甘肃省酒泉市四校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份甘肃省酒泉市四校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版），共16页。试卷主要包含了 已知，且，则， 已知向量、满足，，，则， 下列结论中正确的是， 下列等式成立的是， 下面四个命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间120分钟，满分150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列复数中与复数相等的是（ ）
A B.
C. D.
2. 已知复数，若，则（ ）
A. B. C. D. 2
3. 若是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为（ ）
①和
②和
③和
④和
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
4. 已知，且，则（ ）
A B. C. D.
5. 已知函数的图象关于点对称，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
6. 已知向量、满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示，支座受两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力的大小，则（ ）

A. B. C. D.
8. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若为非零向量，且，则
B. 对于向量，若，则存在唯一实数使得
C. 在中，若，则与的面积之比为
D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列等式成立的是（ ）
A.
B
C.
D.
10. 下面四个命题中正确的是（ ）
A. 若复数满足，则
B. 若，则是纯虚数
C. 若复数满足，则
D. 已知复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹是圆
11. 设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点O是的重心，则
B. 若点O是的垂心，则
C. 若，则点O是的外心
D. 若O为的外心，H为的垂心，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，内角所对的边分别为.若，则__________.
13. 已知，则__________.
14. 已知是关于的方程的一个根，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15 当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
（1）为实数；
（2）为纯虚数；
（3）在复平面内对应的点位于第四象限.
16. （1）若，求的值.
（2）已知，求的值.
17. 已知向量，函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求的值.
18. 已知在中，为中点，.
（1）若，求；
（2）设和的夹角为，若，求证：；
（3）若线段上一动点满足，试确定点的位置.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面的问题：
（1）若是边长为等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
（2）的内角所对的边分别为，且，点为的费马点.
（i）若，求的值；
（ii）求的最小值.
2024—2025学年高一下学期
数学期中考试试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间120分钟，满分150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列复数中与复数相等是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求出，再结合选项判断.
【详解】对于CD，，CD不是
对于A，，A不是，
对于B，，B是.
故选：B
2. 已知复数，若，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先根据复数的除法运算法则求出，再根据复数的模的计算公式求出；也可利用复数模的性质来求解.
【详解】方法一：
由题意，，
所以，.
方法二：
已知，则.
已知，则.
因为，根据复数模的性质，可得：
.
故选：B.
3. 若是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为（ ）
①和
②和
③和
④和
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量基底的意义逐一判断即可.
【详解】对于①，，①不是；
对于②，由，得和不共线，②是；
对于③，由，得和不共线，③是；
对于④，，④不是，
因此可以作为一组基底向量的为②③.
故选：B
4. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用平方关系，得到，进而得，利用正切的和角公式得到，再利用的范围，即可求解.
【详解】因为，，则，
所以，又，所以，
又，，，所以，
则，所以，
故选：A.
5. 已知函数的图象关于点对称，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解法一：根据已知条件恒成立，将函数表达式代入，通过三角函数公式展开并整理，得到一个关于与的等式.因为该等式恒成立，所以与的系数都为，由此可求出的值.再将代入函数，化简后根据正弦函数性质求最大值.
解法二：利用已知条件，取特殊值，代入得到关于的方程，解出.然后将代入函数化简，同样根据正弦函数性质求最大值.
【详解】解法一：由题意，得恒成立，即恒成立，
整理，得恒成立，所以，从而，
故当，，即时，取得最大值.
解法二：由题意，得，解得，
所以，
故当，即时，取得最大值.
故选：D.
6. 已知向量、满足，，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算出、的值，结合平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为向量、满足，，，
所以，，
，
所以，.
故选：A.
7. 如图所示，支座受两个力作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力的大小，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行四边形法则及向量夹角公式求解.
【详解】依题意，，则，
即，所以.
故选：D
8. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若为非零向量，且，则
B. 对于向量，若，则存在唯一实数使得
C. 在中，若，则与的面积之比为
