2024-2025学年河南省郑州市航空港区八年级（上）期末数学试卷含答案

这是一份2024-2025学年河南省郑州市航空港区八年级（上）期末数学试卷含答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠D+∠ACD＝180°
C．∠D＝∠DCED．∠1＝∠2
3．（3分）下列各式中，正确的是（ ）
A．＝±4B．±＝4
C．＝﹣3D．＝﹣4
4．（3分）在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是
（ ）
A．（5，4）B．（4，5）C．（﹣4，5）D．（﹣5，4）
5．（3分）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ）
A．点A、点B、点CB．点A、点D、点G
C．点B、点E、点FD．点B、点G、点E
6．（3分）下列命题中真命题是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
B．同角或等角的余角相等
C．已知点A（2，﹣3），AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标一定是（2，2）
D．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等
7．（3分）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）对于一次函数y＝﹣x+2，结论如下：①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0）：③将函数的图象向下平移2个单位长度可以得到y＝﹣x的图象：④若两点A（1，y1），B（﹣1，y2），在该函数图象上，则y1＜y2．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（3分）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，直线l：y＝x+2交y轴于点A1，在x轴正方向上取点B1，使OB1＝OA1；过点B1作A2B1⊥x轴，交l于点A2，在x轴正方向上取点B2，使B1B2＝B1A2；过点B2作A3B2⊥x轴，交l于点A3，在x轴正方向上取点B3，使B2B3＝B2A3；…记△OA1B1面积为S1，△B1A2B2面积为S2，△B2A3B3面积为S3，则S2024等于（ ）
A．4047B．4048C．24047D．24048
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请你写出一个经过点（0，1），且y随x增大而增大的一次函数 ．
12．（3分）如图，象棋盘上，若“将”位于（3，﹣2），“车”位于点（﹣1，﹣2），则“马”位于 ．
13．（3分）某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按2：2：1：2：3对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为 ．
14．（3分）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝35°，∠3＝165°，则∠2的度数为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝10cm，∠A＝∠B，AB＝16cm，P是线段AB上一动点，将△BCP沿直线CP折叠，使点B落在点D处，CD交AP于点E．当△ACE是直角三角形时，BP的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
17．工商局质检员从某公司9月份生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为三个等级：合格80≤x＜85，良好85≤x＜95，优秀x≥95），下面给出了部分信息：
10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98
10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）某月该公司生产A型扫地机器人共1200台，估计该月A型扫地机器人“优秀”等级的台数；
（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
18．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC＝8dm，AB＝6dm，两轮中心的距离BC＝10dm，滚轮半径r＝1dm．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD＝13dm，AE＝5dm，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，以及与△ABC关于y轴对称的△DEF；
（2）求出△ABC的面积；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为2，求点P的坐标．
20．
根据上述的实践活动，解决以下问题：
（1）【探索发现】
①请你根据表中的数据在图②中描点、连线，并判断y与x之间是我们学过的 函数；
②确定y与x之间的函数关系式；
（2）【结论应用】当圆柱容器液面高度达到20cm时是什么时间？
21．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店到汽车城计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需80万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元．
（1）问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请设计出符合要求的所有购买方案．
（3）在问题（2）的条件下，销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元．假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案所获利润最大？请求出最大利润．
22．【初步认识】
（1）如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．若∠A＝100°，则∠P＝ ；如图②，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，则∠A与∠M的数量关系是 ；
【继续探索】
（2）如图③，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB．请探索∠A与∠N之间的数量关系；
【拓展应用】
