2024-2025学年甘肃省张掖中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省张掖中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点A(−2,1)，B(1,4)，C(0,−3)，则AB+AC=( )
A. (5,−1)B. (−3,3)C. (1,7)D. (−1,7)
2.cs70°sin40°−sin110°sin50°的值为( )
A. − 32B. −12C. 12D. 32
3.已知复数z满足(1−i)z=2，则z=( )
A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i
4.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a=3，b= 5，sinA=34，则sinB=( )
A. 54B. 53C. 2 59D. 4 59
5.已知一组数据12，17，15，x，20的平均数为16，则这组数据的第65百分位数为( )
A. 17B. 16.5C. 16D. 15.5
6.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若2bcsB=acsC+ccsA，则B=( )
A. 2π3B. 5π6C. π6D. π3
7.已知csθ=35，θ∈(3π2,2π)，则tanθ2=( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
8.已知是e1,e2平面内两个不共线向量，AC=e1−ke2,CB=2e1−e2,CD=3e1−2e2，若A，B，D三点共线，则k的值为( )
A. 2B. −3C. −2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若tanA+tanB+ 3tanA⋅tanB= 3，则△ABC是钝角三角形
C. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
D. 若acsA=bcsB=ccsC，则△ABC是等边三角形
10.已知向量a=(1,3),b=(2,y),(a+b)⊥a，则( )
A. b=(2,−3)B. 向量a、b的夹角为3π4
C. |a+12b|= 5D. a在b上的投影向量是(−1,2)
11.下列说法正确的是( )
A. 若z=−1+3i，则|z|= 10
B. 若z=−2+4i，则复数z在复平面内对应的点在第四象限
C. 若复数(m2−5m+6)+(m2−3m)i是纯虚数，则实数m的值为2
D. 若2−i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根，则p=4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.与平面向量a=(5,−12)同向共线的单位向量的坐标为______．
13.有一组样本数据5，x1，x2，…，x5，已知它的平均数为5，方差为20，则新数据x1，x2，…，x5的方差为______．
14.已知tanα=2，则sin2α+sin2αsin2α+2cs2α= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=a+(7−a)i,z2=5+(a2+6a−13)i，(a∈R)．
(1)若z2的实部与z1的模相等，求a的值；
(2)若复数z1+z2在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知α、β均为锐角，sinα=45,cs(α+β)=513．
(1)求csα，sin(α+β)的值；
(2)求sin(2α+β)的值．
17.(本小题15分)
某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按[40,50)，[50,60)，⋯，[90,100]依次分为第一至第六组(所有评分x满足40≤x≤100).统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中的a值；
(2)求业主评分平均数的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少？
18.(本小题17分)
已知平面向量a与b的夹角为3π4，且|a|=1，|b|= 2．
(1)求向量3a+2b的模；
(2)若(a+2b)⊥(ka−b)，求实数k的值；
(3)设λ为实数，求|a−λb|的最小值．
19.(本小题17分)
若函数f(x)满足：存在实数m(m≠0)，k，使得对于定义域内的任意实数x，均有m⋅f(x)=f(x+k)+f(x−k)成立，则称函数f(x)为“可平衡”函数；有序数对(m,k)称为函数f(x)的“平衡”数对．
(1)若m= 3，当k满足什么条件时，f(x)=sinx为“可平衡”函数，并说明理由；
(2)是否存在(m,k)为函数f(x)=cs2x(0