甘肃省酒泉市四校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题（原卷版）-A4

这是一份甘肃省酒泉市四校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题（原卷版）-A4，共4页。试卷主要包含了 已知，且，则， 已知向量、满足，，，则， 下列结论中正确的是， 下列等式成立的是， 下面四个命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间120分钟，满分150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列复数中与复数相等的是（ ）
A B.
C. D.
2. 已知复数，若，则（ ）
A. B. C. D. 2
3. 若是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为（ ）
①和
②和
③和
④和
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
4. 已知，且，则（ ）
A B. C. D.
5. 已知函数的图象关于点对称，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
6. 已知向量、满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示，支座受两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力的大小，则（ ）

A. B. C. D.
8. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若为非零向量，且，则
B. 对于向量，若，则存在唯一实数使得
C. 在中，若，则与的面积之比为
D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列等式成立的是（ ）
A.
B
C.
D.
10. 下面四个命题中正确的是（ ）
A. 若复数满足，则
B. 若，则是纯虚数
C. 若复数满足，则
D. 已知复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹是圆
11. 设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点O是的重心，则
B. 若点O是的垂心，则
C. 若，则点O是的外心
D. 若O为的外心，H为的垂心，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，内角所对的边分别为.若，则__________.
13. 已知，则__________.
14. 已知是关于的方程的一个根，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15 当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
（1）为实数；
（2）为纯虚数；
（3）在复平面内对应的点位于第四象限.
16. （1）若，求的值.
（2）已知，求的值.
17. 已知向量，函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求的值.
18. 已知在中，为中点，.
（1）若，求；
（2）设和的夹角为，若，求证：；
（3）若线段上一动点满足，试确定点的位置.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面的问题：
（1）若是边长为等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
（2）的内角所对的边分别为，且，点为的费马点.
（i）若，求的值；
（ii）求的最小值.