（3）如图④，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于点M．在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出∠A的度数．
2024-2025学年河南省郑州市航空港区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数．据此依次对各选项逐一分析即可作出判断．
【解答】解：A．是无限循环小数，
∴此选项属于有理数，不符合题意；
B．是整数，
∴此选项属于有理数，不符合题意；
C．是无理数，
∴此选项符合题意；
D．是分数，
∴此选项属于有理数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查无理数，算术平方根，解答本题的关键要理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数．
2．（3分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠D+∠ACD＝180°
C．∠D＝∠DCED．∠1＝∠2
【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：A、∠3＝∠4可判断DB∥AC，故此选项错误；
B、∠D+∠ACD＝180°可判断DB∥AC，故此选项错误；
C、∠D＝∠DCE可判断DB∥AC，故此选项错误；
D、∠1＝∠2可判断AB∥CD，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
3．（3分）下列各式中，正确的是（ ）
A．＝±4B．±＝4
C．＝﹣3D．＝﹣4
【分析】根据算术平方根的定义对A进行判断；根据平方根的定义对B进行判断；根据立方根的定义对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝4，所以A选项错误；
B、原式＝±4，所以B选项错误；
C、原式＝﹣3，所以C选项正确；
D、原式＝|﹣4|＝4，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
4．（3分）在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是
（ ）
A．（5，4）B．（4，5）C．（﹣4，5）D．（﹣5，4）
【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点M的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M的具体坐标．
【解答】解：设点M的坐标是（x，y）．
∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，
∴|y|＝5，|x|＝4．
又∵点M在第二象限内，
∴x＝﹣4，y＝5，
∴点M的坐标为（﹣4，5），
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；第二象限（﹣，+）．
5．（3分）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ）
A．点A、点B、点CB．点A、点D、点G
C．点B、点E、点FD．点B、点G、点E
【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．
【解答】解：A、AB2＝1+36＝37，AC2＝16+25＝41，BC2＝1+9＝10，37+10≠41，不可以构成直角三角形；
B、AD2＝16+16＝32，AG2＝9+36＝45，DG2＝1+4＝5，32+5≠45，不可以构成直角三角形；
C、BE2＝36+16＝52，BF2＝25+25＝50，EF2＝1+1＝2，50+2＝52，可以构成直角三角形
D、BG2＝25+9＝34，BE2＝36+16＝52，GE2＝9+1＝10，34+10≠52，不可以构成直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．
6．（3分）下列命题中真命题是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
B．同角或等角的余角相等
C．已知点A（2，﹣3），AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标一定是（2，2）
D．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等
【分析】根据平行线的性质，余角的性质，坐标与图形特点进行判定即可求解．
【解答】解：两条相互平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，
∴A是假命题，
故该选项不符合题意；
同角或等角的余角相等，
∴B是真命题，
故该选项符合题意；
已知点A（2，﹣3），AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标是（2，2）或（2，﹣8），
∴C是假命题，
故该选项不符合题意；
如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，
∴D是假命题，
故该选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理，坐标与图形性质，余角和补角，对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角，掌握平行线的性质，余角的性质，坐标与图形的特点是解题的关键．
7．（3分）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
【解答】解：根据函数图可知，
直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，
把x＝1代入y＝﹣x+3，可得y＝2，
故关于x、y的二元一次方程组的解为，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
8．（3分）对于一次函数y＝﹣x+2，结论如下：①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0）：③将函数的图象向下平移2个单位长度可以得到y＝﹣x的图象：④若两点A（1，y1），B（﹣1，y2），在该函数图象上，则y1＜y2．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据一次函数解析式可得图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，可判定①；当y＝0时，x＝2，可判定②；根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”可判定③，根据函数增减性可判定④；由此即可求解．
