2023-2024学年河南省郑州市金水区八年级（下）期末数学试卷（含详解）

这是一份2023-2024学年河南省郑州市金水区八年级（下）期末数学试卷（含详解），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国传统纹样图案作为中国文化的符号，把东方美学演绎得淋漓尽致，请欣赏以下经典纹样设计，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.若分式x−1x+1的值为0，则x的值为( )
A. 1B. −1C. 0D. 2
3.某古建筑屋顶房梁的一部分如图所示，其中AB=AC=2，AD⊥BC，∠B=30°，则跨度BC的长为( )
A. 3B. 2 3C. 1D. 2 5
4.一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是( )
A. x+2>0B. x−2<0C. 2x≥4D. 2−x<0
5.如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=10，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 以上都不对
6.下列判断错误的是( )
A. 由1−m<0，得1n，得m+a>n+a
C. 由−12>−1，得−m2>−mD. 由m>n，得−3m<−3n
7.我们知道，正五边形无法密铺平面，即便正五边形与正十边形组合，也只能密铺平面的某个局部，无法延伸至整个平面，如图所示，缝隙∠AOB的度数是( )
A. 30°
B. 25°
C. 32°
D. 36°
8.数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰.给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是( )
A. 甲：M+NB. 乙：M−NC. 丙：N+PD. 丁：N−P
9.如图，点O为平面直角坐标系的原点，△ABC是等边三角形，点A在y轴上，点B和点C在x轴上，其中点B的坐标为(−2,0)，若以O为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转，每次旋转60°，则旋转2024次后，点C的坐标为( )
A. (1, 3)
B. (−1,− 3)
C. (− 3,1)
D. (− 3,−1)
10.数形结合是非常重要的数学思想，利用数形结合可以帮助我们换个角度思考问题.例如我们可以从“图形”的角度来研究一元一次不等式：在解不等式x+1>2(2x−1)时，我们可以令y1=x+1，y2=2(2x−1)=4x−2，在平面直角坐标系中分别画出函数y1=x+1和函数y2=4x−2的图象，如图所示，观察图象可知当x<1时，y1>y2，即x+1>2(2x−1)，所以原不等式的解集为x<1．
请你用以上方法解决下面的问题：已知关于x的不等式kx+b>3x的解集是x<1，则下列选项中可能是一次函数y=kx+b图象的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是______．
12.某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，租金为1000元.出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少______元.
13.将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解m2+4mn+3n2=(m+3n)(m+n)
14.如图，点D是线段BC上一点，阅读以下作图步骤：
(1)以点D为圆心，BD长为半径作弧，交BC于点M；
(2)分别以B，M为圆心，大于12BM长为半径作弧，两弧交于点N，作射线DN；
(3)以D为圆心，BD长为半径作弧，交DN于点E，连接BE；
(4)连接EC，分别以E，C为圆心，大于12EC长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线PQ交BC于F，连接EF．
根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是______．
①ED⊥BC，②EF=CF，③∠BEF=90°，④△DEF的周长等于线段BC的长．
15.如图，四边形ABDC是平行四边形.AB=8cm，AC=6cm，点G在CD上，CG=3cm，动点E从点B出发，沿折线B→D→C→A→B的方向以2cm/s的速度运动，动点F从点B出发，沿折线B→A→C→D→B的方向以1cm/s的速度运动，若动点E，F同时出发，相遇时停止运动，在第______s时，以点A，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题：本题共7小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
(1)解不等式组：2x−15≥−1①x+1>2(2x−1)②
(2)利用因式分解计算：322+64×68+682．
17.(本小题10分)
先化简，再求值：x+9x2−9÷(2xx−3−xx+3)，其中x=2．
下面是同学们几种不同解法的部分运算过程：
①原式=x+9x2−9÷[2x(x+3)(x+3)(x−3)−x(x−3)(x+3)(x−3)]．
②原式=x+9x2−9÷2xx−3−x+9x2−9÷xx+3．
③将被除式与除式位置颠倒，即化简(2xx−3−xx+3)÷x+9x2−9并代入求值后，取结果的倒数．
(1)以上解法中正确的是______；(填序号即可)
(2)①中运算的依据是______；
