甘肃省张掖市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份甘肃省张掖市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．4B．C．D．
2．从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，26，25，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．26，25B．26，24C．23，24D．23，23
3．复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
4．甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为，乙先走的情况下，甲胜的概率为，则甲获胜的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．已知是不重合的三个平面，是直线，则下列说法错误的是（ ）
A．若与不垂直，，则
B．若，，点，，则
C．若，，则
D．若，，，则
6．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．已知中，角的对边分别为a，b，c，，的外接圆圆心为，则（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，,是上一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（ ）
A．事件A与B一定是对立事件
B．
C．
D．若事件A、B相互独立，则
二、多选题
10．已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（ ）
A．B．
C．为纯虚数D．为关于的方程的另一个根
11．已知圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，过直线的平面截圆台得截面为梯形，其中在线段上，在线段上，，E为弧上的动点（不与点A，B重合），则下列说法中正确的有（ ）
A．当为弧的中点时，异面直线和所成的角的大小为
B．几何体的体积最大值为
C．圆台外接球的表面积为
D．直线与下底面所成的角的最小值为
三、填空题
12．已知复数为纯虚数，则实数的值为 ．
13．在中，为直角，的平分线交于，且有.若，则 .
14．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ．
四、解答题
15．将一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为1，2，3，4）先后抛掷两次，分别观察底面上的点数，第一次、第二次出现的点数用数对表示．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)向量，，记事件，求事件发生的概率．
16．已知，为锐角，，．
(1)求证：；
(2)求的值．
17．在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且．
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围．
18．某MOBA游戏统计了100名玩家的团战支援评分（百分制，分数越高支援效率越高），并按分数作出如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值及样本评分的第75百分位数；
(2)以每组数据区间中点作代表，估计该游戏玩家团战支援评分的平均分；
(3)在频率分布直方图中，若玩家的团战支援评分在的平均值为52，方差为6，在的平均值为64，方差为3，求两组样本评分合并后的平均数和方差．
19．如图，已知三棱台的体积为，，，点为的中点，.

(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正切值.
1．C
利用二倍角的正切公式即可求解.
【详解】．
故选：C．
2．C
把给定的数据组由小到大排列，再求出众数及中位数.
【详解】原数据组由小到大排列为：23，23，23，24，25，25，26，
所以这组数据的众数和中位数分别是23，24．
故选：C．
3．D
根据复数的除法运算和复数的几何意义即可得到答案.
【详解】，其在复平面内对应的点为，
则复数在复平面内对应的点为，所以.
故选：D.
4．B
由互斥事件的概率公式即可求解；
【详解】由题意可知：甲先走的概率为，则乙先走的概率为，
甲获胜有两种情形：甲先走且获胜；乙先走且甲获胜，
则甲获胜的概率，
故选：B.
5．B
根据线面、面面位置关系的相关判定定理与性质定理逐一判断即可.
【详解】对于A，若，，则，与题目条件“与不垂直”矛盾，故， A正确；
对于B，若，则不一定成立，从而不一定成立，B错误；
对于C，因，，即平面与成直角，故平面与也成直角，即，C正确；
对于D，如图，因，，设，过平面内一点在平面内作，
由可知，则，因，故，即D正确.
故选：B.
6．D
利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标公式计算即可.
【详解】由，，可得，
，且，
则，，
则向量在向量上的投影向量为：
，
故向量在向量上的投影向量的坐标为.
故选：D.
7．A
结合图形，利用向量数量积的定义和平面几何知识依次得到，，，利用和正弦定理即可比较大小.
【详解】如图，设的外接圆半径为1，则，
同理，.
又由和正弦定理，可知.
故得，即.
故选：A.
8．B
结合图形，沿将翻折至与在同一个平面内，则的长度即的最小值，求出相关边长和角，利用余弦定理求出的长即可.
【详解】
连接，沿将翻折至与在同一个平面内，如图，连接，
则的长度即的最小值.
由题设可知，又，面，
平面，因平面，故.
在平面图形中，因，，则，，，
由余弦定理，可得.
故选：B.
9．D
举例判断AB，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解，即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解判断D.
【详解】对于AB，一个密封的盒子中有标号为1,2，3,4,5的5个小球从中任取1球，
记事件A：从中取出球的标号为1,2，事件：从中取出球的标号为1,2,3，
则，满足，但不是对立事件，故A错误；
由上例可知，故B错误；
对于C，仅在事件A、B相互独立时才成立，而不知道事件A、B的关系，故不确定的值，错误.
对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立，
所以，正确.
故选：D
10．AD
根据实系数的一元二次方程的根的特征，及共轭复数、纯虚数的概念，利用复数的四则运算和模长公式即可逐一判断各选项.
【详解】对A，，，故A正确；
对C，，故C错误；
对D，又为关于的方程的一个根，故也是方程的根，即D正确；
对B，，，故B错误.
故选：AD.
11．AB
对于A，利用平移得到异面直线所成的角，解三角形即得；对于B，结合A项结论，当为弧的中点时，平面，，得到体积最大值；对于C，借助于圆台的轴截面，利用勾股定理解方程即可求得外接球半径从而得解；对于D，证明平面，即得直线与下底面所成的角即为，利用正切值结合点的位置即可判断.
【详解】如图，作于，于，连接，，EN，
当为弧的中点时，可得，，
所以四边形是平行四边形，且，
则异面直线和所成的角为与所成的角，即为，
因为弧的中点，则，又底面，
而底面，则，，平面，
平面，则，又，
则为等腰直角三角形，则，故A正确；
几何体的体积即为四棱锥的体积，
显然当为弧的中点时，四棱锥的体积最大，
最大值为，B正确；
如图，设圆台的外接球的球心在线段上，，则，
由勾股定理得，解得，
即与重合，圆台外接球的半径为1，所以圆台外接球的表面积为，故错误．
因为，，所以平面，
所以直线与下底面所成的角即为，
在，，要使最小，则需最大，
E为弧上的动点（不与点A，B重合）时，故没有最大值，所以没有最小值，故D错误．
故选：AB．
12．
根据纯虚数的定义列式计算即可.
【详解】由题可得．
故答案为：．
13．
过点作交于点，交于点，由向量加法的法则结合条件可求得，将已知向量等式取平方，利用向量数量积的运算律计算即可.
【详解】如图，过点作交于点，交于点，
则，所以，即，.
又因平分，且，则，解得，
则，因此，又，
则
.解得.
故答案为：.