【解答】解：由一次函数y＝﹣x+2可知：图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，
∴函数的图象不经过第三象限，故①正确；
当y＝0时，x＝2，
∴函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故②正确：
将函数的图象向下平移2个单位长度，即y＝﹣x+2﹣2＝﹣x，故③正确；
由条件可知y2＞y1，即y1＜y2，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象的性质，掌握判定一次函数图象经过的象限，增减，平移等知识是解题的关键．
9．（3分）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设竿长x尺，绳索长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程x+5＝y，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案．
【解答】解：由题意得，，
故选：A．
【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，列出方程组．
10．（3分）如图，直线l：y＝x+2交y轴于点A1，在x轴正方向上取点B1，使OB1＝OA1；过点B1作A2B1⊥x轴，交l于点A2，在x轴正方向上取点B2，使B1B2＝B1A2；过点B2作A3B2⊥x轴，交l于点A3，在x轴正方向上取点B3，使B2B3＝B2A3；…记△OA1B1面积为S1，△B1A2B2面积为S2，△B2A3B3面积为S3，则S2024等于（ ）
A．4047B．4048C．24047D．24048
【分析】根据题意，分别算出S1，S2，S3⋯的值，找出规律即可求解．
【解答】解：将x＝0代入y＝x+2得，y＝2，
∴A1（0，2），
∴OA1＝2，
∵OB1＝OA1，
∴OB1＝2，
∴，
∵A2B1⊥x轴，且点A2在直线y＝x+2的图象上，
∴A2（2，4），
∴B1B2＝B1A2＝4，
∴，
依此类推，，，⋯⋯，
∴（n为正整数），
当n＝2024时，，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请你写出一个经过点（0，1），且y随x增大而增大的一次函数y＝x+1（答案不唯一） ．
【分析】首先可由y随x的增大而增大确定 x 的系数 k＞0，再根据函数图象经过点（0，1），写出符合题意的函数表达式即可．
【解答】解：设一次函数的解析式为 y＝kx+b，
∵y 随 x 的增大而增大，
∴k＞0，
∵函数图象经过点（0，1），
∴b＝1，
∴函数表达式可以是 y＝x+1，
故答案为：y＝x+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
12．（3分）如图，象棋盘上，若“将”位于（3，﹣2），“车”位于点（﹣1，﹣2），则“马”位于 （6，1） ．
【分析】根据已知两点的坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标．
【解答】解：结合图形以“将”（3，﹣2）作为基准点，则“马”位于（3+3，﹣2+3），即（6，1）．
【点评】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
13．（3分）某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按2：2：1：2：3对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为 8 ．
【分析】根据图中的数据和加权平均数的计算方法即可求得该学生的课堂评价成绩．
【解答】解：“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按2：2：1：2：3对学生学习过程进行课堂评价，结合图可得，该学生的课堂评价成绩为：，
故答案为：8．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
14．（3分）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝35°，∠3＝165°，则∠2的度数为 50° ．
【分析】如图所示，作EF∥AB，可得∠3+∠GEF＝180°，∠FEH＝∠1＝35°，由∠GEH＝∠GEF+∠FEH，即可求解．
【解答】解：工作篮底部AB与支撑平台CD平行，如图，过E点作EF∥AB，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠3+∠GEF＝180°，∠FEH＝∠1＝35°，
∴∠GEF＝180°﹣∠3＝180°﹣165°＝15°，
∵∠GEH＝∠GEF+∠FEH＝15°+35°＝50°，
∴路政工程车的工作示意图中∠2的度数为50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝10cm，∠A＝∠B，AB＝16cm，P是线段AB上一动点，将△BCP沿直线CP折叠，使点B落在点D处，CD交AP于点E．当△ACE是直角三角形时，BP的长为 2cm或5cm ．
【分析】根据折叠的性质，分类讨论：如图所示，∠ACE＝90°，△ACE是直角三角形，过点C作CG⊥AB与点G，运用三线合一，直角三角形的性质，三角形外角的性质可得，∠ECG＝∠A，∠B+∠BCP＝∠CPG＝∠D+∠DCP，GC＝GP＝6（cm），可得BP＝2cm；如图所示，CE⊥AB，△ACE是直角三角形，由等腰三角形的性质可得，，，DE＝CD﹣CE＝10﹣6＝4（cm），设BP＝DP＝x，则PE＝BE﹣BP＝8﹣x（cm），在Rt△DPE中，运用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图1，∠ACE＝90°，△ACE是直角三角形，过点C作CG⊥AB与点G，
∵AC＝BC＝10cm，∠A＝∠B，AB＝16cm，
∴，
∴，
∵EC⊥AC，CG⊥AB，
∴∠ACE＝∠AGC＝90°，
∴∠ECG+∠ACG＝∠ACG+∠A＝90°，
∴∠ECG＝∠A，
由折叠的性质得：∠A＝∠B＝∠D，∠BCP＝∠DCP，BC＝DC＝10cm，
∴∠D＝∠ECG，
∴∠D+∠DCP＝∠ECG+∠DCP＝∠PCG，
∵∠CPG是△BCP的外角，
∴∠B+∠BCP＝∠CPG＝∠D+∠DCP，
∴∠CPG＝∠PCG，
∴GC＝GP＝6（cm），
∴BP＝AB﹣AG﹣GP＝16﹣8﹣6＝2（cm）；
如图2，CE⊥AB，△ACE是直角三角形，
由上述证明可得：，，
∴DE＝CD﹣CE＝10﹣6＝4（cm），
设BP＝DP＝xcm，则PE＝BE﹣BP＝（8﹣x）cm，
