山西省吕梁市临县多校2025届九年级上学期期中测试数学试卷(含答案)

这是一份山西省吕梁市临县多校2025届九年级上学期期中测试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．把一元二次方程化成一般形式,则二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A.3,,1B.3,1,4C.3,D.3,4,1
2．2024年6月25日,嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域,工作正常,标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功,实现世界首次月球背面采样返回.下列航天领域的图标中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.B.
C.D.
3．我们解一元二次方程时,可以运用因式分解法,将此方程化为,得到两个一元一次方程：,从而得到原方程的解为,.这种解法体现的数学思想是( )
A.公理化思想B.模型思想C.函数思想D.转化思想
4．二次函数的图象不经过( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5．如图,在中,A是的中点,点D在上.若,则( )
A.B.C.D.
6．如图,菱形的对角线、交于点O,,,将绕着点C旋转得到,则点A与点之间的距离为( )
A.6B.8C.10D.12
7．下列方程没有实数根的是( )
A.B.C.D.
8．如图,学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形,为了方便管理,要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路,小路与试验田的各边垂直或平行,要使种植面积为,则小路的宽为多少米?若设小路的宽为,根据题意可列方程( )
A.B.
C.D.
9．石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一,是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥,以历史悠久,形式优美,结构坚固等特点闻名于世,它的主桥是圆弧形.如图,某石拱桥的跨度AB(AB所对的弦的长)约为,拱高CD(AB的中点到弦的距离)约为,则所在圆的半径为( )
A.B.C.D.
10．已知二次函数的图象如图所示,该抛物线的对称轴为直线,则下列结论不正确的是( )
A.
B.关于x的方程的两根是,
C.当时,y随x的增大而减小
D.
二、填空题
11．方程的解是____________.
12．如图,四边形ABCD内接于⊙O,,则的度数为______.
13．若二次函数的图象经过点,利用抛物线可知不等式的解集是____________.
14．铅球是利用人体全身的力量,将一定重量的铅球从肩上用手臂推出的田径运动项目之一,是集力量和技术于一体的运动,绝对力量和完美技术都是取得好成绩的因素,铅球行进高度和铅球行进曲线都影响着铅球投掷的成绩.如图,一位运动员推铅球,铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是,此运动员投掷时,铅球的最大行进高度是______m.
15．如图,在矩形中,E是边上一点,对角线,相交于点O,于点F,连接.若,,,则的长为______.
16．(1)解方程：.
(2)以下是小夏同学解方程的过程,请解决问题：
解：原方程可变形为,第一步
方程两边同时除以得,第二步
∴原方程的解是.第三步
①上述解方程的过程从第_______步开始出错,错误的原因是____________
②请直接写出方程的解：_________________________
三、解答题
17．已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)求点A,B,C,D的坐标,并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象(每个小方格的边长都是1个单位长度).
(2)描述抛物线是由抛物线如何平移得到的.
(3)求四边形的面积.
18．如图,已知的直径垂直弦于点E,连接并延长交于点F,且F为的中点.
(1)求证：；
(2)若,求弦的长.
19．大豆,通称黄豆,属一年生草本,是我国重要粮食作物之一,已有五千年栽培历史,古称“菽”.某校综合实践小组以“探究大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习.在六块不同的试验田中种植株数不同的大豆,严格控制影响大豆生长的其他变量,在大豆成熟期,对每株大豆的产量进行统计,并记录如下：
(1)根据记录表中的数据分析单位面积试验田的单株平均产量与种植株数的变化规律,若设单位面积试验田种植x株(),则单位面积试验田单株的平均产量为_________粒.
(2)如果要想获得单位面积大豆的总产量达到2160粒,又相对减少田间管理,那么单位面积大豆应种植多少株？
20．某批发市场批发甲、乙两种水果,根据以往经验和市场行情,预计夏季某一段时间内,甲种水果的销售利润(单位：万元)与进货量x(单位：吨)近似满足函数关系；乙种水果的销售利润(单位：万元)与进货量x(单位：吨)近似满足函数关系(其中a,b为常数,),且当进货量为1吨时,销售利润为万元,当进货量为2吨时,销售利润为万元.如果该批发市场准备进甲、乙两种水果共10吨,问这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大？最大利润是多少？
21．阅读与思考
观察下列方程系数的特征及其根的特征,解决问题：
(1)请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征.
(2)方程和是不是关联方程？求解两个方程并判断两个方程的根是否符合根的关系特征.
(3)请以一元二次方程(,)为例证明关联方程根的关系特征.
22．综合与实践
如图1,这是某广场中的喷水池,那随着音乐声此起彼伏的水线,一会儿高高跃起,一会儿盘旋而下,令人心旷神怡!边上各个方向向外喷出的水线可以看做一圈形状相同的抛物线,从这些抛物线中抽象出一条分析研究,若水线达到最大高度(点P距地面的距离)时,水线的跨度.
