甘肃省张掖中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份甘肃省张掖中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：杨开发
注：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量线性运算的坐标表示列式计算即可求解．
【详解】由题知，，所以，
故选：A．
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式化简后，逆用差角的正弦公式计算即得.
【详解】
.
故选：B.
3. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的除法运算即可求解.
【详解】由，
可得：，
故选：B
4. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意利用正弦定理可得.
【详解】由正弦定理得，得．
故选：A
5. 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第65百分位数为（ ）
A. 17B. 16.5C. 16D. 15.5
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均数的计算公式，求得，结合百分位数的算法，即可得到答案.
【详解】由数据的平均数为16，可得，可得，
将这组数据从小到大排列，可得，
因为，所以这组数据的第65百分位数为.
故选：A.
6. 已知的内角的对边分别是，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可求解．
【详解】，
因为，所以，则，即，
故选：C．
7. 已知，， 则= （ ）
A. 2B. -2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件切化弦，再利用二倍角的正余弦公式变形计算作答.
【详解】因，，则，
所以.
故选：D
8. 已知是，平面内两个不共线向量，，，，若三点共线，则的值为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分别求得，，根据三点共线，则存在实数，满足，列出方程组，即可求解.
【详解】由向量，，，
可得，，
因为三点共线，则存在实数，满足，
即，可得，解得.
故选：A.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 在中，角对边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是钝角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则是等边三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由条件结合大角对大边可得，结合正弦定理可得，判断A，对于B，结合两角和正切公式化简条件可求，由此可求，再求，判断B，对于C，结合余弦定理化角为边，化简可得，判断C，对于D，结合正弦定理化边为角，化简可得，判断角的关系，判断D.
【详解】设的外接圆半径为，则，，，
对于A，因为，由大角对大边可得，所以，
所以，A正确；
对于B，因为，
所以，
若，则，
所以，矛盾，
所以，故，
所以，又，
所以，所以，
所以是钝角三角形，B正确；
对于C，因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形；C错误；
对于D，因为，
所以，
所以，
又，，，
所以，则是等边三角形，D正确；
故选：ABD.
10. 已知向量，，，则（ ）
A. B. 向量、的夹角为
C. D. 在上的投影向量是
【答案】BCD
【解析】
【分析】由平面向量垂直的坐标表示可求出的值，可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断BC选项；利用投影向量的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为向量，，则，
因为，则，解得，则，A错；
对于B选项，因为，
因为，故，即向量、的夹角为，B对；
对于C选项，，故，C对；
对于D选项，在上的投影向量为，D对.
故选：BCD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则复数在复平面内对应的点在第四象限
C. 若复数是纯虚数，则实数的值为2
D. 若是关于的方程（）的根，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用复数的模的定义计算判断A；利用复数对应点的坐标判断B；利用纯虚数的定义计算判断C；把根入方程，利用复数相等的条件计算可判断D.
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，若，则复数在复平面内对应的点的坐标为，
所以复数在复平面内对应的点在第二象限在第四象限，故B错误；
对于C，若复数是纯虚数，
则，解得，故C正确；
对于D，若是关于的方程（）的根，
则，整理可得，
所以，解得，故D错误.
故选：AC.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 与平面向量同向共线的单位向量的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出向量模长，再结合题设条件即可求解.
【详解】因为向量的模长为，
所以与平面向量同向共线单位向量的坐标为.
故答案为：.
13. 有一组样本数据5，，，，，已知它的平均数为5，方差为20，则新数据的方差为______．
【答案】24
【解析】
【分析】代入平均数和方差公式，即可求解.
【详解】由题意，得新数据的平均数为，
设其方差为．因为，
所以．所以．
故答案为：24
14. 已知，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据二倍角的正弦公式化简，再利用商数关系弦化切，代入求解即可.
【详解】，
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
15. 已知复数（）．
（1）若实部与的模相等，求a的值；
（2）若复数+在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围．
【答案】（1）或4
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程求解即可；
（2）根据复数的运算得出+的坐标，再根据复数的几何意义列出不等式求解即可．
【小问1详解】
因为的实部与的模相等，
所以，
化简为，
解得或4．
【小问2详解】
复数在复平面上对应点为在第四象限，
所以，
故的取值范围为．
16. 已知、均为锐角，.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用同角三角函数关系式，结合两角差的余弦公式计算即可；
（2）运用两角和的正弦公式计算即可.
【小问1详解】
因为均为锐角，所以.
又，所以.
【小问2详解】
根据第（1）问可知：
17. 某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按，，依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的a值；
（2）求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少?
【答案】（1）
（2）74 （3）2，4，8.
【解析】
【分析】（1）根据频率和为1列式求解即可；
（2）根据频率分布直方图，结合加权平均数运算求解即可；
（3）可知评分低于70分的三组频率之比为，根据分层抽样运算求解.
【小问1详解】
由题意可得，解得.
【小问2详解】
由题意可知：，
所以业主评分平均数的估计值为74.
【小问3详解】
评分低于70分的三组频率之比为，
故第一组抽到的人数为，第二组抽到的人数为，第三组抽到的人数为，
即第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是2，4，8.
18. 已知平面向量与的夹角为，且，.
（1）求向量的模；
（2）若，求实数的值；
（3）设为实数，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据模长公式即可求解，
（2）根据向量垂直，得数量积为0，即可求解，
（3）根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
，且，，.
，.
【小问2详解】
，
，
，，，，解得
【小问3详解】
，
当时，取得最小值为.
19. 若函数满足：存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对.
（1）若，当满足什么条件时，为“可平衡”函数，并说明理由；
（2）是否存在为函数的“平衡”数对，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），理由见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据“可平衡”函数的定义结合两角和差的正弦公式求解即可；
（2）先根据余弦的二倍角公式转化为，再利用待定系数，令系数为0时恒等于0判断即可.
【小问1详解】
当为“可平衡”函数时，
由题意可得对于定义域内的任意实数成立，
即对于定义域内的任意实数成立，
所以，即对于定义域内的任意实数成立，
则，解得，
综上，当，时，函数为“可平衡”函数.
【小问2详解】
假设存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有
成立，
则对于定义域内的任意实数成立，
即，
即，
即对于定义域内的任意实数成立，
因为，所以，
所以，即，，解得，
综上，当，时，函数为“可平衡”函数.
【点睛】方法点睛：
根据“可平衡”函数的定义，结合三角恒等变换，根据题意列出参数满足的关系式，利用恒成立问题或表达出参数满足的解析式求解.