切，
证明：∵等边△ABC中，∠ABC＝60°，BG为∠ABC的角平分线，
∴∠ABG＝∠GBO＝30°，
∵四边形BOCG是菱形，∴∠CBO＝∠GBC＝30°，
∵∠ABO＝∠ABG+∠GBC+∠CBO＝90°，
∴AB⊥OB，即AB与⊙O相切；
②证明：∵∠BGC与∠BMG对应的弦为BC，
∴∠BMC＝∠BGC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠MBC＝180°﹣120°﹣∠MCB＝60°﹣∠MCB，
∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°﹣∠MCB，
∴∠ACF＝∠MBC，
∵∠BCE＝∠A＝60°，BC＝AC，
∴△BEC≌△FCA（ASA），∴AF＝CE，
∵AE+CE＝AC，
∴AE+AF＝AE+CE＝AC，即AE+AF为定值．
【点评】本题考查切线的判定和性质，与圆有关的性质概念，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等，熟练掌握以上性质是解题关键．
24．【2023·长沙】如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧AC上）．
（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tanD）2的值；
（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•1BC⋅BN+1AE⋅AC=y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
解:（1）BD是⊙O的切线．
证明：在△ABC中，AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°．
又点A，B，C在⊙O上，∴AB是⊙O的直径．
∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．
又∠DBC＝∠CAB，∴∠DBC+∠ABC＝90°．
∴∠ABD＝90°．∴BD是⊙O的切线．
（2）方法1：
方法2：由题意得，S1=12BC•CD，S2=12BC•AC，S=12AD•BC．
∵S1•S＝（S2）2，∴12BC•CD•12AD•BC＝（12BC•AC）2．
∴CD•AD＝AC2．∴CD（CD+AC）＝AC2．
又∵∠D+∠DBC＝90°，∠ABC+∠A＝90°，∠DBC＝∠A，
∴∠D＝∠ABC．∴tan∠D=BCCD=tan∠ABC=ACBC．
∴CD=BC2AC．
又CD（CD+AC）＝AC2，∴BC4AC2+BC2＝AC2．
∴BC4+AC2•BC2＝AC4．∴1+（ACBC）2＝（ACBC）4．
由题意，设（tan∠D）2＝m，∴（ACBC）2＝m．
∴1+m＝m2．∴m=1±52．
∵m＞0，∴m=1+52．∴（tan∠D）2=1+52．
（3）
方法3：设∠A＝α．
∵∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBC＝∠ABC+∠N＝90°，
∴∠A＝∠DBC＝∠N＝α．
如图，连接OM．
∴在Rt△OFM中，OF=OM2-FM2=1-x2．
∴BF＝BO+OF＝1+1-x2，AF＝OA﹣OF＝1-1-x2．
∴在Rt△AFE中，EF＝AF•tanα＝（1-1-x2）•tanα，AE=AFcsα=1-1-x2csα．
在Rt△ABC中，BC＝AB•sinα＝2sinα，AC＝AB•csα＝2csα．
在Rt△BFN中，BN=BFsinα=1+1-x2sinα，FN=BFtanα=1+1-x2tanα．
∴y＝FE•FN•1BC⋅BN+1AE⋅AC
＝x2•12+21-x2+12-21-x2
＝x2•2-21-x2+2+21-x24-4(1-x2)
＝x2•1x2
＝x2•1x
＝x．
即y＝x．
∵FM⊥AB，∴FM最大值为F与O重合时，即为1．∴0＜x≤1．
综上，y＝x，0＜x≤1．
24．【2023·常德】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是BD的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AC＝8，求CE．DE的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及圆心角、弦、弧之间的关系可得∠CAE＝∠OCA，进而得到OC∥AE，再根据平行线的性质得出OC⊥EC即可；
（2）利用相似三角形的性质，勾股定理以及圆心角、弧、弦之间的关系进行计算即可．
（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵点C是BD的中点.∴∠OAC＝∠CAE.
∴∠CAE＝∠OCA.∴OC∥AE.
∵AE⊥CE，∴OC⊥CE.
∵OC是半径，∴CE是⊙O的切线.
（2）解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°.
∵BC＝6，AC＝8，∴AB=BC2+AC2=10.
又∵∠BAC＝∠CAE，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△AEC∽△ACB.
∴ECCB=ACAB，即EC6=810.∴EC=245.
∵点C是BD的中点，即BC=CD，∴CD＝BC＝6.
∴DE=62-(245)2=185.
【点评】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系，掌握切线的判定方法，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系是正确解答的前提．
22．【2023·张家界】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AD＝10，csB=35，求FD的长．
【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由csB=35，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案．
（1）证明：连接OC，
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠B＝∠ADC，csB=35，
∴cs∠ADC=35，
在Rt△ACD中，
∵cs∠ADC=35=CDAD，AD＝10，
∴CD＝AD•cs∠ADC＝10×35=6，
∴AC=AD2-CD2=8，∴CDAC=34，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，∴CDAC=FCFA=FDFC=34，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+10，
又∵FC2＝FD•FA，
即（4x）2＝3x（3x+10），解得x=307（取正值），
∴FD＝3x=907．
【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
23．【2023·郴州】如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝120°，CD＝23，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
（1）证明：连接OC．
∵AB是直径，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°．
∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠OCA＝∠A＝∠BCD．
∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD．
∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°．
∴∠AOC＝2∠A＝60°．
在Rt△OCD中，tan∠AOC=CDOC=tan60°，CD＝23．
∴23OC=3，解得OC＝2．
∴阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形BOC=12×23×2-60×π×2360=23-2π3．
22．【2023·怀化】如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC，AC，OC，且PC＝PA．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD•OC＝PA•OD；
（3）若∠CAB＝30°，OD＝8，求阴影部分的面积．
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，
∴PA⊥OA，即∠PAO＝90°．
∵点C在⊙O上，∴OC＝OA．
在△POC和△POA中，，
∴△POC≌△POA（SSS）．∴∠PCO＝∠PAO＝90°，即PC⊥OC．
又OC为⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线．
（2）证明：由（1）可知OC⊥PD，∴∠DCO＝∠DAP＝90°．
又∠ODC＝∠PDA，∴△ODC∽△PDA．
∴，即PD•OC＝PA•OD．
（3）解：∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝60°．
∵PC为○O的切线，∴OC⊥CD.
在Rt△OCD中，OD=8，∴OC=ODcs60°=4，CD=ODsin60°=4.
∴S△OCD=OC·OD=×4×4=
又∵，
∴．
25．【2023·永州】如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若AC=6，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；
（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，故∠BAC+∠ABC＝90°，由∠BAC＝∠BDA得∠BDA+∠ABC＝90°，有∠BAD＝90°，即可得证；
（2）证明△ACB∽△DCA，则 BCAC=ACDC=ACBD-BC，可得 BC6=65-BC，解得BC＝2 或BC＝3，由AC＞CD即可得到BC的长；
（3）先证明△ABC∽△DAC，则 ACDC=ABAD，得到AC•AD＝CD•AB，由 DE•AM＝AC•AD得到DE•AM＝CD•AB，故 AMDC=ABDE，由同角的余角相等得∠BAM＝∠CDE，有△AMBB∽△DCE，得∠E＝∠ABM，进一步得到∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°，则∠BNG＝90°，即可得到结论．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝∠BDA，∴∠BDA+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，∴ED是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DCA＝90°，
∴△ACB∽△DCA，∴BCAC=ACDC=ACBD-BC，
∴BC6=65-BC，
解得BC＝2或BC＝3，
当BC＝2时，CD＝BD﹣BC＝3，
当BC＝3时，CD＝BD﹣BC＝2，
∵AC＞CD，即6＞CD，∴BC＝3；
（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠DCA＝90°，
∵∠BAC＝∠BDA，∴△ABC∽△DAC，∴ACDC=ABAD，
∴AC•AD＝CD•AB，
∵DE•AM＝AC•AD，∴DE．AM＝CD•AB，∴AMDC=ABDE，
∵∠BAM＝∠CDE，
∴△AMB∽△DCE，∴∠E＝∠ABM，
∵∠EGA＝∠BGN，∴∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°，
∴∠BNG＝90°，∴BM⊥CE．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
浙江省
21．【2023·绍兴】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．
【分析】（1）由垂直的定义得到∠AEC＝90°，由三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数；
（2）由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理得到CDCE=ODOA，代入有关数据，即可求出CE的长．
解：（1）∵AE⊥CD于点E，∴∠AEC＝90°
∴∠ACD＝∠AEC+∠EAC＝90°+25°＝115°.
