2024-2025学年河南省郑州市金水区八年级（上）期末数学试卷含答案

这是一份2024-2025学年河南省郑州市金水区八年级（上）期末数学试卷含答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在下列实数中，无理数是（ ）
A．3.14B．C．D．
2．（3分）下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．a2：b2：c2＝3：4：5
C．a：b：c＝3：4：5D．a＝12，b＝16，c＝20
3．（3分）根据下列表述，能准确确定位置的是（ ）
A．郑州位于东经112°42′
B．教室里，小涵的座位在第三排
C．教学楼在升旗台的南偏西60°方向100m处
D．此刻，风筝停留在25m的高空
4．（3分）某学校举行“我爱科学”演讲比赛，成绩由“演讲内容”“语言表达”和“形象风度”的三项得分按2：2：1的比例计算后确定个人的最终得分．小明、小华和小晨三位同学的三项成绩（百分制）如下表：
则本次比赛最终得分最高的是（ ）
A．小明
B．小华
C．小晨
D．三位同学最终得分一样高
5．（3分）已知a，b均为正数，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞1，b＞1B．0＜a＜1，b＞1
C．a＞1，0＜b＜1D．0＜a＜1，0＜b＜1
6．（3分）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距6m，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（ ）
A．5mB．6mC．7mD．8m
7．（3分）甲、乙、丙、丁、戊五位同学，他们的年龄之间的关系为：丙没有丁大，乙比甲大，戊不比丁小，而乙不比丙大．请你判断谁的年龄最小（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．（3分）已知直线y1＝k1x+1与直线y2＝k2x+1中k1，k2为常数且k1＜k2，则两条直线在同一平面直角坐标系中的大致位置合理的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）学校计划采购一批白色和彩色无尘粉笔，若购买白色无尘粉笔3盒、彩色无尘粉笔2盒，共需34元；若购买白色无尘粉笔2盒、彩色无尘粉笔3盒，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用①﹣②可得x﹣y＝﹣2，下列关于“x﹣y＝﹣2”的意义解释正确的是（ ）
A．每盒白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔贵2元
B．白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔多买了2盒
C．每盒白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔便宜2元
D．白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔少买了2盒
10．（3分）浩浩在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），先画一个边长为1的正方形OBB1C，以对角线OB1为边长作第2个正方形OB1B2C1，再以对角线OB2为边长作第3个正方形OB2B3C2，……，依次下去，点B2024的坐标为（ ）
A．（21012，21012）B．（0，21012）
C．（21013，﹣21013）D．（21013，21013）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若关于x，y的二元一次方程的一个解是，则这个方程可以是 ．（写一个即可）
12．（3分）如图，数轴上放了三个正方形①②③，正方形②的面积是 ．
13．（3分）小明认为命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”不正确，请你帮他举出一个反例 ．（画出图形，并加以解释）
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，连结BD，作线段AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BD于点F，连接AF，若AF＝AB，则∠D＝ °．
15．（3分）如图，直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，﹣2），与直线y＝mx+4交于点B，方程组的解为，若点C是x轴上的动点，且S△ABC＝12，则点C的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共75分）
16．（12分）（1）计算：﹣6+；
（2）解方程组：．
