甘肃省张掖市某校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份甘肃省张掖市某校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某学校有教师人，男学生人，女学生人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为的样本，已知从女学生中抽取的人数为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题得，，解得，
故选：B．
2. 已知向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题得，，
故选：C．
3. 在某次赛车中，名参赛选手的成绩（单位：）全部介于到之间（包括和），将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，··· ，第五组，其频率分布直方图如图所示.若成绩在内的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得：成绩在内的频率为，又因为本次赛车中，共名参赛选手，所以，这名选手中获奖的人数为.
故选A
4. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
故选：D．
5. 已知复数满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
所以，
故选：C．
6. 已知向量与的夹角为，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题得.
故选：B．
7. 化简的结果为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】原式
，
故选：B．
8. 已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由得，在复平面内在以为圆心半径为1的圆上，则在以为圆心半径为1的圆上，所以表示到点的距离，数形结合得.
故选：D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 以下关于统计学中数字特征的说法，正确的是（ ）
A. 若一组数据的平均数为，给这组数据中的每个数都加上一个常数，新数据的平均数为
B. 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，若数据的方差为，则的方差为
C. 众数是一组数据中出现次数最多的数.对于数据，众数是
D. 数据中位数是；对于数据中位数是
【答案】ABC
【解析】对于A项，已知数据的平均数为，根据平均数的计算公式.给这组数据中的每个数都加上一个常数，则新数据为，其平均数为：，所以A项正确.
对于B项，若数据的方差为，根据方差公式.对于数据（为非零常数），其平均数为，则方差为：
，所以B项正确.
对于C项，在数据中，数字出现的次数最多，所以众数是，C项正确.
对于D项，对于数据从小到大排序为，数据个数为，是奇数，中间的数是，所以中位数是，而不是.对于数据，从小到大排序后，数据个数为，是偶数，中间两个数是和，则中位数为.所以D项错误.
故答案为：ABC.
10. 如图，是正六边形的中心，则（ ）

A. B.
C. D. 在上的投影向量为
【答案】CD
【解析】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，可得：
对于A中，由，所以A不正确；
对于B中，由，所以B不正确；
对于C中，设正六边形的边长为，可得，，所以，所以C正确；
对于D中，如图所示，
连接，可得，可得，所以在向量上的投影向量为，所以D正确.
故选：CD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 点是函数的图象的一个对称中心
C. 当时，函数的取值范围是
D. 将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的倍，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对A，因为
，所以的最小正周期为，故A正确；
对B，由，故B错误；
对C，当时，可得，可得，所以的取值范围是，故C正确；
对D，由题意得函数，因为，所以，
又因为函数有且仅有5个零点，则满足，解得，所以实数的取值范围是，故D正确，
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一组数据，则这组数据的第百分位数是______.
【答案】
【解析】数据小到大排列为：12，25，30，42，50，68共6个数字，，
所以这组数据的第百分位数是第五个数50.
故答案为：50.
13. 已知复数满足，则______．
【答案】或，
【解析】设，则，将代入方程得，
，
则，若则方程组无解，不合题意，故，
解得，所以或，
故答案为：或．
14. 在中，，点满足，点使得，直线与相交于点，则的坐标为______．
【答案】
【解析】由题知，，，则，
由三点共线设，则，所以，，因为点三点共线，所以，则，解得，所以，则，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，，，后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分；
（3）若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线．
解：（1）由频率分布直方图可知，第1，2，3，5，6小组的频率分别为：0.1，0.15，0.15，0.25，0.05，所以第四小组的频率为：，
在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为0.03，
补全频率分布直方图对应图形如图所示：
（2）由频率分布直方图可得平均分为：；
（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间占5%，区间占25%，
则估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线为：．
16. 如图所示，
在中，，，点在线段BC上，且．求：
（1）AD的长；
（2）的大小．
解：（1）设，，则 .，．
（2）设，则向量与的夹角为．
，
，即．
17. 复数，当实数m取什么值时，
（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数．
解：（1）因为复数为实数，所以，即或，所以或时，复数为实数.
（2）因为为虚数，则，解得且且，所以且且时，复数为纯虚数.
（3）因为为纯虚数，则，解得，所以时，复数为纯虚数.
18. 在中，角的对边分别是，且.
（1）求角；
（2）若的角平分线交于点，求.
解：（1）由正弦定理可得，
即有，
即，又，故，
即，又，故；
（2），即，
即，即，
即，
由余弦定理可得，
即，故.
19. 如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，
（1）求；
（2）求的正弦值.
解：（1）由是上的中线，所以，
设，则，
又三点共线，所以，解得，所以，
因为是上的中线，所以，所以，
所以，故.
（2）为与夹角，且，
因为是上的中线，所以，
所以
，所以，
又
，
所以，
所以.