（2）∵CD是⊙O的切线，∴半径OC⊥DE，∴∠OCD＝90°，
∵OC＝OB＝2，BD＝1，∴OD＝OB+BD＝3，∴CD=OD2-OC2=5．
∵∠OCD＝∠AEC＝90°，∴OC∥AE，
∴CDCE=ODOA，∴5CE=32，∴CE=253．
【点评】本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出∠ACD的度数，由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理即可求出CE的长．
24．【2023·温州】如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA=32，AC＝1．如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P作PH⊥AB于点H．设PH＝x，MN＝y．
（1）求CE的长和y关于x的函数表达式；
（2）当PH＜PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值；
（3）延长PN交半圆O于点Q，当NQ=154x﹣3时，求MN的长．
解:（1）如图1，连结OD，
∵CD切半圆O于点D，∴OD⊥CE.
∵OA=32，AC＝1，∴OC=52，BC＝4
∴CD=OC2-OD2=2.
∵BE⊥CE，∴OD∥BE，
∴CDCE=COCB，即2CE=524，∴CE=165
如图2，∵∠AFB＝∠E＝90°，∴AF∥CE.
∵MN∥BC，∴四边形APMC是平行四边形，
∴CM＝PA=PHsin∠PAB=PHsinC=x35=53x.
∵NM∥BC，∴MNBC=MECE，即y4=165-53x165，∴y=-2512x+4.
（2）∵PN＝y﹣1=-2512x+4﹣1=-2512x+3，PH＜PN，△BCE的三边之比为3：4：5，
∴可分为三种情况：
综上所述，a的值为1615或2740或6041.
（3）如图3，连结AQ，BQ，过点Q作QG⊥AB于点G，
则∠AQB＝∠AGQ＝90°，PH＝QG＝x，∴∠QAB＝∠BQG.
∵NQ=154x﹣3，PN＝y﹣1=-2512x+3，
∴HG＝PQ＝NQ+PN=53x
∵AH=43x，∴AG＝AH+HG＝3x
∴tan∠BQG＝tan∠QAB=x3x=13=BGQG
∴BG=13QG=13x.∴AB＝AG+BG=103x＝3.∴x=910.
∴y=-2512x+4=178，即MN的长为178．
【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的有关知识，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24．【2023·丽水】如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是AB的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若OGGC=2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列．对应的满分值为2分，3分，4分.请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．
①若OF=52，求BC的长；
②若AH=10，求△ANB的周长；
③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．
（1）证明：∵点C，D是AB的三等分点，∴AC=CD=DB．
由CE是⊙O的直径可得CE⊥AD.∵HC是⊙O的切线，∴HC⊥CE.∴AD∥HC．
（2）解：如图1，连接AO，
∵BD=CD，∴∠BAD＝∠CAD.∵CE⊥AD，∴∠AGC＝∠AFC＝90°.
∴△CAG≌△FAG（ASA）.∴CG＝FG.
设CG＝a，则FG＝a.∵OGCG=2，∴OG＝2a，AO＝CO＝3a．
在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2＝AG2+OG2，∴（3a）2＝AG2+（2a）2.
∴AG=5a.∴tan∠FAG=FGAG=55．
（3）解：①如图1，连结OA， ∵OF=52，OC=OA=5，∴CF=52.
∴CG=FG=54.∴OG=154.∴AG=OA2-OG2=574.
∵CE⊥AD，∴AD＝2AG=572.
∵AC=CD=DB，∴AD=CB.∴BC=AD=572．
②如图2，连结CD，∵AD∥HC，FG＝CG，∴AH＝AF.
∵∠HCF＝90°，∴AC=AH=AF=10.
设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝AC2﹣CG2，即25﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，解得x＝1，
∴AG＝3，AD＝6.
∵CD=DB，∴∠DAC＝∠BCD.
∵∠CDN＝∠ADC，∴△CDN∽△ACD，∴NDCD=CDAD.
∴ND=CD2AD=53，AN=133.
∵∠BAD＝∠DAC，∠ABN＝∠ADC，∴△ANB∽△ACD.
∴C△ANB=C△ACD×ANAC=(6+210)×13310=13105+263．
③如图3，过点O作OM⊥AB于点M，则AM=MB=12AB.
设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，OF＝5﹣2x.
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝25﹣（5﹣x）2=10x﹣x2，
AF2＝AG2+FG2＝10x﹣x2+x2＝10x.
∵AD∥HC，FG＝CG，∴AH=AF=12HF.∴AG=12HC.
∴AF⋅AM=12HF⋅12AB=14HF⋅AB=14×88=22.
∵∠AGF＝∠OMF＝90°，∠AFG＝∠OFM，∴△AFG∽△OFM.
∴AFOF=GFFM，∴AF•FM＝OF•GF.
∴AF•AM＝AF•（AF+FM）＝AF2+AF•FM＝AF2+OF•GF＝22.
可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，解得x1＝2，x2＝5.5（舍去），
∴CG＝FG＝2，∴OG＝3.∴AG＝4.∴HC=8，AH=AF=25.∴S△CHA＝8.
∵AD∥HC，∴∠CAD＝∠ACH.∵AC=CD，∴∠B＝∠CAD.∴∠B＝∠ACH.
∵∠H＝∠H，∴△CHA∽△BHC，∴S△BHC=8×(HCAH)2=1285．
湖北省
20．【2023·黄冈】如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AE＝3，DE＝6，求AF的长．
【分析】（1）连接OD，由切线的性质得到半径OD⊥DE，又DE⊥AC，因此OD∥AC，推出∠C＝∠ODB，由等腰三角形的性质得到∠B＝∠ODB，故∠B＝∠C，即可证明AB＝AC；
（2）连接DF，DA，由圆周角定理得到∠F＝∠B，而∠B＝∠C，得到∠F＝∠C，推出DF＝DC，因此CE＝FE，由△DAE∽△CDE，得到DE：CE＝AE：DE，即可求出CE＝12，于是得到AF＝EF﹣AE＝12﹣3＝9．
（1）证明：连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴半径OD⊥DE.
∵DE⊥AC，∴OD∥AC.∴∠C＝∠ODB.
∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB.∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.
（2）解：连接DF，DA，
∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，∴∠F＝∠C.∴DF＝DC.
∵DE⊥CF，∴FE＝EC.
∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠ADC＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°.
∵DE⊥AC，∴∠C+∠CDE＝90°.∴∠C＝∠ADE.
∵∠AED＝∠CDE＝90°，∴△DAE∽△CDE.∴DE：CE＝AE：DE.
∵AE＝3，DE＝6，∴6：CE＝3：6.∴CE＝12.
∴EF＝EC＝12.∴AF＝EF﹣AE＝12﹣3＝9.