17．（10分）近两年文旅盛行，众多游客来郑州探索“建业电影小镇”的复古风情，漫步“郑州海昌海洋公园”的蓝色奇境，沉浸于“只有河南”的深厚文化！图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知“建业电影小镇”A的坐标为（2，1），“只有河南”B的坐标为（0，3）．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出“海昌海洋公园”C的坐标 ；
（2）若要在“建业电影小镇”A关于直线y＝﹣1轴对称的位置点D处再打造一个特色景点，请在图中描出点D，点D的坐标是 ；
（3）为了缓解“电影小镇”和“只有河南”之间的交通压力，在x轴上找一点P修建一个摆渡车车站，定时发车沿“摆渡车车站→电影小镇→只有河南→摆渡车车站”的路线接送游客，若要使每趟车路线最短，请直接写出P点的坐标，并求出摆渡车的最短路线长．
18．（10分）2024年9月26日，教育部表示：国家将实施学生体质强健计划，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时．某校八六班数学兴趣小组的同学们就“你每天在校综合体育活动时间是多少？”的问题随机调查了本校40名同学，经过初步整理数据，得到如下信息．
信息1：适当分组后的数据表
信息2：据题意制作的扇形统计图
信息3：C组每天综合活动时间（单位：h）的具体数据为：1，1，1，1.1，1.1，1.2，1.2，1.2，1.3，1.3，1.3，1.3，1.4，1.4，1.4，1.5．
请解答以下问题：
（1）D组共有 人，扇形统计图中D组对应的圆心角度数是 ．
（2）为计算方便，把A组数据均近似地看作0.25h，B组数据均近似地看作0.75h，C组数据均近似地看作1.25h，D组数据均近似地看作1.75h，那么本校这40名学生每天综合体育活动时间的平均数m是 h，中位数n是 h．
（3）为降低样本误差，数学小组又随机调查了另一所学校的40名学生每天在校的综合体育活动时间，整理后得到如下数据：
请你分析表格中数据，评价两所学校的综合体育活动情况，并为本校提出一条合理化建议．
19．（10分）善于观察和思考的小金发现自行车的尾灯本身不发光，但无论光线从哪个方向射到尾灯上，都可以沿与入射光平行的方向反射回去，从而起到警示作用．这是什么原因呢？他拆开自行车尾灯，看到了多面互相垂直的小平面镜，几经思考，他终于想明白了其中的道理．请你结合图2说明反射光线DE与入射光线AB平行的理由．（其中射线BM和射线DN为法线）
20．（10分）杨老师在“双十一”期间买了一件毛衣，通过研究缝在衣服内部标签上的内容，得到了以下结论：
①毛衣的总质量为200g；
②毛衣的成分：绵羊毛、腈纶、锦纶、聚酯纤维；
③绵羊毛和腈纶的含量占20%，锦纶的含量是绵羊毛含量的5倍，聚酯纤维的含量比腈纶含量的2倍少1g．
请你求出绵羊毛和腈纶的质量．
21．（11分）如图1，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程．
（一）理解问题、拟定计划
小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线．
路线1：如图2，路线1的路程S1即为线段AB的长度；
路线2：如图3，路线2的路程S2即为线段AB的长度．
（二）实施计划
（1）小林说：“由图可知，S1＜S2，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”
小亮却不同意小林的说法，并举两个例子：
①当圆柱的高h＝5，底面半径r＝1时，S1＝ ，S2＝ ，所以选择路线 路程最短；
②当圆柱的高h＝1，底面半径r＝5时，S1＝ ，S2＝ ，所以选择路线 路程最短．
（2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高h和底面半径r满足什么关系时S1＝S2？
（三）回顾反思
（3）直接写出当圆柱的高h和底面半径r满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？
22．（12分）国庆期间，小强和小华两家相约从郑州出发，经京港澳高速公路（全程690km）自驾游去北京，小华家按原计划早上8：00出发，保持每小时90km的速度行驶，小强家因有事耽搁出发晚了1小时，但行驶一段路程后联系小华，发现已经超过了小华家的车，于是适当减速，最终两家同时到达北京．两家的汽车距郑州的距离y（km）与小华家出发后的时间x（h）之间的函数关系如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）小强家 点出发，减速前平均每小时行驶 km，他们到达北京时的时间是 ；
（2）请你求出交点M的坐标，并解释点M的实际意义；
（3）直接写出行进过程中两车何时相距10km？
2024-2025学年河南省郑州市金水区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在下列实数中，无理数是（ ）
A．3.14B．C．D．
【分析】即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：是无理数，其他的都是有理数．
故选：D．
