甘肃省武威第七中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省武威第七中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据并集和补集的定义求解即可.
【详解】由已知，或，
所以.
故选：C．
2. 设正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，可将化为，然后由基本不等式可得答案.
【详解】因，则.
当且仅当，即时取等号.
故选：A
3. 已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据参数是否等于零分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式，求解即可.
【详解】由题意，命题“，”是真命题，
当时，不等式，解得，不满足题意；
当时，，解得
综上所述，实数的取值范围是
故选：A.
4. 设函数，若，则实数（ ）
A. 2B. -2C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】按照分类，结合分段函数解析式即可得解.
【详解】因为函数，且，
所以或，解得或a=2.
故选：D.
5. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. 5D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的解集求出的值和的取值范围，在代入中利用对勾函数的单调性求出它的最小值.
【详解】因为的解集为，
可知，且，是方程的两根，
由根与系数的关系知，
可得，，当且仅当时等号成立，
故，
设，，可知函数在上单调递增，
则，所以的最小值为5.
故选：C
6. 已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（ ）
A. 1B. C. 1或D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数为幂函数，得到方程，求出或1，由单调性排除，得到答案.
【详解】由题意得，解得或1，
当时，，在上单调递增，不合要求，
当时，，在上单调递减，满足要求.
故选：A
7. 已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，可知内层函数在上单调递减，且，结合复合函数法可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围.
【详解】令，因为且，则内层函数在上单调递减，
且，可得，
因为函数且在区间上单调递增，
则外层函数为减函数，所以，，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
8. 已知函数，则关于的不等式解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性与单调性，根据可得出关于实数的不等式组，由此可解得原不等式的解集.
【详解】因为
，
由可得或，
即函数的定义域为，
因为，
所以，函数为偶函数，
任取、，且，
则，，，令，
则，
即，所以，函数在上为增函数，
又因为函数在0,+∞上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，
由可得，可得，
解得或，因此，原不等式的解集为.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分.
9. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 不等式的解集为
C. D. 的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】已知关于x的不等式的解集为，则，用a表示出b、c，然后结合一元二次不等式的解法判断B选项，判断C，将化简为即可利用基本不等式进行求解判断D.
【详解】因为关于x的不等式的解集为，
所以，4是方程的两根，且，故A正确；
所以，解得，
所以，即，则，解得，
所以不等式的解集为，故B正确；
而，故C错误；
因为，，，所以，
则，
当且仅当，即或时，等号成立，
与矛盾，所以取不到最小值，故D错误.
故选：AB
10. 设函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 方程只有一个实数根-3
D. 方程有7个不等的实数根
【答案】BC
【解析】
【分析】直接代入即可求解A，根据时，即可代入求解B，作出函数图象，结合函数的周期性即可求解CD.
【详解】对A，，故A错误；
对B，当时，，故，故B正确；
对CD，由解析式可得当时，周期为3，当时，，故可作图：

易得当时，且，解得，故C正确；
又当时，，故方程有8个不等的实数根，故D错误；
故选：BC
11. 已知函数的部分图象如图所示， 则 （ ）
A. ①是的部分图象B. ②是的部分图象
C. ③是的部分图象D. ④是的部分图象
【答案】AB
【解析】
【分析】根据指数、对数函数单调性逐项分析判断即可.
【详解】因为在定义域内单调递减，可知①符合，故A正确；
在定义域内单调递增，可知②符合，故B正确；
在定义域内单调递减，可知④符合，故C错误；
在定义域内单调递增，可知③符合，故D错误；
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知己函数的最大值为，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】同一坐标系中画出和的图象，然后根据图象分讨论求解即可.
【详解】由题意，
设，则，即函数在R上为奇函数，
又当时，，当且仅当时等号成立，
由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增，在上单调递减，
故
设，则，
令，解得
同一坐标系中画出和的图象如下：