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由切线的性质推出OD∥AC；由等腰三角形的性质得到EF＝CE，由△DAE∽△CDE，求出CE的长．
21．【2023·随州】如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是BE的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，sin∠AFD=13，
①求⊙O的半径；
②求线段DE的长．
【分析】（1）连接OC，根据垂直定义可得∠D＝90°，根据已知易得CE=CB，从而利用等弧所对的圆周角相等可得∠DAC＝∠CAB，然后利用等腰三角形的性质可得∠CAB＝∠OCA，从而可得∠DAC＝∠OCA，进而可得AD∥OC，最后利用平行线的性质可得∠OCF＝∠D＝90°，即可解答；
（2）①过点O作OG⊥AE，垂足为G，根据垂径定理可得AG＝EG＝1，再根据垂直定义可得∠AGO＝∠DGO＝90°，从而可得∠D＝∠AGO＝90°，进而可得OG∥DF，然后利用平行线的性质可得∠AFD＝∠AOG，从而可得sin∠AOG＝sin∠AFD=13，最后在Rt△AGO中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
②根据平角定义可得∠OCD＝90°，从而可得四边形OGDC是矩形，然后利用矩形的性质可得OC＝DG＝3，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
（1）证明：连接OC，
∵AD⊥DF，∴∠D＝90°，
∵点C是BE的中点，∴CE=CB，
∴∠DAC＝∠CAB，∴OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，∴∠OCF＝∠D＝90°，
∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；
（2）解：①过点O作OG⊥AE，垂足为G，
∴AG＝EG=12AE＝1，
∵OG⊥AD，∴∠AGO＝∠DGO＝90°，
∵∠D＝∠AGO＝90°∴OG∥DF，
∴∠AFD＝∠AOG，
∵sin∠AFD=13，∴sin∠AOG＝sin∠AFD=13，
在Rt△AGO中，AO=AGsin∠AOG=113=3，
∴⊙O的半径为3；
②∵∠OCF＝90°，∴∠OCD＝180°﹣∠OCF＝90°，
∵∠OGE＝∠D＝90°，∴四边形OGDC是矩形，
∴OC＝DG＝3，
∵GE＝1，∴DE＝DG﹣GE＝3﹣1＝2，
∴线段DE的长为2．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22. 【2023·鄂州】如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径长．
【分析】（1）连接，根据弦、弧、圆周角的关系可证，根据圆的性质得，证明，得到，根据切线的判定定理证明；
（2）连接，，根据勾股定理得到的长，根据等弧对等弦得到，根据圆内接四边形对角互补得，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
（1）证明：连接，

∵点C为的中点，∴.∴.
∵，∴.∴.
∴，∴.
∵为半径，∴为切线.
（2）解：连接，，

∵，∴.
∵，，∴.
∵D是的中点，∴.∴.
∵为的直径，∴.
∵，，
∴.∴.∴.
∴.∴，.∴的半径长为．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．【2023·恩施州】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝42，求FG的长．
【分析】（1）连接OD，作OM⊥BC于M，由AC＝BC，O是AB中点，得到CO平分∠ACB，CO⊥AB，由切线的性质得到OD⊥AC，由角平分线的性质得到OD＝OM，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）作OH⊥AF于H，得到FG＝2FH，由等腰直角三角形的性质，求出OA＝4，OD＝22，由勾股定理得到AG=OA2+OG2=26，由csFGHOG=OGAG，得到GH22=2226，求出GH=263，得到FG=463．
（1）证明：连接OD，作OM⊥BC于M，
∵AC＝BC，O是AB中点，∴CO平分∠ACB，CO⊥AB，
∵AC切圆于D，∴OD⊥AC，
∴OD＝OM，∴BC是⊙O的切线；
（2）作OH⊥AG 于H，∴FG＝2GH，
∵△OAC是等腰直角三角形，∴OA=22AC=22×42=4，
∵△AOD是等腰直角三角形，∴OD=22AO＝22，∴OG＝22，
∴AG=OA2+OG2=26，
∵csFGHOG=OGAG，∴GH22=2226，∴GH=263，∴FG=463．
【点评】本题考查切线的判定和性质，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形，关键是证明O到BC的距离等于圆的半径OD长；由等腰直角三角形的性质求出AO，OD的长，由勾股定理求出AG的长，由锐角的余弦求出GH的长，即可得到FG的长．
23．【2023·仙桃】如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE，FC．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝6，求FC的长．
【分析】（1）证明△ABD≌△CED（AAS），得出AB＝CE，则四边形ABCE是平行四边形，AE∥BC，作AH⊥BC于H．得出AH为BC的垂直平分线，则OA⊥AE，又点A在⊙O上，即可得证；
（2）过点D作DM⊥BC于M，连接OB，垂径定理得出BH＝HC=12BC＝3，勾股定理得OH＝4，进而可得AH，勾股定理求得AB，证明DM∥AH，可得△CMD∽△CHA，根据相似三角形的性质得出MH，DM，然后求得BM，勾股定理求得BD，证明△FCD∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求解．
（1）证明，∵AB∥CE，∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠ECD，
又∵AD＝CD，∴△ABD≌△CED（ AAS），
∴AB＝CE．∴四边形ABCE是平行四边形．∴AE∥BC．
作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，∴AH为BC的垂直平分线．
∴点O在AH上．∴AH⊥AE．
即OA⊥AE，又点A在⊙O上，∴AE为⊙O的切线；
（2）解：过点D作DM⊥BC于M，连接OB，
∵AH为BC的垂直平分线，∴BH＝HC=12BC＝3，
∴OH=OB2-BH2=52-32=4，∴AH＝OA+OH＝5+4＝9，
∴AB＝AC=AH2+CH2=92+32=310，∴CD=12AC=3210，
∵AH⊥BC，DM⊥BC，∴DM∥AH∴△CMD∽△CHA，
又AD＝CD，∴DMAH=CMCH=CDCA=12，
∴MH=12HC=32，DM=12AH=92，∴BM＝BH+MH＝3+32=92，
∴BD=BM2+DM2=(92)2+(92)2=922，
∵∠CFD＝∠BAD，∠FDC＝∠ADB，∴△FCD∽△ABD，
∴FCAB=CDBD，∴FC310=3210922，∴FC＝52．
【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22．【2023·十堰】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）连接OE、OD，证出OE⊥BC，即可得出结论，
（2）根据S阴影＝S△OEB﹣S扇形OEF，分别求出△OEB和扇形OEF的面积即可．
（1）证明：连接OE、OD，如图：
∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠OAD＝∠B＝45°，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵点E是弧DF的中点．
∴∠DOE＝∠EDF=12∠DOF＝45°，
∴∠OEB＝180°﹣∠EOF﹣∠B＝90°
∴OE⊥BC，
∵OE是半径，∴BC是⊙O的切线，
（2）解：∵OE⊥BC，∠B＝45°，
∴△OEB是等腰三角形，
设BE＝OE＝x，则OB=2x，
∴AB＝x+2x，
∵AB=2BC，
∴x+2x=2（2+x），解得x＝2，
∴S阴影＝S△OEB﹣S扇形OEF=12×2×2-45×π×22360=2-π2．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，扇形的面积，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题关键．
21．【2023·宜昌】如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3．
（1）填空：∠PBA的度数是 ，PA的长为 ；
（2）求△ABC的面积；
（3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是AC上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求EFFG的值．
【分析】（1）由切线的性质可求∠PBA的度数，由勾股定理可求PA的长；
（2）由面积法可求BC的长，由勾股定理可求AC的长，即可求解；
（3）通过证明△EAC∽△CAF，由相似三角形的性质可求AC=165，CF=1625，通过证明△ADC∽△ACB，可求AD的长，通过等腰直角三角形的性质可求EF的长，即可求解．
解：（1）：90° 5【解析】∵AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，∴∠PBA的度数为90°，
∵AB＝4，PB＝3，∴PA=AB2+PB2=9+16=5，
故答案为：90°，5；