【点评】此题考查无理数，正确记忆无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称是解题关键．
2．（3分）下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．a2：b2：c2＝3：4：5
C．a：b：c＝3：4：5D．a＝12，b＝16，c＝20
【分析】因此此题可根据三角形内角和及勾股定理逆定理可进行求解．
【解答】解：A、由∠A+∠B+∠C＝180°且∠A＝∠B+∠C可得∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故该选项能够判断一个三角形是直角三角形，不符合题意；
B、由a2：b2：c2＝3：4：5可得a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故符合题意；
C、由a：b：c＝3：4：5可设a＝3x，b＝4x，c＝5x，可得（3x）2+（4x）2＝25x2＝（5x）2，
∴△ABC是直角三角形，
故该选项能够判断一个三角形是直角三角形，不符合题意；
D、由a＝12，b＝16，c＝20可得a2+b2＝c2，符合勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，
故该选项能够判断一个三角形是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
3．（3分）根据下列表述，能准确确定位置的是（ ）
A．郑州位于东经112°42′
B．教室里，小涵的座位在第三排
C．教学楼在升旗台的南偏西60°方向100m处
D．此刻，风筝停留在25m的高空
【分析】根据有序数对表示位置即可得．
【解答】解：A．不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
B．不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
C．教学楼在升旗台的南偏西60°方向100m处，能确定具体位置，故本选项符合题意；
D．不能确定具体位置，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了有序数对表示位置，解题的关键是理解有序数对表示位置．
4．（3分）某学校举行“我爱科学”演讲比赛，成绩由“演讲内容”“语言表达”和“形象风度”的三项得分按2：2：1的比例计算后确定个人的最终得分．小明、小华和小晨三位同学的三项成绩（百分制）如下表：
则本次比赛最终得分最高的是（ ）
A．小明
B．小华
C．小晨
D．三位同学最终得分一样高
【分析】根据题意分别求出小明、小华、小晨的加权平均数，然后问题可求解．
【解答】解：由题意得：分别求出小明、小华、小晨的加权平均数可得：
小明：；
小华：；
小晨：；
∴本次比赛最终得分最高的是小晨；
故选：C．
【点评】本题主要考查求加权平均数，熟练掌握求加权平均数是解题的关键．
5．（3分）已知a，b均为正数，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞1，b＞1B．0＜a＜1，b＞1
C．a＞1，0＜b＜1D．0＜a＜1，0＜b＜1
【分析】由题意得a＞1，0＜b＜1，即可解决．
【解答】解：∵a，b均为正数，且，，
∴a＞1，0＜b＜1，
综上所述，只有C选项正确，符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是解题关键．
6．（3分）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距6m，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（ ）
A．5mB．6mC．7mD．8m
【分析】如图，AD＝6m，CE＝BD＝2m，BC＝DE＝6m，∠ABC＝90°，然后根据勾股定理及无理数的估算可进行求解．
【解答】解：一棵高6m，另一棵高2m，两树相距6m，如图，
由题意得：AD＝6m，CE＝BD＝2m，BC＝DE＝6m，∠ABC＝90°，
∴AB＝AD﹣BD＝4m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．（3分）甲、乙、丙、丁、戊五位同学，他们的年龄之间的关系为：丙没有丁大，乙比甲大，戊不比丁小，而乙不比丙大．请你判断谁的年龄最小（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】此题可根据“丙没有丁大，乙比甲大，戊不比丁小，而乙不比丙大”进行比较大小，进而问题可求解．
【解答】解：由题意得：戊≥丁＞丙≥乙＞甲，
∴年龄最小的是甲；
故选：A．
【点评】本题主要考查推理与论证，不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
8．（3分）已知直线y1＝k1x+1与直线y2＝k2x+1中k1，k2为常数且k1＜k2，则两条直线在同一平面直角坐标系中的大致位置合理的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据一次函数的性质进行选择即可．