D. 已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是
【答案】C
【解析】
【分析】利用数量积的运算律判断A；利用共线定理判断B；利用共线定理构造，求出面积比判断C；利用向量夹角公式及向量共线的坐标表示求出范围判断D.
【详解】对于A，若 ，则，则或，A错误；
对于B，当时，不存在实数，使得，B错误；
对于C，令 由，
得，则为的重心，，
，同理，
则，C正确；
对于D，，当与共线时，，得，
由与的夹角为锐角，得，
且与不共线，则且，D错误.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用和差角公式、二倍角公式、辅助角公式逐项求解.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD
10. 下面四个命题中正确的是（ ）
A. 若复数满足，则
B. 若，则是纯虚数
C. 若复数满足，则
D. 已知复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹是圆
【答案】BD
【解析】
【分析】举例说明判断AC；利用复数乘法及模的意义判断CD.
【详解】对于A，取，，而，，A错误；
对于B，设，，由，得，
则，是纯虚数，B正确；
对于C，取，
，
同理，即，而，C错误；
对于D，，得，复数在复平面内对应点的轨迹是原点为圆心，3为半径的圆，D正确.
故选：BD
11. 设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点O是的重心，则
B. 若点O是的垂心，则
C. 若，则点O是的外心
D. 若O为的外心，H为的垂心，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断A，根据垂心的性质及向量的线性运算判断B，根据向量的线性运算及数量积运算可得O到顶点距离相等即可判断C，根据垂心的性质利用数量积运算，化简可得垂直两个不共线向量，即可得解判断D.
【详解】取中点，如图，
因为点O是的重心，所以，故A正确；
因为点O是的垂心，所以，
故，故B错误；
因为，所以，
同理可得，所以，即为外心，故C正确；
如图，
因为 ，
所以，
两式相减可得，
同理可得，若，该平面向量同时垂直于，，显然不可能，所以，
即，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：涉及三角形中重心、外心、垂心、内心问题，需要掌握它们的性质，其次需要根据向量的线性运算、数量积运算及数量积的性质与其结合，属于应用比较灵活问题.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，内角所对的边分别为.若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦定理求.
【详解】已知，，，代入正弦定理可得.
因为，所以，则.
又因为，大边对大角，所以，，所以.
故答案为：.
13. 已知，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用和角的正切公式求出，再利用二倍角的余弦及齐次式法求解.
【详解】由，得，解得，
所以.
故答案为：
14. 已知是关于的方程的一个根，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程虚根的特征，结合韦达定理求解.
【详解】依题意，是关于的方程的另一个根，
因此，解得，
所以.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
（1）为实数；
（2）为纯虚数；
（3）在复平面内对应的点位于第四象限.
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用复数的分类，得到，即可求解；
（2）根据条件，利用复数的分类，得到，即可求解；
（3）根据条件，利用复数的几何意义，得，即可求解.
【小问1详解】
因为为实数，则，解得或.
【小问2详解】
因为为纯虚数，则，解得.
【小问3详解】
因为复数在复平面内对应的点为，
所以，由，得到或，
由，得到，所以
16. （1）若，求的值.
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）把给定两个等式两边平方，再逆用和角的余弦公式计算得解.
（2）利用同角公式，差角的余弦公式求解.
【详解】（1）由，得，
则，即，
所以.
（2）由，得，又，
则，
所以
.
17. 已知向量，函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用数量积的坐标表示、二倍角及辅助角公式求出，再利用正弦函数的单调性求解.
（2）由（1）的信息求得，再利用差角的正弦求解.
【小问1详解】
依题意，
，
由，得，
所以的单调递减区间为.
【小问2详解】
由（1）知，，解得，
由，得，于是，
所以
.
18. 已知在中，为中点，.
（1）若，求；
（2）设和的夹角为，若，求证：；
（3）若线段上一动点满足，试确定点的位置.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）为线段的中点.
【解析】
【分析】（1）先将用和表示出来，再利用向量的模长公式以及向量的数量积公式（为与的夹角）进行计算.
（2）要证明，只需证明，先将用和表示出来，再结合已知条件计算数量积.
（3）设，将用、和表示出来，再与已知的对比，求出的值，从而确定点的位置.
【小问1详解】
因为，所以.
又因为，则.
那么，展开可得：
已知，，，根据向量数量积公式，，.
代入可得.所以.
【小问2详解】
因为为中点，所以，则.
根据向量数量积的分配律可得：
已知，，，则，.
代入可得.
因为，所以，即.
【小问3详解】
设，因为，所以.
又因为，，所以.
已知，则可得，解第一个方程，得.
所以，即点为线段的中点.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面的问题：
（1）若是边长为的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
（2）的内角所对的边分别为，且，点为的费马点.
（i）若，求值；
（ii）求的最小值.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）过作于，结合正三角形性质求解；
（2）（i）根据正弦定理求得，由三角形面积公式及向量数量积即可求解；（ii）设，得出，由勾股定理得出，再利用基本不等式求出最小值．
【小问1详解】
由为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内，
满足，且，如图，

过作于，则，，
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为．
【小问2详解】
（i）由正弦定理得，而，，
则，即，得，则的三个角都小于，
由费马点定义知，，
设，，
由得：，
整理得，则
．
（ii）由（i）知，点在内部，且，

设，，
则，
由余弦定理得，，
，
，
而，即，
整理得，即，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.