∵S△ABP=12×AP•BC=12AB•BP，∴BC=125，
（2）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∴AC=AB2-BC2=16-14425=165，
∴S△ABC=12×AC•BC=12×165×125=9625；
（3）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°＝∠ABC+∠BCD，∴∠ACD＝∠ABC，
∵四边形ABCE是圆的内接四边形，∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠ACD+∠ACF＝180°，∴∠AEC＝∠ACF，
又∵∠EAC＝∠FAC，∴△EAC∽△CAF，∴ACAF=AEAC=ECCF，
∵AE＝5EC，AC=165，∴CF=1625，
∵∠ADC＝90°＝∠ACB，∠BAC＝∠DAC，
∴△ADC∽△ACB，∴ADAC=ACAB=CDBC，∴AD=165×1654=6425，
∴CD=4825，DB=3625，∴DF＝CD+CF=6425=AD，
∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF=64225，∴16564225=AE165，
∴AE＝22，∴EF＝AF﹣AE=14225，
∵DF∥BG，∴AFFG=ADBD，∴64225FG=64253625，
∴FG=36225，∴EFFG=1422536225=718．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
21．【2023·荆州】如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．
（1）求证：①CD是⊙O的切线；
②△DEF∽△DBA；
（2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE．
【分析】（1）①由四边形ABCD是菱形，DH⊥AB，可得∠CDH＝∠DHA＝90°，CD⊥OD，故CD是⊙O的切线；
②连接HF，由DH为⊙O直径，有∠DFH＝90°，可得∠DHF＝∠DBA＝∠DEF，又∠EDF＝∠BDA，从而△DEF∽△DBA；
（2）连接AC交BD于G．由菱形ABCD，BD＝6，得AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝3，AG=AB2-GB2=4，故AC＝2AG＝8，用面积法可得DH=245，即得sin∠DEE＝sin∠DAH=DHAD=2425．
（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，
∵DH⊥AB，∴∠CDH＝∠DHA＝90°，∴CD⊥OD，
∵D为⊙O的半径的外端点，∴CD是⊙O的切线；
②连接HF，
∴∠DEF＝∠DHF，
∵DH为⊙O直径，∴∠DFH＝90°，
∴∠DHF＝90°﹣∠BDH，
∵∠DHB＝90°，∴∠DBA＝90°﹣∠BDH，
∴∠DHF＝∠DBA＝∠DEF，
∵∠EDF＝∠BDA，∴△DEF∽△DBA；
（2）解：连接AC交BD于G．
∵菱形ABCD，BD＝6，∴AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝3，
在Rt△AGB中，AG=AB2-GB2=4，∴AC＝2AG＝8，
∵S菱形ABCD=12AC•BD＝AB•DH，∴DH=12×8×65=245，
由△DEF∽△DBA知：∠DFE＝∠DAH，
∴sin∠DEE＝sin∠DAH=DHAD=2455=2425．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及锐角三角函数，勾股定理，菱形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理．
江苏省
25. 【2023·宿迁】（1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________．

从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积．
【分析】（1）一：已知条件为②，结论为①与相切；连接，先证出，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；二：已知条件为①与相切，结论为②；连接，先证出，再根据圆的切线的性质可得，然后根据平行线的性质即可得证；
（2）连接，先解直角三角形求出的长，再根据等边三角形的判定与性质可得的长，从而可得的长，然后根据圆周角定理可得，最后根据阴影部分的面积等于直角梯形的面积减去扇形的面积即可得．
解：（1）一、②①证明如下：
如图，连接，

，，
弦平分，，
，，
，，
又是的半径，
与相切；
二：① ②证明如下：
如图，连接，

，，
弦平分，，
，，
与相切，，
；
（2）如图，连接，

，，
，，
，
又，
，是等边三角形，
，，
由圆周角定理得：，
则阴影部分的面积为．
【点评】本题考查了圆的切线的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．
25.【2023·无锡】如图，是的直径，与相交于点．过点的线，交的延长线于点，．
（1）求的度数；
（2）若，求的半径．
【分析】（1）连接，根据为的切线，则，由，则，根据圆周角定理可得，又，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；（2）证明，根据相似三角形的性质，代入数据即可求解．
解：（1）如图，连接．

为的切线，．
，．
，．
，．
（2）如图，连接，
，，．
，，且，
，，即，
，，即半径为．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识．正确作出辅助线是解题关键．
25．【2023·扬州】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD=12∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C，D两点．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinB=35，⊙O的半径为3，求AC的长．
解：（1）直线AB与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠DOB＝∠OCD+∠ODC＝2∠BCD，∴∠BCD=12∠BOD，
∵∠BCD=12∠A，∴∠BCD＝∠A，
∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切；
（2）∵sinB=ODOB=35，OD＝3，
∴OB＝5，∴BC＝OB+OC＝8，
在Rt△ACB中，sinB=ACAB=35，
∴设AC＝3x，AB＝5x，∴BC=AB2-AC2=4x＝8，
∴x＝2，∴AC＝3x＝6．
24．【2023·连云港】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF．
（1）方法不唯一，如图所示.
（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵AB∥CE，∴∠ABC＝∠BCF.∴∠BCF＝∠ACB.
∵点D在以AB为直径的圆上，
∴∠ADB＝90°.∴∠BDC＝90°.
∵BF为⊙O的切线，∴∠ABF＝90°.
∵AB∥CE，∴∠BFC+∠ABF＝180°.
∴∠BFC＝90°，∴∠BDC＝∠BFC.
在△BCD和△BCF中，
，
∴△BCD≌△BCF（AAS）.∴BD＝BF．
广东省
22．【2023·广东22题】综合探究
如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．
（1）求证：AA'⊥CA'；
（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA'=3CA'；
②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质可得AE＝A′E，AA′⊥BD，根据四边形ABCD是矩形，得出OA＝OC，从而OE∥A′C，从而得出AA′⊥CA′；
（2）①设CD⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，可证得OG＝OF＝OE，从而得出∠EAO＝∠GAO＝∠GBO，进而得出∠EAO＝30°，从而AA'=3CA'；
②设⊙O切CA′于点H，连接OH，可推出AA′＝2OH，CA′＝2OE，从而AA′＝CA′，进而得出∠A′AC＝∠A′CA＝45°，∠AOE＝∠ACA′＝45°，从而得出AE＝OE，OD＝OA=2AE，设OA＝OE＝x，则OD＝OA=2x，在Rt△ADE中，由勾股定理得出x2+[(2-1)x]2=1，从而求得x2=2+24，进而得出⊙O的面积．
（1）证明：∵点A关于BD的对称点为A′，
∴AE＝A′E，AA′⊥BD.
∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC.
∴OE∥A′C.∴AA′⊥CA′.
（2）①证明：如图2，
设CD⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，
∴OF⊥CD，OF＝OE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD=12BD，AB∥CD，AC＝BD，OA=12AC.
∴OG⊥AB，∠FDO＝∠BOG，OA＝OB.∴∠GAO＝∠GBO.
∵∠DOF＝∠BOG，
∴△DOF≌△BOG（ASA）.∴OG＝OF.∴OG＝OE.
由（1）知：AA′⊥BD，
∴∠EAO＝∠GAO.∵∠EAB+∠GBO＝90°，
∴∠EAO+∠GAO+∠GBO＝90°.∴3∠EAO＝90°.
∴∠EAO＝30°.
由（1）知：AA′⊥CA′，∴tan∠EAO=CA'AA'.