由图可知，当时， ，

当 时， ，

当时， ，

综上，的取值范围是 .
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：对于分段函数，其中每一段对应的变量范围在没有确定的情况下，需要在一个坐标系中画出每一段的完整图象，对变量的取值变化情况分析，从而得到分类的标准进行讨论.
13. 已知函数为奇函数，为偶函数，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由函数解析式和奇偶性可得，，从而由可得，综合可得的解析式．
【详解】函数为奇函数，则，
为偶函数，则，
因为①，则，
所以②，
则由①-②可得.
故答案为：．
14. 幂函数在上单调递增，则的图像过定点______.
【答案】
【解析】
【分析】由幂函数定义得到且，解得，结合指数函数的性质，得到定点坐标.
【详解】由题意得且，解得或-1（舍去），
故，令，得，此时，
故的图象过定点.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，
（1）求；
（2）若定义集合，求中元素的个数.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）列举法表示出，然后根据交集的概念求解出；
（2）先分析和的可能取值，然后分析取值时对应的取值个数，由此可确定出中元素的个数.
【小问1详解】
由题意可知，，
，
所以.
【小问2详解】
由，，可得，共种结果，
由，，可得，共种结果，
当或时，此时或，
所以可以为中的一个值，共可以构成个不同的元素；
当时，对于中的任意一个值，
x1,y1都可以选择，此时取与对应的值，可取中的一个值，
所以可以为中的一个值，共可以构成个不同元素，
所以中一共有个元素
16. （1）求函数最小值；
（2）若，，求的最大值．
【答案】（1）23；（2）-7
【解析】
【分析】利用不等式的性质与基本不等式，即可求出最值．
【详解】（1）因，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
故函数的最小值为23．
（2）因为，，所以，
当且仅当时，等号成立，
又，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，当且仅当时，取得最小值，且最小值为8．
故的最大值为．
17. 已知是定义在上的奇函数.
（1）求的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式：.
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意，由此即可得解.
（2）由定义法证之即可.
（3）结合奇函数的单调性即可求.
【小问1详解】
因为定义在区间上的函数为奇函数，
则，经验证满足题意，则.
则.
【小问2详解】
由（1）知，在上单调递增，
证明如下：设，则，
其中，，
所以，即，
故函数在上单调递增.
【小问3详解】
是奇函数，不等式化为，
在上增函数，
，解得，故不等式的解集为.
18. 幂函数的定义域是全体实数．
（1）求的解析式；
（2）若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1） 根据幂函数定义得到系数为1，再结合定义域即可求得；
（2）由（1）可得在区间0,4 上恒成立，将不等式进行参变分离，得到在0,4 上恒成立，由二次函数求出最小值，从而得出结论.
【小问1详解】
由题意得 解得 ，所以
【小问2详解】
由（1）得，
不等式 在区间 0,4上恒成立，
即 在区间0,4 上恒成立，
即 在区间0,4 上恒成立，
令 ，对称轴为x=1,则函数在单调递减，在单调递增，
则 ，
所以 ，解得 ，
所以实数m的取值范围是 .
19. 设函数（且，为常数）.
（1）若为奇函数，求不等式的解集；
（2）若为偶函数，且，证明：在单调递增；
（3）设函数，在第（2）问的条件下，若，，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义得到的值，即可求得解集；
（2）先根据函数时偶函数得到的值，再根据得到的值，即可根据定义证明函数的单调性；
（3）根据（2）中的单调性以及解析式，求得的最小值，再结合能成立问题可求得取值.
【小问1详解】
由于有意义，奇函数满足，
此时，满足，符合题意，
由得，当时，得，即，
即不等式的解集为；
当时，得，即，
即不等式的解集为；
综上，当时，的解集为，当时，的解集为；
【小问2详解】
因为为偶函数，则，得，
移项可得，所以，即，
由得，解得或，
所以，
任取，且，
则
，
因为，则，，所以，
所以，所以在单调递增；
【小问3详解】
由（2）可知在上单调递增，
时，的最小值为；
由题意得，使，
即在有解，
令，由（2）知在单调递增，
，则，
则转化为在有解，
只需，
在单调递减，且在单调递减，
当时，取最大值为，
，即的取值范围为.