(3)请选择一种正确的解法，写出完整的解答过程．
18.(本小题10分)
求证：等腰三角形底边中线上的任意一点到两腰的距离相等．
已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，P是AD上任意一点，且______．
求证：______．
证明：
19.(本小题10分)
某校八年级组织“豫见青春，挺膺担当”大型诗歌朗诵会，需租借男生、女生两种汉服.已知租借一套女生汉服的价格比租借一套男生汉服的价格多5元，用640元租借女生汉服的数量和用600元租借男生汉服的数量相同．
(1)租借一套女生汉服的价格是多少元？
(2)商家推出了打折优惠活动：女生汉服以九折租售，男生汉服以八折租售.学校计划租借男女生汉服共100套，且要求女生汉服的数量不少于男生汉服数量的2倍，请你帮助学校选择花费最少的租借方案．
20.(本小题10分)
在▱ABCD中，点E、F、G、H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接EH，HG，GF，FE，得到四边形EHGF．
(1)求证：四边形EHGF是平行四边形；
(2)设△ABCD对角线AC与BD的交点为O1，四边形EHGF对角线EG与FH的交点为O2，那么O1与O2是同一个点吗？请说明理由．
21.(本小题11分)
分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法.如：分解因式：x3+x2+x+1=(x3+x2)+(x+1)=x2(x+1)+(x+1)=(x+1)(x2+1)；
x2−4x+4−y2=(x−2)2−y2=(x−2+y)(x−2−y)．
问题1.通过分析，你认为下面哪种说法才是分组分解的关键______；(只填序号)
①分组后组内能提取公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间还能继续分解．
问题2.请你利用分组分解法分解因式：
(1)x2−xy+2x−2y；
(2)4x2+4xy+y2−4x−2y+1．
问题3.若a，b，c是△ABC的三边，当b2−ab+bc−ac=0时，判断△ABC的形状．
22.(本小题12分)
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠ACB=∠ACD=60°，AB=6，点P是对角线AC所在直线上的一个动点，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到CQ.点P的对应点为点Q，连接BP和AQ，直线BP和直线AQ相交于点M．
(1)如图1，当点P是对角线AC的中点时，直线BP和直线AQ所夹的锐角为______度；
(2)如图2，当点P在AC的延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立？请写出你的判断并说明理由；
(3)点P在直线AC上运动的过程中，当△PQM为直角三角形时，请直接写出CQ的长．
答案和解析
1.C
解：A.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题；
B.原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2.A
解：由题可知，
x−1=0且x+1≠0，
解得x=1．
故选：A．
3.B
解：∵AB=AC=2，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵∠B=30°，
∴AD=12AB=1，
∴BD= AB2−AD2= 22−12= 3，
∴BC=2BD=2 3．
故选：B．
4.B
解：A、x>−2，故A错误；
B、x<2，故B正确；
C、x≥2，故C错误；
D、x>2，故D错误．
故选：B．
5.B
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD=3，AD=BC=10，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=BA=3，
同理CF=CD=3，
∴EF=BC−BE−CF=10−3−3=4，
故选：B．
6.C
解：∵由1−m<0，得1∴选项A不符合题意；
∵由m>n，得m+a>n+a，
∴选项B不符合题意；
∵m≤0时，由−12>−1，得−m2≤−m，
∴选项C符合题意；
∵由m>n，得−3m<−3n，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
7.D
解：∵正五边形每个内角是180°−360°÷5=108°，
∴∠AOB=360°−3×108°=36°．
故选：D．
8.D
解：A、甲：M+N=x2+5x+12+5x+13=x2+10x+25=(x+5)2，故此选项不符合题意；
B、乙：M−N=x2+5x+12−5x−13=x2−1=(x+1)(x−1)，故此选项不符合题意；
C、丙：N+P=5x+13+x2−13=x2+5x=x(x+5)，故此选项不符合题意；
D、丁：N−P=x2−13−5x−13=x2−5x−26，故此选项符合题意；
故选：D．
9.B
解：因为360°÷60°=6，
所以每旋转六次，点C的位置重复出现．
又因为2024÷6=337余2，
所以旋转2024次后点C的位置与旋转2次后点C的位置相同．
如图所示，
过点C′作x轴的垂线，垂足为M，
∵△ABC是等边三角形，且点B坐标为(−2,0)，
∴OC=OB=2．
由旋转可知，
OC′=OC=2，∠COC′=120°，
∴∠C′OM=180°−120°=60°，
∴∠C′=30°．
在Rt△C′OM中，
OM=12OC′=1，
C′M= 22−12= 3．
∴点C′的坐标为(−1,− 3).