请你结合所学知识解决下列问题：
(1)在图2中建立以为单位长度,点A为坐标原点,所在直线为x轴,过点A与垂直的直线为y轴,构建平面直角坐标系,并求出抛物线的解析式.
(2)若喷水池中心C到A的距离约为,则该喷水池的半径至少为多少米,才能使喷出的水流都落在水池内?
(3)在(2)的条件下,身高为的清洁工王师傅在水池中清理漂浮物,为了不被淋湿,王师傅站立时必须在离水池中心点C多少米范围内?(结果保留1位小数,参考数据：,,,,,)
23．综合与探究
问题情境：数学课上,老师提出一个问题：如图1,在中,,,,把绕点C逆时针旋转到的位置,点A,B的对应点分别是,,与相交于点D.在旋转过程中,线段之间存在一些特殊的位置关系和数量关系.如图2,在旋转过程中,当经过的中点D时,试判断四边形与的位置关系,并加以证明.
问题解决：(1)请你解答老师提出的问题.
数学思考：(2)小明同学发现：在图形旋转过程中,有线段垂直关系的存在.如图3,在旋转过程中,当时,求点A与点之间的距离.
数学探究：(3)小敏同学发现：在旋转过程中,有特殊三角形的存在.在旋转过程中,当是等腰三角形时,请直接写出线段的长.
参考答案
1．答案：A
解析：将一元二次方程化成一般形式为,
二次项系数、一次项系数、常数项分别为3,,1,
故选：A.
2．答案：B
解析：A中图标既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题意；
B中图标既是轴对称图形也是中心对称图形,故本选项符合题意；
C中图标是轴对称图形,但不是中心对称图形,故本选项不符合题意；
D中图标既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题意,
故选：B.
3．答案：D
解析：解一元二次方程时,可以运用因式分解法将此方程化为.从而得到两个一元一次方程：,或.进而得到原方程的解为,,.这种把一元二次方程转化为两个一元一次方程,解法体现的数学思想是转化思想.
故选：D.
4．答案：D
解析：∵,二次项系数为
∴图象开口向上,
对称轴为直线,
当时,,即图象过原点,
∴图象经过第一、第二、三四象限,不经过第四象限.
故选：D.
5．答案：C
解析：连接,如图所示：
A是的中点,
,则,
,
,
故选：C.
6．答案：C
解析：∵菱形的对角线、交于点O,,
∴,,,
∴
∵将绕着点C旋转得到,
∴,,,
∴,
在中,由勾股定理得,
∴点A与点之间的距离为10,故C正确.
故选：C.
7．答案：A
解析：A.,
即：,
,
方程没有实数根,
故选项A符合题意；
B.,
,
方程有两个相等的实数根,
故选项B不符合题意；
C.,
,
方程有两个不相等的实数根,
故选项C不符合题意；
D.,
即：,
,
方程有两个不相等的实数根,
故选项D不符合题意；
故选：A.
8．答案：B
解析：将小路平移到边上,如图所示：
图中空白部分即是种植面积为的地方,则,
故选：B.
9．答案：A
解析：如图,点O圆心,连接、,
由题意可得,,,,
∴,
设圆的半径为,则,
∵,
∴,
解得,
∴,
故选：A.
10．答案：C
解析：由抛物线开口方向可知,由抛物线与y轴交点位置可知,
∴,A选项正确,不符合题意；
根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴分别交于和,
∴方程的两根是,,B选项正确,不符合题意；
抛物线的对称轴是直线,变形可得,D选项正确,不符合题意；
抛物线的对称轴是直线,故时,y随x的增大而增大,时,y随x的增大而减小,C选项不正确,符合题意.
故选：C.
11．答案：,
解析：∵,
∴或,
∴,；
故答案为：,.
12．答案：55°/55度
解析：∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴,
∵,
∴,
故答案为：55°.
13．答案：
解析：二次函数的图象经过点,
,解得,则抛物线,
令,则,即,解得,,
,
抛物线开口向上,
当,抛物线在x轴及x轴下方,
不等式的解集是,
故答案为：.
14．答案：3
解析：∵,
∵,抛物线开口向下,
∴当时,y取的最大值,最大值为3.
则铅球的最大行进高度是,
故答案为：3.
15．答案：
解析：取中点G,连接,如图所示：
,
在矩形中,对角线,相交于点O,则O是中点,
是的中位线,即,,
在矩形中,,即,
,
,则,
在矩形中,,
四边形是矩形,即,
,
在中,,,,则由勾股定理可得,
故答案为：.