在Rt△DPE中，由勾股定理得：DP2＝PE2+DE2，即x2＝（8﹣x）2+42，
解得x＝5，
∴BP的长为5cm；
综上所述，BP的长为2cm或5cm，
故答案为：2cm或5cm．
【点评】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，掌握折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的计算是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先计算二次根式的除法运算，乘法运算，再合并即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝]
＝2+1﹣1
＝2．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的计算法则是解题的关键．
17．工商局质检员从某公司9月份生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为三个等级：合格80≤x＜85，良好85≤x＜95，优秀x≥95），下面给出了部分信息：
10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98
10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 89 ，b＝ 40% ，m＝ 20 ；
（2）某月该公司生产A型扫地机器人共1200台，估计该月A型扫地机器人“优秀”等级的台数；
（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，b，根据B型扫地机器人中“优秀”等级所占百分比和“良好”等级包含的数据可求出m；
（2）用总数乘以B型扫地机器人“优秀”等级所占百分比即可；
（3）可从众数的角度进行分析判断．
【解答】解：（1）在83，84，84，88，89，89，95，95，95，98中，位于中间位置的两个数为89，89，
故中位数为（89+89）÷2＝89，
∴中位数a＝89，
A型扫地机器人“优秀”等级的有4台，故“优秀”等级所占百分比为4÷10＝40%；
10台B型扫地机器人中“良好”等级有5台，占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，
∴“合格”等级占1﹣50%﹣30%＝20%，即m＝20；
故答案为：89，40%，20；
（2）该月A型扫地机器人“优秀”等级的台数1200×40%＝480（台）；
（3）A型号扫地机器人扫地质量更好，理由是在平均除尘量都是90的情况下，A型号扫地机器人除尘量“优秀”等级所占百分比大于B型号扫地机器人“优秀”等级所占百分比（理由不唯一）．
【点评】本题考查了众数，中位数，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图或统计表中获取有用信息是解题的关键．
18．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC＝8dm，AB＝6dm，两轮中心的距离BC＝10dm，滚轮半径r＝1dm．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD＝13dm，AE＝5dm，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．
【分析】（1）运用勾股定理逆定理判定即可；
（2）运用勾股定理可得DE＝12dm，运用等面积法可得AG＝4.8dm，由此即可求解．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：
购物车侧面简化示意图中，支架AC＝8dm，AB＝6dm，两轮中心的距离BC＝10dm，
又∵82+62＝102，即AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）AD＝13dm，AE＝5dm，AE⊥DE，
在直角三角形ADE中，由勾股定理得：，
如图2，过点A作AG⊥BC于点G，
由（1）得，△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AB•AC＝BC•AG，
∴AG＝＝＝4.8（dm），
∴物车上篮子的左边缘D到地面的距离为DE+AG+r＝12+4.8+1＝17.8（dm）．
【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，以及与△ABC关于y轴对称的△DEF；
（2）求出△ABC的面积；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为2，求点P的坐标．
【分析】（1）根据坐标先描出A，B，C三点，再顺次连接即可，再确定A，B，C关于y轴对称的对应点D，E，F，再顺次连接即可；
（2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可；
（3）设P点坐标为（t，0），由△ABP的面积为3，可得，再解方程即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC和△DEF为所作；
（2）．
（3）设P点坐标为（t，0），
∵△ABP的面积为2，
∴，
解得t＝﹣2或6，
∴P点坐标为（﹣2，0）或（6，0）．
【点评】本题考查的是坐标系内描点画图，画轴对称图形，网格三角形的面积，利用方程思想解决三角形的面积问题是解本题的关键．
20．
根据上述的实践活动，解决以下问题：
（1）【探索发现】
①请你根据表中的数据在图②中描点、连线，并判断y与x之间是我们学过的 一次 函数；
②确定y与x之间的函数关系式；
（2）【结论应用】当圆柱容器液面高度达到20cm时是什么时间？
【分析】（1）根据题意描出各点，然后连线即可；由图象可知该函数为一次函数，设该函数的表达式为y＝kx+b，然后利用待定系数法求解即可；
（2）把y＝20代入（1）中解析式进行求解即可．
【解答】解：（1）①描点，如图所示，

故可得y与x之间是一次函数，
故答案为：一次；
②设y＝kx+b（k≠0），
∵点（1，6），（2，8）在该函数图象上，
∴，
∴，
∴y＝2x+4；
（2）当y＝20时，2x+4＝20，
∴x＝8；
答：当圆柱容器液面高度达到20cm时是8h．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
21．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店到汽车城计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需80万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元．