∴tan30°=CA'AA'.∴AA'=3CA'.
②解：如图3，
设⊙O切CA′于点H，连接OH，∴OH⊥CA′.
由（1）知：AA′⊥CA′，AA′⊥CA′，OA＝OC，
∴OH∥AA′，OE∥CA′.
∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′.
∴OHAA'=OCAC=12，OECA'=OAAC=12.
∴AA′＝2OH，CA′＝2OE.∴AA′＝CA′.
∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°.
∴∠AOE＝∠ACA′＝45°.
∴AE＝OE，OD＝OA=2AE.
设OA＝OE＝x，则OD＝OA=2x，
∴DE＝OD﹣OE＝（2-1）x.
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
x2+[(2-1)x]2=1，∴x2=2+24.
∴S⊙O＝π•OE2=2+24⋅π．
【点评】本题考查了圆的切线性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
内蒙古
24. 【2023·赤峰】如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．
（1）求证：是切线；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可推出，利用已知条件进行等量转换即可求出，最后利用可证明，从而证明是切线．
（2）根据互余的两个角相等，利用可求出，设参数表示出和，再根据勾股定理用参数表示出和，最后利用即可求出参数的值，从而求出长度，即可求的长．
（1）证明：连接，，如图所示，

，为的直径，，，
，，
，，
，，
，，是切线．
（2）解：连接，如图所示，

由（1）得，，
，，．
，．
设则，
在中，，
．在中，．
，，
．．
，．．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定和性质，三角函数和勾股定理，解题的关键在于利用参数表达线段长度．
23．【2023·通辽】如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠A．
（1）求证：△ACD∽△DCB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若tanE=35，AC＝10，求⊙O的半径．
【分析】（1）由相似三角形的判定可得出答案；
（2）连接OD，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，证出OD⊥CD，由切线的判定可得出结论；
（3）由相似三角形的性质得出∴CDAC=BCCD=BDAD=35，由比例线段求出CD和BC的长，可求出AB的长，则可得出答案．
（1）证明：∵∠DCB＝∠ACD，∠BDC＝∠BAD，
∴△ACD∽△DCB；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，
∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB，
∵∠BDC＝∠A，∴∠BDC+∠ODB＝90°，
∴∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ADB＝90°，tan∠BED=35，∴tan∠BAD=BDAD=35，
∵△BDC∽△DAC，∴CDAC=BCCD=BDAD=35，
∵AC＝10，∴CD10=35，∴CD＝6，∴BC6=35，
∴BC=185，∴AB＝AC﹣BC＝10-185=325．∴⊙O的半径为165．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
黑龙江
27．【2023·大庆】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AF•AC＝AE•AH；
（3）若sin∠DEA=45，求AHFH的值．
【分析】（1）连接OC，证明OC∥AD即可得证；
（2）证明△AHF∽△ACE即可得证；
（3）过H作HM⊥AD，由∠DEA＝∠ADG可得sin∠DEA=45=sin∠ADG，设AG＝5x，AD＝4x，则DG＝3x，AM＝3x，MF＝x，由角平分线的性质可得MH＝GH，设GH＝MH＝a，则MF＝再说明△MHF∽△GAF，从而得出对边成比例即可表示出a=43x，从而可表示出FH，再由勾股定理表示出AH即可解答．
（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC，
∵∠OCA＝∠EAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，∴OC⊥AD，
∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC，
又∵CD⊥AD，FG⊥AB，∴∠AGF＝∠D＝90°，
∴∠AFG+∠DAG＝90°，∠E+∠DAE＝90°，
∴∠AFG＝∠DEA，∴△AHF∽△ACE，
∴AHAC=AFAE，即AF•AC＝AE•AH；
（3）过H作HM⊥AD，如图：
由（2）知∠AFG＝∠DEA，
∴sin∠DEA=45=sin∠AFG=AGAD，
设AG＝4x，AF＝5x，则FG＝3x，
∵AC平分∠DAB，
∴MH＝GH，AG＝AM＝4x，∴MF＝x，
设GH＝MH＝a，
∴tan∠AFG=AGGF=MHMF，∴4x3x=ax，
∴a=43x，∴FH＝3x-43x=53x，
AH=AG2+GH2=(4x)2+(43x)2=4103x，
∴AHFH=4103x53x=4105．
【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题关键．
21．【2023·齐齐哈尔】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD＝5，tan∠ADB=3，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
​
【分析】（1）连接OD，由OA＝OD，得到∠OAD＝∠ODA，由角平分线定义得到∠OAD＝∠BAD，因此∠ODA＝∠BAD推出OD∥AB，得到半径OD⊥BC，即可证明问题；
（2）连接OF，DE，由tan∠ADB=3，得到∠ADB＝60°，由直角三角形的性质求出AD长，由锐角的余弦求出AE长，得到圆的半径长，由OD∥AB，推出阴影的面积＝扇形OAF的面积，由扇形面积公式即可解决问题．
（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠BAD，∴OD∥AB，
∴∠ODC＝∠B＝90°，∴半径OD⊥BC于点D，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接 OF，DE，
∵∠B＝90°，tan∠ADB=3，
∴∠ADB＝60°，∠BAD＝30°，
∵BD＝5，∴AD＝2BD＝10，
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠BAD＝30°，
在 Rt△ADE 中，AD＝10，
∵cs∠DAE=ADAE=32，∴AE=2033，
∴OA=12AE=1033，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，
∵OA＝OF，∴△AOF 是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∵OD∥AB，
∴S△ADF＝S△AOF，∴S阴影＝S扇形OAF=60π×(1033)2360=50π9．
【点评】本题考查切线的判定，扇形面积的计算，解直角三角形，圆周角定理，角平分线定义，关键是证明OD∥AB；推出S阴影＝S扇形OAF．
辽宁省
22．【2023·沈阳】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点（点C不与点A，B重合），连接AC、BC，点D是AB上的一点，AC＝AD，BE交CD的延长线于点E，且BE＝BC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，tanE=12，则BE的长为 ．
【分析】（1）利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理，对顶角相等，三角形的内角和定理和圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
（2）利用直角三角形的边角关系定理得到DBBE=12，设DB＝x，则BE＝2x，利用x的代数式表示出线段AC，BC，再利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠BDE，∴∠ACD＝∠BDE，
∵BE＝BC，∴∠BCD＝∠E，∴∠BDE+∠E＝90°，
∴∠DBE＝180°﹣（∠BDE+∠E）＝90°，
即OB⊥BE．
∵OB为⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线；
（2）8[解析]∵tanE=12，tanE=DBBE，∴DBBE=12，
设DB＝x，则BE＝2x，
∴BC＝BE＝2x，AD＝AB﹣BD＝10﹣x，
∵AC＝AD，∴AC＝10﹣x，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（10﹣x）2+（2x）2＝102，
解得：x＝0（不合题意，舍去）或x＝4．
∴BE＝2x＝8．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
24．【2023·抚顺、葫芦岛】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点E作EF∥AB，交CA的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，过点E作EG⊥AC于点M，交⊙O于点G，交AB于点N，求AG的长．
【分析】（1）连接OE，利用直径所对的圆周角为直角，角平分线的定义，圆周角定理，垂直的定义，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）连接OG，OC，利用同圆的半径相等，等边三角形的判定与性质，圆周角定理求得∠AOG的度数，再利用圆的弧长公式计算即可．
（1）证明：连接OE，如图，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵CE平分∠ACB交⊙O于点E，∴∠ACE=12∠ACB＝45°，
∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，∴OE⊥AB，
∵EF∥AB，∴OE⊥FE．
∵OE为⊙O的半径，∴EF与⊙O相切；
（2）解：连接OG，OC，
∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，
∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，
∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°．
∵∠ACE＝45°，EG⊥AC，∴∠MEC＝45°，
∴∠GOC＝2∠MEC＝90°，
∴∠AOG＝∠AOC﹣∠GOC＝30°，
∵AB＝8，AB是⊙O的直径，∴OA＝OG＝4，
∴AG的长=30π×4180=2π3．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，垂直的定义，平行线的性质，圆的切线的判定定理，圆的弧长公式，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
23. 【2023·营口】如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）连接，，根据圆周角定理证明，再根据“三线合一”证明平分，即有，进而可得，根据，可得，问题得证；
（2）先证明，，即有，在中结合勾股定理，可求出，即同理在中，可得，进而有， ，即，证明，即有，即，问题即可得解．
（1）证明：连接，，
∵为的直径，∴，∴，
∵在中，，∴平分，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴半径，∴为的切线；
（2）解：∵在中，，∴，
在（1）中，，，
∴，
∵，∴，
∵在中，，，∴，
∴，解得：（负值舍去），
即同理在中，可得，∴，
∴，即，
∵，，∴，∴，
∴，即，∴，
解得：（经检验，符合题意），
24．【2023·本溪】如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若BF＝1，sin∠AFE=45，求BC的长．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得OE⊥EF即可；
（2）根据锐角三角函数可求出半径，进而得到AB的长，再根据直角三角形的边角关系求出AC，由勾股定理求出BC即可．
（1）证明：如图，连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA.