【解答】解：A．由y1＝k1x+1的图象可知k1＞0，由y2的图象可知k2＜0，与k1＜k2矛盾，故不符合题意；
B．由y1＝k1x+1的图象可知k1＞0，由y2的图象可知k2＞0，且k1＞k2与k1＜k2矛盾，故不符合题意；
C．由y1＝k1x+1的图象可知k1＜0，由y2的图象可知k2＜0，且k1＞k2与k1＜k2矛盾，故不符合题意；
D．由y1＝k1x+1的图象可知k1＞0，由y2的图象可知k2＞0，且k1＜k2，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数图象的性质，能够根据图像分析出k1、k2的大小是解题的关键．
9．（3分）学校计划采购一批白色和彩色无尘粉笔，若购买白色无尘粉笔3盒、彩色无尘粉笔2盒，共需34元；若购买白色无尘粉笔2盒、彩色无尘粉笔3盒，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用①﹣②可得x﹣y＝﹣2，下列关于“x﹣y＝﹣2”的意义解释正确的是（ ）
A．每盒白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔贵2元
B．白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔多买了2盒
C．每盒白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔便宜2元
D．白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔少买了2盒
【分析】根据题意直接进行求解．
【解答】解：设每盒白色无尘粉笔为x元，每盒粉色无尘粉笔为y元，
∴“x﹣y＝﹣2”说明便宜2元；
故选：C．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意．
10．（3分）浩浩在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），先画一个边长为1的正方形OBB1C，以对角线OB1为边长作第2个正方形OB1B2C1，再以对角线OB2为边长作第3个正方形OB2B3C2，……，依次下去，点B2024的坐标为（ ）
A．（21012，21012）B．（0，21012）
C．（21013，﹣21013）D．（21013，21013）
【分析】先求出B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7，B8，B9的坐标，找出这些坐标的规律，进而问题可求解．
【解答】解：由条件可知OC＝B1C＝1，
∴，B1（1，1），
∴，即B2（2，0），
同理可知：B3（2，﹣2），B4（0，﹣4），B5（﹣4，﹣4），B6（﹣8，0），B7（﹣8，8），B8（0，16），B9（16，16），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次点的坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∴2024÷8＝253，
∴点B2024的坐标为（0，21012）；
故选：B．
【点评】本题主要考查勾股定理及点的坐标规律，熟练掌握勾股定理及点的坐标规律是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若关于x，y的二元一次方程的一个解是，则这个方程可以是x+y＝0（答案不唯一） ．（写一个即可）
【分析】因此此题可根据二元一次方程的解为来得出符合条件的二元一次方程即可．
【解答】解：可根据二元一次方程的解为来得出符合条件的二元一次方程可以是：
x+y＝0（答案不唯一）；
故答案为：x+y＝0（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．
12．（3分）如图，数轴上放了三个正方形①②③，正方形②的面积是 5 ．
【分析】由题意得∠ACE＝90°，∠CDE＝90°，AC＝CE，可得到∠ACB＝∠CED，可证△ABC≌△CDE，从而得到BC＝DE＝1，AC2＝AB2+BC2＝22+12＝5，即可求解．
【解答】解：如图，
由题意得：∠ACE＝90°，∠CDE＝90°，AC＝CE，AB＝（﹣1）﹣（﹣3）＝2，BC＝1，
∴∠ACB＝∠CED，
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴BC＝DE＝1，
∴AC2＝AB2+BC2＝22+12＝5，
即正方形②的面积是5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
13．（3分）小明认为命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”不正确，请你帮他举出一个反例 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有可能互补 ．（画出图形，并加以解释）
【分析】因此此题可画出图形然后根据平行线的性质可进行求解．