（1）问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请设计出符合要求的所有购买方案．
（3）在问题（2）的条件下，销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元．假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案所获利润最大？请求出最大利润．
【分析】（1）设每辆A型车的进价为x万元，每辆B型车的进价为y万元，列二元一次方程组求解即可；
（2）设购买A型车a辆，购买B型车b辆，由此列式，代值计算即可求解；
（3）根据利润的计算，进行比价即可求解．
【解答】解：（1）设每辆A型车的进价为x万元，每辆B型车的进价为y万元，
∴．
解得．
∴每辆A型车的进价为25万元，每辆B型车的进价为10万元；
（2）设购买A型车a辆，购买B型车b辆，
∴25a+10b＝180，
∴，
∴（36﹣2b）是5的倍数，且a，b是正整数，
当36﹣2b＝5时，，不符合题意；
当36﹣2b＝10时，b＝13，a＝2，符合题意；
当36﹣2b＝15时，，不符合题意；
当36﹣2b＝20时，b＝8，a＝4，符合题意；
当36﹣2b＝25时，，符合题意；
当36﹣2b＝30时，b＝3，a＝6，符合题意；
当36﹣2b＝35时，，符合题意；
∴共有3中方案，方案一：购买A型车2辆，购买B型车13辆；方案二：购买A型车4辆，购买B型车8辆；方案三：购买A型车6辆，购买B型车3辆；
（3）方案一：购买A型车2辆，购买B型车13辆，利润为2×1.2+13×0.8＝12.8（万元）；
方案二：购买A型车4辆，购买B型车8辆，利润为4×1.2+8×0.8＝11.2（万元）；
方案三：购买A型车6辆，购买B型车3辆，利润为6×1.2+3×0.8＝9.6（万元）；
∵12.8＞11.2＞9.6，
∴方案一获得利润最大，最大利润为12.8万元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的运用，二元一次方程根的计算，理解数量关系，正确列式计算是解题的关键．
22．【初步认识】
（1）如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．若∠A＝100°，则∠P＝ 140° ；如图②，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，则∠A与∠M的数量关系是 ∠A＝2∠M ；
【继续探索】
（2）如图③，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB．请探索∠A与∠N之间的数量关系；
【拓展应用】
（3）如图④，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于点M．在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出∠A的度数．
【分析】（1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A；根据计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得2∠DCM＝∠A+2∠CBM＝2（∠M+∠CBM），再整理即可解答；
（2）由角平分线可得，由∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，可得∠CBE+∠BCF＝180°+∠A，则根据∠N＝180°﹣（∠CBN+∠BCN），然后计算求解即可；
（3）由题意知，、、∠A＝2∠M，当在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，分①∠NBM＝3∠M，②∠NBM＝3∠N，③∠M＝3∠N，④∠N＝3∠M四种情况求解即可．
【解答】解：（1）如图①，由条件可知：
，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝80°，
∴；
如图②，由条件可知：
，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠DCM＝∠M+∠CBM，
∴2∠DCM＝∠A+2∠CBM＝2（∠M+∠CBM），整理得，∠A＝2∠M．
故答案为：140°，∠A＝2∠M．
（2）∵BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB，
∴，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠CBE+∠BCF＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°+∠A，
∴，
∴；
（3）由题意知，∠NBM＝90°，，∠A＝2∠M，
∴当在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，
①当∠NBM＝3∠M时，∠NBM＝3∠M，
∴∠M＝30°，
∴∠A＝2∠M＝60°；
②当∠NBM＝3∠N时，，
∴∠A＝120°；
③当∠M＝3∠N时，，
∴∠A＝135°；
④当∠N＝3∠M时，，
∴∠A＝45°．
综上所述，∠A的度数为60°或120°或135°或45°．
【点评】本题主要考查了角平分线、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，明确角之间的数量关系是解题的关键．抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表
抽取的B型扫地机器人除尘量扇形统计图
型号
平均数
中位数
方差
“优秀”等级所占百分比
A
90
a
26.6
b
B
90
90
30
30%
生活中的数学：古代计时器“漏壶”
问题情境
某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体
实验观察
下表是实验记录的圆柱容器液面高度y（cm）与时间x（h）的数据
时间x（h）
1
2
3
4
5
圆柱容器液面高度y（cm）
6
8
10
12
14
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
C
C
B
C
D
A
C
抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表
抽取的B型扫地机器人除尘量扇形统计图
型号
平均数
中位数
方差
“优秀”等级所占百分比
A
90
a
26.6
b
B
90
90
30
30%
生活中的数学：古代计时器“漏壶”
问题情境
某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体
实验观察
下表是实验记录的圆柱容器液面高度y（cm）与时间x（h）的数据
时间x（h）
1
2
3
4
5
圆柱容器液面高度y（cm）
6
8
10
12
14