∴∠FOE＝∠OAE+∠OEA＝2∠OAE.
∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB＝∠FOE.
又∵∠AFE＝∠ABC，∴∠CAB+∠ABC＝∠FOE+∠AFE.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠CAB+∠ABC＝90°＝∠FOE+∠AFE.
∴∠OEF＝90°，即OE⊥EF.
∵OE是半径，∴EF是⊙O的切线.
（2）解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r+1，
∵sin∠AFE=45=OEOF=rr+1，∴r＝4.∴AB＝2r＝8.
在Rt△ABC中，sin∠ABC=ACAB=sin∠AFE=45，AB＝8，
∴AC=45×8=325.∴BC=AB2-AC2=245．
【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义以及勾股定理，掌握切线的判定方法，锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．
四川省
23．【2023·雅安】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，tan∠BAC=12，求AD的长；
（3）在（2）的条件下，点P是⊙O上一动点，求PA+PB的最大值．
【分析】（1）连接OD，由圆周角定理得到∠ADB＝∠BDC＝90°，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得∠EDB＝∠EBD，由等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠OBD，根据∠ABC＝90°，得到∠ODB+∠EDB＝90°，由切线的判定即可证得DE与OO相切；
（2）角三角形斜边中线的性质求出BC，根据三角函数的定义即可求出BD；
（3）设Rt△ABD中AB边上的高为h，由AB2＝AP2+BP2可得（PA+PB）2＝64+2PA•PB，即可得出当PA+PB取最大值时S△ABD取最大值，根据S△ABP=12PA•PB=12AB•h进而求解即可．
（1）证明：连接OD，如图所示，
∵AB为OO的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，
∵点E为BC的中点，∴DE＝BE=12BC，∴∠EDB＝∠EBD，
∵OB＝OD．∴∠ODB＝∠OBD．
∵∠ABC＝90°，∴∠EBD+∠OBD＝90°，
∴∠ODB+∠EDB＝90°，
∵OD是OO的半径，∴DE与⊙O相切；
（2）解：由（1）知，∠BDC＝90°，
∵E是BC的中点，∴DE＝BC＝2．∴BC＝4，
∵tan∠BACE=BCAB=BDAD=12，∴AB＝8．AD＝2BD，
又∵在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，即（2BD）2+BD2＝82，
∴BD=855（负值已舍去），∴AD=1655：
（3）解：设Rt△ABD中AB边上的高为h，
由（2）可知AB＝8，又∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，∴PA2+PB2＝82＝64，
∴（PA+PB）2＝64+2PA•PB，
.当PA+PB取最大值时，2PA•PB也取最大值，
又∵S△ABP=12PA•PB=12AB•h，
当PA+PB取最大值时，S△ABP取最大值，
此时AB边高为取最大值为=AB2=4，
∴S△ABP=12AB•h＝2×8×4＝16．
∴PA•PB＝2S△ABP＝32，
∴（PA+PB）2＝64+2×32＝128，∴PA+PB＝82．
综上所述：PA+PB的最大值为82．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定以及直角三角形的性质，解题的关键是：（1）熟练掌握切线的判定方法；（2）通过解直角三角形斜边中线的性质证得DE＝BC．（3）将PA+PB的最大值转化为△ABP的面积最大值．
24．【2023·泸州】如图，AB是⊙O的直径，AB＝210，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DCF；
（2）G为AD上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CF，即∠OCF＝90°，根据直角三角形的性质得到CE＝DE=12CD＝3，∠BEC＝90°，求得∠BCE+∠OBC＝90°，等量代换得到∠BCE＝∠BCF，根据角平分线的定义得到BC平分∠DCF；
（2）连接OC，OG，过G作GM⊥AB于M，根据圆周角定理CD⊥AB，得到CE=12CD＝3，OC＝OG=12AB=10，根据勾股定理得到OE=OC2-CE2=1，根据相似三角形性质得到GM＝1，设MH＝x，则HE＝3x，根据勾股定理即可得到即可．
（1）证明：如图，连接OC，
∵CF是⊙O的切线，点C是切点，∴OC⊥CF，即∠OCF＝90°，
∴∠OCB+∠BCF＝90°，
∵CD⊥AB，AB是直径，∴CE＝DE=12CD＝3，∠BEC＝90°，
∴∠BCE+∠OBC＝90°，
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCE＝∠BCF，即BC平分∠DCF；
（2）解：连接OC，OG，过G作GM⊥AB于M，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=12CD＝3，OC＝OG=12AB=10，
∴OE=OC2-CE2=1，
∵GM⊥AB，CD⊥AB，∴CE∥GM，∴△GMH∽△CEH，∴GHCH=GMCE=MHHE，
∵CH＝3GH，∴13=GM3=MHHE，∴GM＝1，
设MH＝x，则HE＝3x，∴HO＝3x﹣1．OM＝4x﹣1，
在Rt△OGM中，OM2+GM2＝OG2，
∴（4x﹣1）2+12＝（10）2，解得x＝1（负值舍去），
∴BH＝OH+OB＝3×1﹣1+10=2+10．
【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
24．【2023·广元】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F．
​（1）求证：∠BCD＝∠BOE；
（2）若sin∠CAB=35，AB＝10，求BD的长．
（1）证明：连接OC.
∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∵OF⊥BC，∴∠BEO＝90°，∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCD＝∠BOE；
（2）解：过B作BH⊥CD于H，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵sin∠CAB=BCAB=35，AB＝10，∴BC＝6，
∵OF⊥BC，∴AC∥OF，∴∠BOE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠BOE，∴∠BAC＝∠BCD，
∴sin∠CAB＝sin∠DCB=BHBC=35，∴BH=185，
∵OC⊥CD，BH⊥CD，∴BH∥OC，
∴△BDH∽△ODC，
∴BHOC=BDOD，∴1855=BDBD+5，解得BD=907，
故BD的长为907．
24．【2023•乐山】如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且AD＝AE，CA＝CE．
​（1）求证：直线AE是⊙O是的切线；
（2）若sinE=23，⊙O的半径为3，求AD的长．
【分析】（1）先由∠ACB＝90°，证明AB是⊙O的直径，再证明∠CAE＝∠B，则∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，即可证明直线AE是⊙O是的切线；
（2）由∠E＝∠CAE＝∠B，得CAAB=sinB＝sinE=CFCE=23，则CE＝CA=23AB=23×6＝4，CF=23CE=23×4=83，所以AF＝BF=CE2-CF2=453，则AD＝AE＝2AF=853．
（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径.