【解答】解：如图所示，
根据平行线性质可知∠DEF＝∠BGD，∠ABC+∠BGD＝180°，
∴∠DEF+∠ABC＝180°，
故如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有可能互补；
故答案为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有可能互补．
【点评】本题主要考查平行线的性质及举反例，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，连结BD，作线段AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BD于点F，连接AF，若AF＝AB，则∠D＝ 24 °．
【分析】利用等边对等角依次可求得∠B的大小，证明∠D＝∠DBC，∠ABF＝∠AFB＝2∠D，进而得出∠ABC＝∠ABF+∠DBC＝2∠D+∠D＝3∠D＝72°，从而可得∠D的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣∠BAC）＝×（180°﹣36°）＝72°，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∵EF垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠D，
∴∠AFB＝∠D+∠FAD＝2∠D，
∵AF＝AB，
∴∠ABF＝∠AFB＝2∠D，
∴∠ABC＝∠ABF+∠DBC＝2∠D+∠D＝3∠D＝72°，
∴∠D＝24°，
故答案为：24．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质及平行线的性质．关键是相关性质的熟练掌握．
15．（3分）如图，直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，﹣2），与直线y＝mx+4交于点B，方程组的解为，若点C是x轴上的动点，且S△ABC＝12，则点C的坐标为 （﹣6，0）或（10，0） ．
【分析】由题意易得点B（3，1），然后可设点C（t，0），进而根据三角形面积可建立方程进行求解．
【解答】解：由方程组的解为，可知：点B（3，1），
设点C（t，0），直线AB与x轴的交点为D，如图，
点A（0，﹣2）、B（3，1）在函数y＝kx+b图象上：
，解得：，
∴y＝x﹣2，
令y＝0，则x＝2，
∴CD＝|t﹣2|，
∴，
解得：t＝﹣6或10，
∴C（﹣6，0）或（10，0）；
故答案为（﹣6，0）或（10，0）．
【点评】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共75分）
16．（12分）（1）计算：﹣6+；
（2）解方程组：．
【分析】（1）先化简二次根式，然后再进行二次根式的加减运算即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2），
①×4﹣②，得：2x＝46，
系数化为1，得：x＝23，
把x＝23代入①，得：23+y＝35，
移项，得：y＝35﹣23，
合并同类项，得：y＝12，
∴原方程组的解为．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则及二元一次方程组的解法是解题的关键．
17．（10分）近两年文旅盛行，众多游客来郑州探索“建业电影小镇”的复古风情，漫步“郑州海昌海洋公园”的蓝色奇境，沉浸于“只有河南”的深厚文化！图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知“建业电影小镇”A的坐标为（2，1），“只有河南”B的坐标为（0，3）．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出“海昌海洋公园”C的坐标 （﹣1，2） ；
（2）若要在“建业电影小镇”A关于直线y＝﹣1轴对称的位置点D处再打造一个特色景点，请在图中描出点D，点D的坐标是 （2，﹣3） ；
（3）为了缓解“电影小镇”和“只有河南”之间的交通压力，在x轴上找一点P修建一个摆渡车车站，定时发车沿“摆渡车车站→电影小镇→只有河南→摆渡车车站”的路线接送游客，若要使每趟车路线最短，请直接写出P点的坐标，并求出摆渡车的最短路线长．
【分析】（1）根据“建业电影小镇”A的坐标为（2，1），“只有河南”B的坐标为（0，3）可建立平面直角坐标系，然后可得点C坐标；
（2）根据轴对称的性质可进行求解；
（3）根据题意要使每趟车路线最短，则需作点A关于x轴的对称点E，然后连接BE，此时BE与x轴的交点即为所求P点，然后得出直线BE的解析式，则可求出点P坐标，最后利用两点距离公式可得最短路线长．
【解答】解：（1）所作平面直角坐标系如下：
∴C的坐标为（﹣1，2）；
故答案为：（﹣1，2）；
（2）所作点D如图所示：
∴点D的坐标为（2，﹣3）；
故答案为：（2，﹣3）；
（3）由题意可知：要使每趟车路线最短，则需作点A关于x轴的对称点E，然后连接BE，此时BE与x轴的交点即为所求P点，如图所示：