14．
两次应用线面平行判定定理得出平面，进而得出点的轨迹为线段，计算即可求解.
【详解】如图，分别取，的中点，连接，GH，，，HP，
因为为的中点，得，，则四边形是平行四边形，故，
因为平面，平面，故平面，
又因为，，则四边形是平行四边形，故，
因为，故，又平面，平面，可得平面，
且，平面，故平面平面．
又因为平面，故平面，故点的轨迹为线段，其长为．
故答案为：．
15．(1)答案见解析
(2)
（1）根据试验的结果可得答案；
（2）列出满足的样本点，由古典概型概率计算公式可得答案.
【详解】（1）因为每次骰子落地时，底面上的点数有1，2，3，4共4个可能的基本结果，
所以试验的样本空间为，
.
（2）为向量，，，所以，
则事件包含的样本点有，，，，，，共6个，
由（1）知试验的样本空间包含16个样本点，
所以事件发生的概率为．
16．(1)证明见解析
(2)
（1）由，，得，从而由即可得证；
（2）先求得，再根据平方关系、角的范围即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，又，
所以，
所以，即，
所以；
（2），
所以，
因为为锐角，所以，，所以，
所以，所以.
17．(1)
(2)
（1）根据诱导公式和正弦定义边角互化，求出三角形三边之间的关系，再根据余弦定理解三角形即可.
（2）由三角形形状和角的大小，求出另外两个角的范围，根据正弦定理，用正弦值表示三角形各边长，再根据角的范围，求出三角函数值的范围，根据函数性质判断三角形周长的范围.
【详解】（1）在中，，
所以，
即．
由正弦定理可得，即．
由余弦定理，得，
因为为锐角三角形的内角，所以．
（2）由（1）知，．因为是锐角三角形，
所以，，解得．
由正弦定理，得，
所以，，
所以的周长．
因为，且，
所以．
因为，，所以，
所以，
即的周长的取值范围是.
18．(1)，第75百分位数为84
(2)74
(3)，
（1）根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解；
（2）由频率分布直方图平均数的计算公式求解即可；
（3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解.
【详解】（1）由题意知，，解得．
由题意知，团战支援评分在的频率为，
团战支援评分在的频率为，
故第75百分位数在，则，
解得，故第75百分位数为84．
（2）因为，
所以估计该游戏玩家团战支援评分的平均分为74．
（3）样本数据在区间上的个数为，
在区间上的个数为，
所以平均数，
方差．
19．(1)证明见解析
(2).
（1）取的中点，连接，利用条件证明，由线线平行即可证明线面平行；
（2）设三棱台的高为，利用三棱台的体积求得，由从而推得平面，进而得到即为与平面所成的角，利用余弦定理求出，借助于即可求得答案.
【详解】（1）如图，取的中点，连接，因，
在中，则M，N分别为，的中点，故.
由棱台的性质知，又，所以，
故四边形为平行四边形，则，所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）设三棱台的高为.
由题意，，
则三棱台的体积，
解得，故平面.
连接，则即为与平面所成的角.
在中，，，，
由余弦定理，得，
所以.
在中，，
所以与平面所成角的正切值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
B
B
D
A
B
D
AD
题号
11









答案
AB