∵AD＝AE，∴∠E＝∠D.
∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠B.
∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE.∴∠CAE＝∠B.
∴∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴直线AE是⊙O是的切线．
（2）解：作CF⊥AE于点F，则∠CFE＝90°，
∵∠E＝∠CAE＝∠B，∴CAAB=sinB＝sinE=CFCE=23.
∵OA＝OB＝3，∴AB＝6.
∴CE＝CA=23AB=23×6＝4.∴CF=23CE=23×4=83.
∴AF＝BF=CE2-CF2=42-(83)2=453，
∴AD＝AE＝2AF＝2×453=853.∴AD的长是853．
【点评】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26．【2023•内江】如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接BD并延长交AC的延长线于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）当∠F＝30°时，判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，ME＝1，连接BC交AD于点P，求AP的长．
【分析】（1）由角平分线的定义及等腰三角形的性质证明OD∥AC，可推出OD⊥DE，即可证明直线DE是⊙O的切线；
（2）证出∠CAD＝∠DAF＝30°，∠CBD＝∠CAD＝30°，得到∠ABC＝30°，由此计算即可证明结论成立；
（3）利用含30度的直角三角形的性质求得MD＝2，得到等边△ABM的边长，在Rt△ACP中，利用余弦函数的定义即可求解．
（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∴∠CAD＝∠ODA.∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.
∵OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线.
（2）解：△ABM是等边三角形.理由如下：
∵DE⊥AC，∠F＝30°，∴∠EAF＝60°.
∴∠EAD＝∠DAF＝30°.∴∠CBD＝∠CAD＝30°.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠ABC＝90°﹣∠EAF＝30°.
∴∠ABM＝∠ABC+∠CBD＝60°.
∴△ABM是等边三角形.
（3）解：∵△ABM是等边三角形，∴∠M＝60°.
∴∠MDE＝30°.
∵ME＝1，∴MD＝2ME＝2.∴AB＝MB＝4.
∵AB为⊙O的直径，∠ABC＝30°，∴AC=12AB=2.
∵∠CAD＝30°，cs∠CAD=ACAP，即cs30°=2AP=32.
∴AP=433．
【点评】此题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21．【2023·达州】如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB＝BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB＝∠ACB，AC、BD相交于点E．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，DE＝4，∠P＝30°，求AP的长．
​
【分析】（1）连接OA，利用等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，垂直的定义，等量代换和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．
（1）证明：连接OA，如图，
∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．
∵∠PAB＝∠ACB，∴∠BAC＝∠PAB．
∵AB＝BC，∴AB=AC，
∴OB⊥AC，∴∠BAC+∠ABO＝90°，
∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO．
∴∠BAO+∠∠BAC＝90°，∴∠BAO+∠PAB＝90°，
∴∠PAO＝90°，即OA⊥AP，
∵OA为⊙O的半径，∴AP是⊙O的切线；
（2）解：∵OA⊥AP，∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，
∵OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴AO＝AB．
由（1）知：∠BAC＝∠BCA，
∵∠BCA＝∠D，∴∠BAC＝∠D．
∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，
∴ABBE=BDAB，∴AB2=2+4AB，∴AB2＝12，∴AB＝23，∴OA＝23．
在Rt△OAP中，∵tanP=OAAP，∴AP=2333=6．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
（3），要注意分类求解，避免遗漏．
22．【2023·南充】如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．
（1）求证：∠OCA＝∠ADC；
（2）若AD＝2，tanB=13，求OC的长．
【分析】（1）连接OA交BC于点F，根据切线的性质和圆周角定理得∠ADC=12∠AOC＝45°，进而可以解决问题；（2）过点A作AE⊥BC于点E，得△ADE是等腰直角三角形，根据锐角三角函数和勾股定理即可解决问题．
（1）证明：连接OA交BC于点F，
∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，
∵OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAB＝90°，
∵CO＝OA，∴∠OCA＝45°，
∴∠ADC=12∠AOC＝45°，∴∠OCA＝∠ADC；
（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE=22AD=2，
∵tanB=AEBE=13，∴BE＝3AE＝32，
∴AB=BE2+AE2=18+2=25，
在Rt△ABF中，tanB=AFAB=13，∴AF=13AB=253，
∵OC∥AB，∴∠OCF＝∠B，∴tan∠OCF=OFOC=13，
设OC＝r，则OF＝OA﹣AF＝r-253，
∴3 （r-253）＝r，解得r=5，∴OC=5．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．
22．【2023·巴中】如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作DF⊥AC于点E，交BA延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若CE＝，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质证明AC∥OD，进而可以得到结论；（2）连接AD，根据勾股定理求出ED＝1，根据锐角三角函数可得∠AOD＝60°，然后证明OD是△ABC的中位线，求出r＝，根据阴影部分的面积＝四边形AODE的面积﹣扇形AOD的面积，代入值即可．
（1）证明：如图，连接OD，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB.
∴∠ODB＝∠C.∴AC∥OD.
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF.
∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD，
设⊙O的半径为r，
在Rt△CED中，CE＝，CD＝2，
∴ED2＝CD2﹣CE2＝4﹣3＝1.∴ED＝1.
∵cs∠C＝＝，∴∠C＝30°.
∴∠B＝30°.∴∠AOD＝60°.
∵AC∥OD，O为AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线.
∴D是BC中点.∴CD＝BD＝2.
∵AB是⊙O的的直径，∴∠ADB＝90°.
∴AD＝AB＝r.∴BD＝AD＝r＝2.
∴r＝.∴AB＝2r＝.
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣＝﹣＝.