则旋转2024次后点C的坐标为(−1,− 3).
故选：B．
10.C
解：当x=1时，y=3x=3，
∴直线y=3x过(1,3)，
∵不等式kx+b>3x的解集是x<1，
∴当x<1时，一次函数y=kx+b图象在直线y=3的上方，
观察各选项图象可知，符合条件的为C，
故选：C．
11.对角线互相平分的四边形是平行四边形
解：“平行四边形对角线互相平分”的条件是：四边形是平行四边形，结论是：四边形的对角线互相平分．
所以逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
12.2000x(x+2)
解：1000x−1000x+2
=1000(x+2)x(x+2)−1000xx(x+2)
=2000x(x+2)，
故答案为：2000x(x+2)．
13.解：图中大长方形的面积：大长方形的长×宽=1个边长为m的大正方形+4个长为m、宽为n的长方形面积+3个边长为n的小正方形面积，
即：(m+3n)(m+n)=m2+4mn+3n2，
故答案为：m2+4mn+3n2=(m+3n)(m+n)．
14.①②③④
解：由作图可知ED垂直平分线段BF，
∴ED⊥BC，故①正确，
由作图可知PQ垂直平分线段EC，
∴EF=CF，故②正确，
由作图可知DE=DB=DF，
∴∠BEF=90°，故③正确，
∵FE=FC，DE=DF=BD，
∴△DEF的周长=EF+DE+DF=CF+DF+BD=BC，故④正确．
故答案为：①②③④．
15.3s或193
解：分两种情况：
①如图1，当点E与D重合时，2t=6，
∴t=3，
∴BF=t=3，
∵AB=8，
∴AF=8−3=5，
∵CG=3，
∴DG=8−3=5=AF，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴AB//CD，
∴AF//DG，
∴四边形AGEF是平行四边形，
即在第3s时，四边形AGEF是平行四边形；
②如图2，四边形AEGF是平行四边形，
∴AF=EG，
∴8−t=2t−6−5，
∴t=193，
即在第193s时，四边形AEGF是平行四边形；
综上，在第3s或193s时，以点A，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：3s或193．
16.解：(1)解不等式①得：x≥−2，
解不等式②得：x<1，
则原不等式组的解集为−2≤x<1；
(2)原式=322+2×32×68+682
=(32+68)2
=1002
=10000．
17.解：(1)①③正确，
故答案为：①③；
(2))①中运算的依据是分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
(3)选择①，
原式=x+9x2−9÷[2x(x+3)(x+3)(x−3)−x(x−3)(x+3)(x−3)]
=x+9(x+3)(x−3)÷2x2+6x−x2+3x(x+3)(x−3)
=x+9(x+3)(x−3)÷x2+9x(x+3)(x−3)
=x+9(x+3)(x−3)⋅(x+3)(x−3)x(x+9)
=1x，
当x=2时，原式=12．
18.已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，P是AD上任意一点，且PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
求证：PE=PF．
证明：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
在△AEP和△AFP中，
∠AEP=∠AFP∠EAP=∠FAPAP=AP，
∴△AEP≌△AFP(AAS)，
∴PE=PF．
故答案为：PE⊥AB于E，PF⊥AC于F；PE=PF．
19.解：(1)设租借一套女生汉服的价格是x元，则租借一套男生汉服的价格是(x−5)元，
由题意得：640x=600x−5，
解得：x=80，
经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意，