∴E（2，﹣1），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，则有：
，
解得：，
∴y＝﹣2x+3，
当y＝0时，则有﹣2x+3＝0，
∴，
∴，
∴，
∴摆渡车的最短路线长为．
【点评】本题主要考查轴对称图形的性质、平面直角坐标系及一次函数的图象与性质，熟练掌握轴对称图形的性质、平面直角坐标系及一次函数的图象与性质是解题的关键．
18．（10分）2024年9月26日，教育部表示：国家将实施学生体质强健计划，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时．某校八六班数学兴趣小组的同学们就“你每天在校综合体育活动时间是多少？”的问题随机调查了本校40名同学，经过初步整理数据，得到如下信息．
信息1：适当分组后的数据表
信息2：据题意制作的扇形统计图
信息3：C组每天综合活动时间（单位：h）的具体数据为：1，1，1，1.1，1.1，1.2，1.2，1.2，1.3，1.3，1.3，1.3，1.4，1.4，1.4，1.5．
请解答以下问题：
（1）D组共有 10 人，扇形统计图中D组对应的圆心角度数是 90° ．
（2）为计算方便，把A组数据均近似地看作0.25h，B组数据均近似地看作0.75h，C组数据均近似地看作1.25h，D组数据均近似地看作1.75h，那么本校这40名学生每天综合体育活动时间的平均数m是 1.15 h，中位数n是 1.2 h．
（3）为降低样本误差，数学小组又随机调查了另一所学校的40名学生每天在校的综合体育活动时间，整理后得到如下数据：
请你分析表格中数据，评价两所学校的综合体育活动情况，并为本校提出一条合理化建议．
【分析】（1）用总人数×D组占比＝D组人数，360°×D组占比＝D组对应的圆心角度数，代入即可得解；
（2）先算出各组人数，再根据平均数和中位数定义求解即可；
（3）从平均数、中位数、方差角度各自分析即可，评价和建议合理即可．
【解答】解：（1）D组人数：40×25%＝10（人），
D组对应的圆心角度数：360×25%＝90°，
故答案为：10，90°；
（2）A组人数：40×10%＝4（人），B组人数：40×25%＝10（人），C组人数：40×40%＝16（人），D组人数：40×25%＝10（人），
所以平均数m＝＝1.15h，
∵总人数为40人，
∴中位数为第20人和21人的平均数，
由数据可知第20人和第21人都在C组，分别是1.2h和1.2h，
∴中位数n＝1.2h，
故答案为：1.15，1.2；
（3）评价：从平均数来看，两校每天平均在校的综合体育活动时间一样，
但从中位数上来看，另一所学校的在校的综合体育活动时间高于1.2h的人数超过一半，
从方差来看，本校的方差大于另一所学校，说明本校学生在校的综合体育活动时间参差不齐（合理即可）．
建议：建议本校增设体育活动项目，加长在校的综合体育活动时间（合理即可）．
【点评】本题主要考查了中位数、平均数、方差、扇形统计图等数据分析内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．（10分）善于观察和思考的小金发现自行车的尾灯本身不发光，但无论光线从哪个方向射到尾灯上，都可以沿与入射光平行的方向反射回去，从而起到警示作用．这是什么原因呢？他拆开自行车尾灯，看到了多面互相垂直的小平面镜，几经思考，他终于想明白了其中的道理．请你结合图2说明反射光线DE与入射光线AB平行的理由．（其中射线BM和射线DN为法线）
【分析】由题意易得MB⊥CQ，ND⊥CD，∠C＝90°，然后可得∠NDB+∠MBD＝90°，进而根据同旁内角互补，两直线平行及光的折射可进行求解．
【解答】解：如图，
由图可知：MB⊥CQ，ND⊥CD，∠C＝90°，
∴∠NDC＝∠NDB+∠BDC＝90°，∠MBD+∠DBC＝∠MBC＝90°，∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠NDB+∠MBD＝90°，
根据光的折射可知：∠ABM＝∠MBD，∠NDB＝∠NDE，
∴∠ABD+∠BDE＝2∠MBD+2∠NDB＝2×90°＝180°，
∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．
【点评】本题主要考查平行线的判定，平行线的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
20．（10分）杨老师在“双十一”期间买了一件毛衣，通过研究缝在衣服内部标签上的内容，得到了以下结论：
①毛衣的总质量为200g；
②毛衣的成分：绵羊毛、腈纶、锦纶、聚酯纤维；
③绵羊毛和腈纶的含量占20%，锦纶的含量是绵羊毛含量的5倍，聚酯纤维的含量比腈纶含量的2倍少1g．
请你求出绵羊毛和腈纶的质量．
【分析】设绵羊毛的质量为xg，腈纶的质量为yg，根据题意可得，然后求解即可．
【解答】解：设绵羊毛的质量为xg，腈纶的质量为yg，根据题意可得：
，
解得，
所以绵羊毛的质量为27g，腈纶的质量为13g，
答：绵羊毛的质量为27g，腈纶的质量为13g．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系式．