∴阴影部分的面积＝四边形AODE的面积﹣扇形AOD的面积
＝（+）×1﹣π×（）2
＝﹣．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，扇形面积计算等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
24．【2023·遂宁】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝AB•CN；
（3）当AB＝6，sin∠DCA＝时，求AM的长．
【分析】（1）连接OD交AC于点H，根据垂径定理的推论可得半径OD⊥AC，利用平行线的判定定理由∠ADM＝∠DAC可得AC∥MN，得出半径OD⊥MN，再运用切线的判定定理即可证得结论；（2）连接BD，可证得△CDN∽△ABD，得出＝，再由AD＝CD，即可证得结论；（3）连接OD交AC于点H，连接BD，利用解直角三角形可得AD＝AB•sin∠ABD＝6×＝2＝CD，CN＝CD•sin∠CDN＝2×＝2，利用勾股定理可得DN＝＝＝2，再证明四边形CNDH是矩形，得出CH＝DN＝2，由垂径定理可得AC＝2CH＝4，再根据勾股定理求得BC＝2，运用平行线分线段成比例定理即可求得答案．
（1）证明：连接OD交AC于点H，如图，
∵AD＝CD，∴＝，
∴半径OD⊥AC，∴∠AHO＝90°，
∵∠ADM＝∠DAC，∴AC∥MN，
∴∠MDO＝∠AHO＝90°，
∴半径OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；
（2）证明：连接BD，如图，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵∠ADM＝∠DAC，∴AC∥MN，
∴∠ACD＝∠CDN，∠DNC＝∠ACB＝90°＝∠ADB，
∵＝，∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＝∠CDN，∴△CDN∽△ABD，
∴＝，
∵AD＝CD，∴＝，
∴AD2＝AB•CN；
（3）解：连接OD交AC于点H，连接BD，如图，
由（1）（2）得：∠ABD＝∠CDN＝∠ACD，∠ADB＝∠BNM＝∠AHO＝∠MDO＝90°，
∴sin∠ABD＝sin∠CDN＝sin∠ACD＝，
∵AB＝6，∴AD＝AB•sin∠ABD＝6×＝2，
∵AD＝CD，∴CD＝2，
∴CN＝CD•sin∠CDN＝2×＝2，
∴DN＝＝＝2，
∵∠CND＝∠CHD＝∠NDH＝90°，
∴四边形CNDH是矩形，∴CH＝DN＝2，
∵OD⊥AC，∴AC＝2CH＝4，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝2，
∵AC∥MN，∴＝，即＝，∴AM＝6．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理等，难度适中，解题关键是正确添加辅助线．
24．【2023·宜宾】如图，以AB为直径的⊙O上有两点E、F，＝，过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，过C作CM平分∠ACD交AE于点M，交BE于点N．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：EM＝EN；
（3）如果N是CM的中点，且AB＝9，求EN的长．
【分析】（1）连接OE，由＝，得∠FAE＝∠EAB，可得∠FAE＝∠AEO，AF∥OE，又CD⊥AF，故OE⊥CD，CD是⊙O的切线；
（2）由∠CEB＝∠EAC（弦切角定理），∠ECM＝∠ACM，可得∠ENM＝∠EMN，EM＝EN；
（3）证明△EMC∽△BNC，可得＝＝＝2，又△BEC∽△EAC，可得AE＝2BE，在Rt△ABE中，（2BE）2+BE2＝（9）2，求出BE＝9，故EN＝BE＝6．
（1）证明：连接OE，如图：
∵＝，∴∠FAE＝∠EAB，
∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAB，
∴∠FAE＝∠AEO，∴AF∥OE，
∵CD⊥AF，∴OE⊥CD，
∵OE是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：如图：
由（1）知CD是⊙O的切线，
∴∠CEB＝∠EAC（弦切角定理），
∵CM平分∠ACD，∴∠ECM＝∠ACM，
∴∠CEB+∠ECM＝∠EAC+∠ACM，
∴∠ENM＝∠EMN，∴EM＝EN；
（3）解：如图：
由（2）知EM＝EN，∠EMN＝∠ENM，∴∠EMN＝∠BNC，
∵∠ECM＝∠BCN，
∴△EMC∽△BNC，∴＝＝，
∵N是CM的中点，
∴＝＝＝2，∴EM＝2BN，CE＝2BC，
∵∠BEC＝∠EAB，∠BCE＝∠ECA，∴△BEC∽△EAC，
∴＝＝＝，∴AE＝2BE，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
∴（2BE）2+BE2＝（9）2，∴BE＝9，
∵EN＝EM＝2BN，∴EN＝BE＝6．
∴EN的长为6．
【点评】本题考查切线的判定与性质，圆的性质及应用，涉及三角形相似的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
25．【2023·广安】如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若sinC=45，DE＝5，求AD的长；
（3）求证：2DE2＝CD•OE．
【分析】（1）连接OD，BD，由AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°＝∠BDC，由点E是BC的中点，可得DE＝BE＝EC，进而证得△ODE≌△OBE（SSS），得出半径OD⊥DE，即可证得结论；
（2）利用解直角三角形可得BD＝8，再由sin∠ABD＝sin∠C=45，可得ADAB=45，设AD＝4x，则AB＝5x，利用勾股定理可得（4x）2+82＝（5x）2，求得x=83，即可求得AD=323；
（3）连接BD，可证得△BCD∽△OEB，得出CDBE=BCOE，即CDDE=2DEOE，即可证得2DE2＝CD•OE．
（1）证明：连接OD，BD，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，
∵点E是BC的中点，∴DE＝BE＝EC，
∵OB、OD是⊙O的半径，∴OB＝OD，
又∵OE＝OE，∴△ODE≌△OBE（SSS），∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴半径OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，如图，
由（1）知：DE＝BE＝EC，∠ADB＝∠BDC＝∠ABC＝90°，
∵DE＝5，∴BC＝10，
∵sinC=45，∴BDBC=45，∴BD＝8，
∵∠C+∠CBD＝∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠ABD＝∠C，
∴sin∠ABD＝sin∠C=45，∴ADAB=45，
设AD＝4x，则AB＝5x，
∵AD2+BD2＝AB2，∴（4x）2+82＝（5x）2，
解得：x=83（负值舍去），∴AD＝4x＝4×83=323；
（3）证明：连接BD，
由（1）（2）得：∠BDC＝∠OBE＝90°，BE＝DE，
∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，∴OE∥AC，BC＝2BE，
∴∠C＝∠OEB，∴△BCD∽△OEB，
∴CDBE=BCOE，即CDDE=2DEOE，∴2DE2＝CD•OE．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，直角三角形性质，中点定义，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线．
25．【2023·眉山】如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若sin∠P=13，BP＝4，求CD的长．
【分析】（1）连接OE，证明OE∥AD，即可得到结论；
（2）根据锐角三角函数先求出半径和AD的长，然后证明△AEB≌△AEC（ASA），AB＝AC＝4，进而根据线段的和差即可解决问题．
（1）证明：如图，连接OE，
∵AE平分∠BAC，∴∠OAE＝∠DAE，
∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠OAE，∴∠DAE＝∠OEA，∴OE∥AD，
∵ED⊥AC，∴OE⊥PD，
∵OE是⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线；
（2）解：∵sin∠P=13=OEOP，BP＝4，OB＝OE，
∴OEOE+4=13，∴OE＝2，∴AB＝2OE＝4，∴AP＝AB+BP＝8，
在Rt△APD中，sin∠P=ADAP=13，∴AD=13AP=83，
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°＝∠AEC，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（ASA），∴AB＝AC＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝4-83=43，∴CD的长为43．
【点评】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．
27．【2023·凉山州】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD＝∠FAD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若PA＝4，PD＝2，求⊙O的半径和DE的长．
【分析】（1）连接OA，由AB⊥CD，得∠FAD+∠ADF＝90°，故∠FAD+∠OAD＝90°，根据∠EAD＝∠FAD，得∠EAD+∠OAD＝90°，即∠OAE＝90°，OA⊥AE，从而可得AE是⊙O的切线；
（2）连接AC，AO，证明△ADP∽△CAP，可得4CP=24，CP＝8，故CD＝CP﹣PD＝6，⊙O的半径为3；再证△OAP∽△DEP，得DE3=25，从而DE=65．
（1）证明：连接OA，如图：
∵AB⊥CD，∴∠AFD＝90°，∴∠FAD+∠ADF＝90°，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADF，∴∠FAD+∠OAD＝90°，
∵∠EAD＝∠FAD，∴∠EAD+∠OAD＝90°，即∠OAE＝90°，∴OA⊥AE，
∵OA是⊙O半径，∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，AO，如图：
∵CD为⊙O直径，∴∠CAD＝90°，∴∠C+∠ADC＝90°，
∵∠FAD+∠ADC＝90°，∴∠C＝∠FAD，
∵∠EAD＝∠FAD，∴∠C＝∠EAD，
∵∠P＝∠P，∴△ADP∽△CAP，∴APCP=PDAP，
∵PA＝4，PD＝2，∴4CP=24，解得CP＝8，∴CD＝CP﹣PD＝8﹣2＝6，
∴⊙O的半径为3；∴OA＝3＝OD，∴OP＝OD+PD＝5，
∵∠OAP＝90°＝∠DEP，∠P＝∠P，∴△OAP∽△DEP，∴DEOA=PDOP，即DE3=25，
∴DE=65，∴⊙O的半径为3，DE的长为65．
【点评】本题考查圆的性质及应用，涉及切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是掌握圆的相关性质．