答：租借一套女生汉服的价格是80元；
(2)设租借女生汉服m套，则租借男生汉服(100−m)套，
由题意得：m≥2(100−m)，
解得：m≥6623，
∵m为正整数，
∴m的最小值为67，
设租借总花费为w元，
由题意得：w=80×0.9m+(80−5)×0.8(100−m)=12m+6000，
∵12>0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m=67上，w有最小值，
此时，100−m=33，
答：租借女生汉服67套，男生汉服33套，租借总花费最少．
20.(1)证明：连接AC，

∵点E、F、G、H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴EF和HG分别是△ABC和△ADC的中位数，
∴EF//HG且EF=HG，
∴四边形EHGF是平行四边形；
(2)解：O1与O2是同一个点，理由如下：

∵▱ABCD绕点O1旋转180°后与原▱ABCD重合，▱EHGF绕点O2旋转180°后与原▱EHGF重合，
∴O1与O2是同一个点．
21.解：问题1：分组分解的目的是分组以后，继续因式分解，最后组与组之间还要因式分解，故选③．
问题2：(1)x2−xy+2x−2y=x(x−y)+2(x−y)=(x−y)(x+2)，
(2)4x2+4xy+y2−4x−2y+1=(4x2+4xy+y2)−2(2x+y)+1=(2x+y)2−2(2x+y)+1=(2x+y−1)2．
问题3：b2−ab+bc−ac=0，
(b2−ab)+(bc−ac)=0，
b(b−a)+c(b−a)=0，
(b−a)(b+c)=0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴b+c不可能是0，
∴b−a=0，
b=a，
∴△ABC是等腰三角形．
22.解：(1)如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ACB=∠ACD=60°，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠CAD=∠ACB=60°，∠BAC=∠ACD=60°，
∴∠ACB=∠BAC=∠ACD=∠CAD=60°，
∴△ABC和△ACD是等边三角形，
∴AC=BC，
由旋转得CQ=CP，∠PCQ=60°，
∴∠PCQ=∠ACD，即点Q在CD边上，
在△ACQ和△BCP中，
AC=BC∠ACQ=∠BCPCQ=CP，
∴△ACQ≌△BCP(SAS)，
∴∠CAQ=∠CBP，
∵∠CBP+∠ACB=∠CAQ+∠AMB，
∴∠AMB=∠ACB=60°，
故答案为：60；
(2)(1)中的结论仍然成立，理由如下：
如图2，∵∠ACB=∠PCQ=∠ACD=60°，CP=CQ，AC=BC，
∴∠ACQ=∠BCP=120°，
在△ACQ和△BCP中，
AC=BC∠ACQ=∠BCPCQ=CP，
∴△ACQ≌△BCP(SAS)，
∴∠CAQ=∠CBP，
∵∠CBP+∠AMB=∠CAQ+∠ACB，
∴∠AMB=∠ACB=60°，
故(1)中的结论仍然成立；
(3)当点P在CA的延长线上，∠MPQ=90°时，如图3，
∵△CPQ是等边三角形，
∴∠CPQ=60°=∠ACB，
∴∠CPB=90°−60°=30°，
∴∠CPB+∠PCB=30°+60°=90°，
∴CP=2BC=2AB=12，
∴CQ=CP=12；
当点P在AC的延长线上，∠MQP=90°时，如图4，
∵△CPQ是等边三角形，
∴∠CQP=60°，CP=CQ=PQ，
∴∠PAQ=90°−60°=30°，
∵∠AQC=∠AQP−∠CQP=90°−60°=30°，
∴∠PAQ=∠AQC，
∴CQ=AC=6；
当点P在线段AC上时，如图5，
由(1)知∠AMB=60°，
∴∠PMQ=180°−60°=120°，
∴△PQM是钝角三角形，不符合题意；
综上，当△PQM为直角三角形时，CQ的长为12或6．