21．（11分）如图1，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程．
（一）理解问题、拟定计划
小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线．
路线1：如图2，路线1的路程S1即为线段AB的长度；
路线2：如图3，路线2的路程S2即为线段AB的长度．
（二）实施计划
（1）小林说：“由图可知，S1＜S2，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”
小亮却不同意小林的说法，并举两个例子：
①当圆柱的高h＝5，底面半径r＝1时，S1＝ ，S2＝ 7 ，所以选择路线 1 路程最短；
②当圆柱的高h＝1，底面半径r＝5时，S1＝ ，S2＝ 11 ，所以选择路线 2 路程最短．
（2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高h和底面半径r满足什么关系时S1＝S2？
（三）回顾反思
（3）直接写出当圆柱的高h和底面半径r满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？
【分析】（1）①根据勾股定理分别求出S1、S2及实数的大小比较即可得出答案；②根据勾股定理分别求出S1、S2及实数的大小比较即可得出答案；
（2）根据勾股定理分别求出S1、S2，根据S1＝S2即可得出答案；
（3）结合（1）（2）结论得出答案即可．
【解答】解：（1）①当圆柱的高h＝5，底面半径r＝1时，
由勾股定理得：S1＝＝，S2＝5+1×2＝7，
∵25+π2＜72，
∴S1＜S2，
∴选择路线1路程最短，
故答案为：，7，1；
②当圆柱的高h＝1，底面半径r＝5时，
S1＝
＝，
1+5×2＝11，
∵12+25π2＞112，
∴S1＞S2，
∴选择路线2路程最短；
故答案为：，7，1；
（2）由题意得：S1＝＝，S2＝h+2r，
当h2+π2r2＝（h+2r）2时，S1＝S2，
解得：，
∴当时，S1＝S2；
（3）由题意得：当时，S1＜S2；
此时选择路线1路程最短；
当时，S1＞S2；
此时选择路线2路程最短．
【点评】本题考查几何的是勾股定理的应用、圆柱的侧面展开图及实数的大小比较，熟练掌握勾股定理是解题关键，
22．（12分）国庆期间，小强和小华两家相约从郑州出发，经京港澳高速公路（全程690km）自驾游去北京，小华家按原计划早上8：00出发，保持每小时90km的速度行驶，小强家因有事耽搁出发晚了1小时，但行驶一段路程后联系小华，发现已经超过了小华家的车，于是适当减速，最终两家同时到达北京．两家的汽车距郑州的距离y（km）与小华家出发后的时间x（h）之间的函数关系如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）小强家 9 点出发，减速前平均每小时行驶 110 km，他们到达北京时的时间是 15：40 ；
（2）请你求出交点M的坐标，并解释点M的实际意义；
（3）直接写出行进过程中两车何时相距10km？
【分析】（1）根据题意和图象可求出答案；
（2）设点M坐标为（x，y），根据两车行驶的路程相等列方程，解方程即可得到答案；
（3）分两种情况列方程，解方程，即可求出答案．
【解答】解：（1）小华家按原计划早上8：00出发，小强家因有事耽搁出发晚了1小时，
∴小强家9点出发，
减速前速度为：550÷（6﹣1）＝110（km/h），
（小时），
∴他们到达北京时的时间是15：40；
故答案为：9，110，15：40；
（2）设点M坐标为（x，y），依题意得：
90x＝110（x﹣1），
解得x＝5.5，
此时y＝90x＝90×5.5＝495，
∴点M坐标为（5.5，495），
点M的实际意义是小华家的车出发5.5小时，即小强家出发4.5小时，小强家的车追上小华家的车；
（3）设行进过程中小华家的车行驶t小时两车相距10km，
在小强家的车追上小华家的车之前，由题意得：
90t﹣110（t﹣1）＝10，
解得t＝5，
在小强家的车追上小华家的车之后，由题意得：
110（t﹣1）﹣90t＝10，
解得t＝6，
综上可知，行进过程中两车13：00或14：00时相距10km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一次函数关系式．演讲内容
语言表达
形象风度
小明
80
90
85
小华
80
85
90
小晨
90
85
80
分组
活动时间t（单位：h）
A
0≤t＜0.5
B
0.5≤t＜1
C
1≤t＜1.5
D
1.5≤t＜2
学校
平均数
中位数
方差
本校
m
n
0.96
另一所学校
1.15
1.5
0.12
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
C
C
C
A
D
C
B
演讲内容
语言表达
形象风度
小明
80
90
85
小华
80
85
90
小晨
90
85
80
分组
活动时间t（单位：h）
A
0≤t＜0.5
B
0.5≤t＜1
C
1≤t＜1.5
D
1.5≤t＜2
学校
平均数
中位数
方差
本校
m
n
0.96
另一所学校
1.15
1.5
0.12