16．答案：(1)
(2)①二；没有考虑为0而错误地运用等式的基本性质2进行变形,②
解析：(1)原方程变形为,这里,,,
∴.
.
,.
(2)①二,没有考虑为0而错误地运用等式的基本性质2进行变形.
故答案为：二,没有考虑为0而错误地运用等式的基本性质2进行变形.
②原方程可变形为.
移项,得.
分解因式,得.
∴,.
∴,.
故答案为：,.
17．答案：(1),,,,图见解析
(2)抛物线可由抛物线先向左平移1个单位长度,再向下平移4个单位长度得到(方法不唯一)
(3)
解析：(1)令,则,
解得：,,
点A在点B的左侧,
,,
令,则,
,
,
,
二次函数的大致图象如下图所示：
(2),
抛物线可由抛物线先向左平移1个单位长度,再向下平移4个单位长度得到(方法不唯一)；
(3)如图,直线是该抛物线的对称轴,其中点E为对称轴与x轴的交点,
由抛物线的顶点式可知,该抛物线的对称轴为直线,
,
,,,
,
,
,
,
如图,连接,则可知：
,
四边形的面积为.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：连接,如图所示：
∵直径垂直弦于点E,
∴,
∴,
∴,
又∵F为的中点,经过圆心O,
∴,
∴,
∴；
(2)由(1)可知,
∴是等边三角形,
∴,
连接,如图所示：
,
在中,,,则由勾股定理可得,
∴.
19．答案：(1)
(2)单位面积大豆应种植60株
解析：(1)设单株的平均产量为y,
由表格可知y随x的增大而减小,且x每增加10,y减小5,因此y是x的一次函数.
设y与x的关系式为,
将,；,代入得
,
解得,
∴y与x的关系式为：,
单位面积试验田单株的平均产量粒；
(2)根据题意可列方程：.
整理,得,
解得.
∵种植60株比种植72株的田间管理少一些,故应舍去,
∴.
答：单位面积大豆应种植60株.
20．答案：甲、乙两种水果分别进货4吨,6吨时获得的销售利润之和最大,最大利润是万元
解析：由题意可知,
解得,
∴,
设乙种水果进货m吨,则甲种水果进货吨,10吨水果销售利润之和为W万元,
根据题意,,
∵,
∴当时,W的最大值为,
∴,
答：甲、乙两种水果分别进货4吨,6吨时获得的销售利润之和最大,最大利润是万元.
21．答案：(1)描述见解析
(2)是,求解及判断过程见解析
(3)证明见解析
解析：(1)一元二次方程和关联方程的系数特征是：二次项系数、常数项相同,一次项系数互为相反数,
一元二次方程和关联方程的根的关系特征是：对应根互为相反数；
(2)方程和是关联方程,理由如下：
方程和的二次项系数、常数项相同,一次项系数互为相反数,符合(1)中描述的特征,故它们是关联方程；
方程的根是：,,
方程的根是：,,
它们的两个根对应互为相反数,符合根的关系特征；
(3)证明：一元二次方程(,)的根是：,
它的关联方程的根是：,
它们的两个根对应互为相反数.
22．答案：(1)
(2)喷水池的半径至少为,才能使喷出的水流都落在水池内
(3)王师傅站立时必须在离水池中心点C约至的范围内
解析：(1)根据题意,构造平面直角坐标系如图所示.
由题意可知,,抛物线的顶点,
设抛物线的函数解析式为,
将点代入,得：
,
解得：,
∴抛物线的解析式为.
(2)由题可知C为喷水池中心,则为喷水池的半径时,喷出的水都落在水池内,
,,
∴.
答：喷水池的半径至少为,才能使喷出的水流都落在水池内.
(3)当时,,
解得,,
,.
答：王师傅站立时必须在离水池中心点C约至的范围内.
23．答案：(1)见解析
(2)
(3)的长为2或或
解析：(1)证明：,理由如下,
由旋转的性质可知.
∵D是的中点,
∴,
∴,
∴,
∴；
(2)如图,连接,
在中,根据勾股定理可得.
根据三角形面积公式可得,
由旋转可知.
∴,
在中,根据勾股定理可得,
在中根据勾股定理可得
∴点A与点之间的距离为
(3)①当时,
∵,
∴；
②当时,
过点C作交于点E,如图,
则,
∵,
∴,
∴,
则；
③当时,
∵D是的中点,
∴,
故的长为2或或.
试验田编号
1
2
3
4
5
6
单位面积试验田种植株数/株
30
40
50
60
70
80
单位面积试验田单株的平均产量/粒
51
46
41
36
31
26
方程及其根
方程及其根
方程及其关联方程
方程的根
方程及其关联方程
方程的根
,
,
,
,