2025-2026学年山西省吕梁市临县九年级上学期1月期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年山西省吕梁市临县九年级上学期1月期末数学试卷（学生版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1.下列函数是反比例函数的是（ ）
A.B.
C.D.
2.“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.
3.如图，已知，若，，则的长为（ ）
A.B.C.D.
4.在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（ ）
A.B.
C.D.
5.观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ）
A.B.
C.D.
6.若一个正方形的边长是方程的一个根，则该正方形的周长为（ ）
A.2B.4C.6D.8
7.若点，分别在如图所示的反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A.B.
C.D.无法确定
8.某校举办校运动会，杜老师作为本次运动会的负责人，准备去超市购买一些奖品，如图，杜老师从学校出发，需先经过广场，最终到达超市，若杜老师随机选择一条路线，则这条路线恰好是最短路线的概率是（ ）
A.B.C.D.
9.如图，在中，，，是内的一点，连接，，，若，则的值为（ ）
A.2B.C.D.
10.如图，为的直径，是上的一点，过点的的切线交的延长线于点，连接，，，若，的半径为1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.若，，则_____．
12.若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是___．
13.凸透镜成像的原理如图所示，，若焦点到物体的距离与到凸透镜中心线的距离之比为，则的值是_____．
14.如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____．
15.如图，在矩形中，是边上的一点，连接，过点作交于点，交于点，若，则的长为___________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（1）已知反比例函数的图象经过点，求的值．
（2）如图，四边形是内接四边形，是边延长线上的一点，若，求的度数．
17.小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：A）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示．
（1）求关于的函数解析式．
（2）当时，求的值．
18.马年吉祥，事事如意，这是丙午马年与如意吉祥之间最妙的创意连接．现将分别印有“事”“事”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除印的字外形状、大小、质地等完全相同．
（1）若从盒子中随机摸出一张卡片，求摸出的这张卡片上印有“事”的概率．
（2）若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求两次摸出的卡片上印有“如”“意”的概率．
19.如图，是半圆的直径，是半圆上的一点，过点的直线交的延长线于点，于点，的延长线于点，已知平分，
（1）求证：是的切线．
（2）若，的半径为2，求的长．
20.项目学习项目背景：某数学兴趣小组在太原市湿地公园围绕“利用相似三角形测高”开展项目性综合实践活动，形成了如下活动报告．
请根据表中提供的信息，求围墙的高度．
21.阅读与思考阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）抛物线以原点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”为___________；
（2）完成问题中剩余解答过程；
（3）若抛物线以点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”为，且与这两条抛物线有交点，请直接写出的取值范围．
22.综合与实践
某镇黄金梨种植基地迎来丰收季，黄澄澄的梨果挂满枝头，果农们忙碌采摘，洋溢着喜悦．该镇以“兴产业、促就业、带民富”为思路，立足资源禀赋，优化农业结构，发展特色林果经济，创新“合作社+基地+种植户”模式，带动农户抱团发展．某合作社以12元/千克的价格购进一批黄金梨，如果以20元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；如果以25元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克．根据销售经验可以知道，每天的销售量（单位：千克）与销售价格（，且为整数，单位：元/千克）存在一次函数关系．
（1）与之间的函数表达式为_____（不用写出自变量的取值范围）
（2）设该合作社销售黄金梨每天获得的利润为w，则当销售价格为多少元/千克时，每天获得的利润w最大?最大利润是多少?
（3）若物价局规定商品的利润率不能高于100%，而该合作社每天销售黄金梨的利润为2520元，请直接写出的值．
23.综合与探究
【问题情境】
如图，在中，，是上一点，连接，以为边在的右侧作正方形，连接．
【猜想验证】
（1）如图1，当，试判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若时，试猜想线段与线段有怎样的位置关系，并说明理由．
【解决问题】
（3）如图3，延长，相交于点，若，，，，
①求与之间的函数关系式；
②当，时，请直接写出的长．
项目主题
利用相似三角形测高
活动过程
1．设计说明：
①是简易工具房前的一面围墙；
②是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线；
③是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线；
④为窗高．为窗户到地面的高度，点在同一条直线上，且．
2．数据测量：米，米，米，米．
3．计算……
反思交流
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对称衍生抛物线
【定义】对于抛物线，以轴上的点为中心，作抛物线关于点对称的抛物线，则我们称是的“对称衍生抛物线”，点为“对称衍生中心”．
【问题1】抛物线以原点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”为___________．
【问题2】求抛物线以点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”．
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴点关于点的对称点为，
∵抛物线与轴的交点为，
∴点关于点对称的点为，
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